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浙江省嘉兴2015届高三第一次模拟试卷数学(理)


浙江省嘉兴市 2015 年高三第一次模拟考试 数学(理科)试卷
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. ) 1、设全集 U ? ?0,1, 2,3, 4? ,集合 ? ? ?0,1,2? ,集合 ? ? ?2,3? ,则 ?U ? A. ? B. ?1,2,3,4? C. ?2,3,4?

?

?

??(



D. ?0,1,2,3,4? ) D. 0 )

2、已知直线 ax ? y ? 1 ? 0 与直线 x ? ay ? 1 ? 0 互相垂直,则 a ? ( A. 1 或 ? 1 B. 1 C. ?1

3、已知向量 a ? ?3cos ? ,2? 与向量 b ? ? 3, 4sin ? ? 平行,则锐角 ? 等于( A.

? 4

B.

? 6

C.

? 3

D.

5? 12


4、三条不重合的直线 a , b , c 及三个不重合的平面 ? , ? , ? ,下列命题正确的是( A.若 a //? , a //? ,则 ? //? B.若 ?

? ? a , ? ? ? , ? ? ? ,则 a ? ? ? ? a , c ? ? , c //? , c //? ,则 a //?

C.若 a ? ? , b ? ? , c ? ? , c ? a , c ? b ,则 ? ? ? D.若 ?

2 2 2 5、已知条件 p : x ? 3x ? 4 ? 0 ,条件 q : x ? 6 x ? 9 ? m ? 0 .若 p 是 q 的充分不必要条件,则 m 的取值

范围是( A. ??1,1?

) B. ? ?4, 4? C. ? ??, ?4?

?4, ???

D. ? ??, ?1?

?4, ???

6、已知直线 l : x ? cos ? ? y ? sin ? ? 2 ( ? ? R ) ,圆 C : x2 ? y 2 ? 2cos? ? x ? 2sin ? ? y ? 0 ( ? ? R ) ,则 直线 l 与圆 C 的位置关系是( A.相交 B.相切 ) C.相离 D.与 ? , ? 有关

7、如图,已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 )上有一点 ? ,它关于原点的对称 a 2 b2

? ? ,且 ? ? ? 点为 ? ,点 F 为双曲线的右焦点,且满足 ?F ? ?F ,设 ??? F
则该双曲线离心率 e 的取值范围为( A. ? 3, 2 ? 3 ? )

?? ? ? , , ?12 6 ? ?

?

?

B. ? 2, 3 ? 1?

?

?

C. ? 2, 2 ? 3 ?

?

?

D. ? 3, 3 ? 1?

?

?

x ? ?e ? 2 ? x ? 0 ? 8、已知函数 f ? x ? ? ? ,则下列关于函数 y ? f ? ? f ? kx ? ? 1? ? ? 1 ( k ? 0 )的零点个数的判断 ln x x ? 0 ? ? ? ?

正确的是(



A.当 k ? 0 时,有 3 个零点;当 k ? 0 时,有 4 个零点 B.当 k ? 0 时,有 4 个零点;当 k ? 0 时,有 3 个零点 C.无论 k 为何值,均有 3 个零点 D.无论 k 为何值,均有 4 个零点

二、填空题(本大题共 7 小题,第 9~12 题每题 6 分,第 13~15 题每题 4 分,共 36 分. )

?2 x ? y ? 2 ? 9、若实数 x , y 满足不等式组 ? ax ? y ? 4 ,目标函数 z ? x ? 2 y .若 a ? 1 ,则 z 的最大值为 ? y ? ?1 ?
若 z 存在最大值,则 a 的取值范围为 . 10、一个几何体的三视图如图,其中正视图和侧视图是相同的等腰三角形,俯视 图由半圆和一等腰三角形组成.则这个几何体可以看成是由 和 组成的,若它的体积是



? ?2
6

,则 a ?



11 、在 ???C 中,若 ?? ? 120 , ?? ? 1 , ?C ? 13 , ?D ?

1 DC ,则 2


?C ?

; ?D ?



12、 设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 若 a2 ? a 则 S9 ? a ? 24 , 4 ?9

S8 S10 ? 的最大值为 8 10



F 是焦点, 13、 且 ?F ? 4 . 过点 ? 作准线 l 的垂线, 垂足为 ? , 则三角形 ? F? ? 是抛物线 y 2 ? 4x 上一点,
的面积为 . .
2 2 14、设 x , y , z ? 0 ,满足 xyz ? y ? z ? 8 ,则 log4 x ? log2 y ? log2 z 的最大值是

15、 正四面体 ??? C , 其棱长为 1 . 若? ?? ? x ?? ? ?? y ? z 则动点 ? 的轨迹所形成的空间区域的体积为 .

, 且满足 x ? y ? z ? 1 , C( 0 ? x ,y ,z ? 1 )

三、解答题: (本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(本题满分 14 分)已知函数 f ( x ) ? 1 ? 2 sin( x ? (I)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)当 x ? [?

?
8

)[sin( x ?

?
8

) ? cos(x ?

?
8

)] .

? ?
2 12 ,

] ,求函数 f ( x ?

?
8

) 的值域.

17. (本题满分 15 分)在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD ,?ABC 是正三角形, AC 与 BD 的交点 M 恰好是 AC 中点,又 PA ? AB ? 4 , ?CDA ? 120? ,点 N 在线段 PB 上,且 PN ? 2 . (I)求证: MN // 平面 PDC ; (Ⅱ)求二面角 A ? PC ? B 的余弦值.

P

N
A M B
(第 17 题)

D
C

18. (本题满分 15 分)已知直线 l : y ? kx ? 1( k ? 0) 与椭圆 3 x 2 ? y 2 ? a 相交于 A、B 两个不同的点,记 l 与

y 轴的交点为 C.
(Ⅰ)若 k ? 1 ,且 | AB |?
10 ,求实数 a 的值; 2

(Ⅱ)若 AC ? 2CB ,求 ?AOB 面积的最大值,及此时椭圆的方程.

19.(本题满分 15 分)设二次函数 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c(a, b ? R) 满足条件:① 当 x ? R 时, f ( x ) 的最大值为 0,且 f ( x ? 1) ? f (3 ? x ) 成立;② 二次函数 f ( x ) 的图象与直线 y ? ?2 交于 A 、 B 两点,且 | AB |? 4 . (Ⅰ )求 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ )求最小的实数 n( n ? ?1) ,使得存在实数 t ,只要当 x ? [n,?1] 时,就有 f ( x ? t ) ? 2 x 成立.

20.(本题满分 15 分)在数列 {a n } 中, a1 ? 3, a n ? a n?1 ? 2 , bn ? a n ? 2 , n ? 2,3, ? . (Ⅰ )求 a 2 , a 3 ,判断数列 {a n } 的单调性并证明; (Ⅱ )求证: | a n ? 2 |?

1 | a n?1 ? 2 | (n ? 2,3, ?) ; 4

(III)是否存在常数 M ,对任意 n ? 2 ,有 b2 b3 ? bn ? M ?若存在,求出 M 的值;若不存在,请说明 理由.

参考答案 一.选择题(本大题有 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 1.C; 2.D; 3.A; 4.B; 5.C; 6.D; 7.B; 8.C.

7. 【解析】 Rt ?ABF 中, OF ? c ,? AB ? 2c ,? AF ? 2c sin? , BF ? 2c cos ?
?| BF ? AF |? 2c | cos ? ? sin? |? 2a ,? e ?

c 1 ? ? a | cos ? ? sin? |

1 2 | cos(? ?

?
4

)|

?

?
12

?? ?
?
4 )?[

?
6

,?

?
3

?? ?

?
4

?

5? , 12

? cos(? ?

6? 2 1 ? 3 ?1 2 , ], 2 | cos(? ? ) |? [ , ] ? e ? [ 2 , 3 ? 1]. 4 2 4 2 2

1 1 .则有 f ( kx) ? ?1 或 ? 1 . e e 1 1 (1)当 k ? 0 时,①若 x ? 0 ,则 kx ? 0 , e kx ? 2 ? ?1 或 e kx ? 2 ? ? 1 , kx ? 0 或 ln(1 ? ) ,解得 x ? 0 或 e e
8. 【解析】令 f ( x ) ? ?1 ,则得 x ? 0 或 x ?
1 1 ( ?1) 1 ln(1 ? ) e ( ?1) e 1 1 1 e (舍) x? ;②若 x ? 0 ,则 kx ? 0 , ln( kx) ? ?1 或 ? 1 ,解得 kx ? 或 e e , x ? 或 , k k e e ke

均满足. 所以,当 k ? 0 时,零点有 3 个;同理讨论可得, k ? 0 时,零点有 3 个. 所以,无论 k 为何值,均有 3 个零点. 二、填空题(本大题共 7 小题,第 9-12 题每空 3 分,第 13-15 题每空 4 分,共 36 分) 9.6, ( 0,10) 13. 4 3 14.【解析】 10.一个三棱锥,半个圆锥,1 14. 11.3,
5 2 12
7 3

12.72,64

3 2

15.

log4 x ? log2 y ? log2 z ? log4 xy 2 z 2 , xy 2 z 2 ? yz[8 ? ( y 2 ? z 2 )] ? yz(8 ? 2 yz ) ? 2 ? yz(4 ? yz ),



yz(4 ? yz ) ? (

yz ? 4 ? yz 2 3 ) ? 4 ,所以 xy 2 z 2 ? 8 , log4 x ? log2 y ? log2 z ? .当且仅当 y ? z ? 2 , x ? 2 2 2

时,等号成立. 15.【解析】点 P 的轨迹所形成的空间区域为平行六面体除去
OABC 的部分.易得其体积为
C

正四面体

5 2 . 12

B
O

(第15题) A

三、解答题: (本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(本题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? 1 ? 2 sin( x ?

?
8

)[sin( x ?

?
8

) ? cos(x ?

?
8

)] .

(I)求函数 f ( x ) 的最小正周期;

(Ⅱ)当 x ? [?

? ?
2 12 ,

] ,求函数 f ( x ?

?
8

) 的值域.

16.【解析】(I) f ( x ) ? 1 ? 2 sin( x ?

?
8

)[sin( x ?

?
8

) ? cos(x ?

?
8

)]

? 1 ? 2 sin2 ( x ? ? cos(2 x ?

?
8

) ? 2 sin( x ?

?
8

) ? cos( x ?

?
8

)

?
4

) ? sin(2 x ?

?
4

)

? 2 sin(2 x ?
所以, f ( x ) 的最小正周期 T ? (Ⅱ)由(I)可知 f ( x ?

?
4

?

?
4

) ? 2 sin(2 x ?

?
2

) ? 2 cos 2 x ……5 分

2? ? ? .……7 分 2

?
8

) ? 2 cos 2( x ?

?
8

) ? 2 cos(2 x ?

?
4

) .……9 分

? x ? [?

? ?
2 12 ,

] ,? 2 x ?

?
4

? [?

3? 5? , ] ,……11 分 4 12

? cos(2 x ?

?
4

) ? [?

2 ,1] , 2

? f (x ?

?
8

) ? [?1, 2 ] .

所以, f ( x ?

?
8

) 的值域为 [?1, 2 ] .……14 分

17.(本题满分 15 分) 在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD , ?ABC 是正三角形, AC 与 BD 的交点 M 恰好是 AC 中 点,又 PA ? AB ? 4 , ?CDA ? 120? ,点 N 在线段 PB 上,且 PN ? 2 . (I)求证: MN // 平面 PDC ; (Ⅱ)求二面角 A ? PC ? B 的余弦值.

P

N
17. 【解析】 (Ⅰ)在正三角形 ABC 中, BM ? 2 3 在 ?ACD 中,因为 M 为 AC 中点, DM ? AC , 所以 AD ? CD , ?CDA ? 120? ,所以 DM ? 所以 BM : MD ? 3 : 1 ……4 分 在等腰直角三角形 PAB中, PA ? AB ? 4, PB ? 4 2 , 所以 BN : NP ? 3 : 1 , BN : NP ? BM : MD ,所以 MN // PD . 又 MN ? 平面 PDC , PD ? 平面 PDC ,所以 MN // 平面 PDC .……7 分 (Ⅱ)因为 ?BAD ? ?BAC ? ?CAD ? 90? , 所以 AB ? AD ,分别以 AB , AD , AP 为 x 轴,
B(4,0,0), C ( 2,2 3 ,0), D(0, 4 3 ,0), P (0,0,4) . 3

A M
(第 17 题)

D
C

B 2 3 , 3

y 轴, z 轴建立如图的空间直角坐标系,所以

由(Ⅰ)可知, DB ? (4,?

4 3 ,0) 为平面 PAC 的法向量……10 分 3

P N A M D C

PC ? (2,2 3 ,?4), PB ? (4,0,?4) ,
设平面 PBC 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ) ,
? ? ? n ? PC ? 0 ?2 x ? 2 3 y ? 4 z ? 0 则? ,即 ? , ? 4 x ? 4 z ? 0 ? n ? PB ? 0 ? ?

y

B x

令 z ? 3 ,则平面 PBC 的一个法向量为 n ? (3, 3 ,3) ……13 分 设二面角 A ? PC ? B 的大小为 ? , 则 cos? ?

n ? DB | n | ? | DB |

?

7 , 7

所以二面角 A ? PC ? B 余弦值为 18.(本题满分 15 分)

7 .……15 分 7

已知直线 l : y ? kx ? 1( k ? 0) 与椭圆 3 x 2 ? y 2 ? a 相交于 A、B 两个不同的点,记 l 与 y 轴的交点为 C. (Ⅰ)若 k ? 1 ,且 | AB |?
10 ,求实数 a 的值; 2

(Ⅱ)若 AC ? 2CB ,求 ?AOB 面积的最大值,及此时椭圆的方程. 18. 【解析】设 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ) .

?y ? x ? 1 1 1? a (Ⅰ) ? 2 , ? 4 x 2 ? 2 x ? 1 ? a ? 0 ? x1 ? x 2 ? ? , x1 x 2 ? 2 2 4 ?3 x ? y ? a
| AB |? 2 | x 1 ? x 2 |? 2 ? a ? 3 10 ? ? a ? 2 .……5 分 4 2

? y ? kx ? 1 (Ⅱ) ? 2 ? ( 3 ? k 2 ) x 2 ? 2kx ? 1 ? a ? 0 , 2 ?3 x ? y ? a
? x1 ? x 2 ? ? 2k 1? a , x1 x 2 ? ,……7 分 2 3? k 3 ? k2

由 AC ? 2CB ? (? x1 ,1 ? y1 ) ? 2( x 2 , y 2 ? 1) ? x1 ? ?2 x 2 ,代入上式得:
x1 ? x 2 ? ? x 2 ? ? 2k 3?k
2

? x2 ?

2k 3 ? k2

,……9 分

S ?AOB ?

3|k | 1 3 3 3 3 | OC | | x 1 ? x 2 |? | x 2 |? ? ? ? ,……12 分 2 3 2 2 2 3?k 2 3 ?|k| |k|

当且仅当 k 2 ? 3 时取等号,此时 x 2 ?

2k 3?k
2

, x1 x 2 ? ?2 x 2 ? ?2

2

4k 2 (3 ? k )
2 2

??

2 . 3

又 x1 x 2 ?

1? a 3?k
2

?

1? a 1? a 2 ,因此 ?? ?a?5. 6 6 3

所以, ?AOB 面积的最大值为 19.(本题满分 15 分)

3 ,此时椭圆的方程为 3 x 2 ? y 2 ? 5 .……15 分 2

设 二 次 函 数 f ( x) ? a x2 ? b x? c(a, b ? R) 满 足 条 件 : ①当 x ? R 时 , f ( x ) 的 最 大 值 为 0 , 且
f ( x ? 1) ? f (3 ? x ) 成立;② 二次函数 f ( x ) 的图象与直线 y ? ?2 交于 A 、 B 两点,且 | AB |? 4 .

(Ⅰ )求 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ )求最小的实数 n( n ? ?1) ,使得存在实数 t ,只要当 x ? [n,?1] 时,就有 f ( x ? t ) ? 2 x 成立. 19.【解析】 (Ⅰ)由 f ( x ? 1) ? f (3 ? x ) 可知函数 f ( x ) 的对称轴为 x ? 1 ,……2 分 由 f ( x ) 的最大值为 0,可假设 f ( x) ? a( x ? 1) 2 (a ? 0) . 令 a( x ? 1) 2 ? ?2 , x ? 1 ?
?2 ?2 1 ? 4,a ? ? . ,则易知 2 a a 2

1 所以, f ( x ) ? ? ( x ? 1) 2 .……6 分 2
(Ⅱ)由 f ( x ? t ) ? 2 x 可得, ?

1 ( x ? 1 ? t ) 2 ? 2 x ,即 x 2 ? 2(t ? 1) x ? (t ? 1) 2 ? 0 , 2

解得 ? t ? 1 ? 2 t ? x ? ?t ? 1 ? 2 t .……8 分 又 f ( x ? t ) ? 2 x 在 x ? [n,?1] 时恒成立,可得

? ?? t ? 1 ? 2 t ? n ? ? ?? t ? 1 ? 2 t ? ?1

(1) (2)



由(2)得 0 ? t ? 4 .……10 分 令 g(t ) ? ?t ? 1 ? 2 t ,易知 g(t ) ? ?t ? 1 ? 2 t 单调递减,所以, g(t ) ? g(4) ? ?9 , 由于只需存在实数 t ,故 n ? ?9 ,则 n 能取到的最小实数为 ? 9 . 此时,存在实数 t ? 4 ,只要当 x ? [n,?1] 时,就有 f ( x ? t ) ? 2 x 成立.……15 分 20.(本题满分 15 分) 在数列 {a n } 中, a1 ? 3, a n ? a n?1 ? 2 , bn ? a n ? 2 , n ? 2,3, ? . (Ⅰ )求 a 2 , a 3 ,判断数列 {a n } 的单调性并证明; (Ⅱ )求证: | a n ? 2 |?

1 | a n?1 ? 2 | (n ? 2,3, ?) ; 4

(III)是否存在常数 M ,对任意 n ? 2 ,有 b2 b3 ? bn ? M ?若存在,求出 M 的值;若不存在,请说明 理由.

20.【解析】 (Ⅰ)由 a1 ? 3, a n ? a n?1 ? 2 易知, a 2 ? 5 , a 3 ? 由 a1 ? 3, a n ? a n?1 ? 2 易知 a n ? 0 .

5 ? 2 .……2 分

由 an ? an?1 ? 2 得, a n 2 ? a n?1 ? 2 (1) ,则有 a n?1 2 ? a n ? 2 (2) ,由(2)-(1)得
2 2 a n?1 ? a n ? a n ? a n?1 , (a n?1 ? a n )(a n?1 ? a n ) ? a n ? a n?1 , ? a n ? 0 ,所以 a n?1 ? a n 与 a n ? a n?1 同号 . 由

a 2 ? a1 ? 5 ? 3 ? 0 易知, a n ? a n?1 ? 0 ,即 a n ? a n?1 ,可知数列 {a n } 单调递减. ……5 分
(Ⅱ)由 a n 2 ? a n?1 ? 2 可得, a n 2 ? 4 ? a n?1 ? 2 , (a n ? 2)(a n ? 2) ? a n?1 ? 2 , 所以, | a n ? 2 |?
| a n ?1 ? 2 | .……7 分 an ? 2

由 (a n ? 2)(a n ? 2) ? a n?1 ? 2 易知, a n ? 2 与 a n?1 ? 2 同号,由于 a1 ? 2 ? 3 ? 2 ? 0 可知, a n ? 2 ? 0 ,即
1 1 1 ? ,所以 | a n ? 2 |? | a n?1 ? 2 | ,得证. ……10 分 an ? 2 4 4 a ?2 a ?2 (III)? (a n ? 2)(a n ? 2) ? a n?1 ? 2 , a n ? 2 ? n ?1 ,即 b n ? n ?1 , an ? 2 an ? 2

a n ? 2 , ? a n ? 2 ? 4 ,?

则 b2 b3 ? bn ? 由 | a n ? 2 |?

a ? 2 a1 ? 2 a1 ? 2 a 2 ? 2 1 ? ? ? ? n ?1 ? ? .……13 分 a2 ? 2 a3 ? 2 an ? 2 an ? 2 an ? 2

1 | a n?1 ? 2 | 可知, 4 1 1 1 1 1 | a n ? 2 |? | a n ?1 ? 2 |? 2 | a n ? 2 ? 2 |? 3 | a n ? 3 ? 2 |? ? ? n ?1 | a 1 ? 2 |? n ?1 , 4 4 4 4 4 1 1 ? 4 n ?1 ,因为 a n ? 2 ,所以 ? 4 n ?1 .当 n ? ? 时, 4 n ?1 ? ? ,故不存在常数 M , 所以, | an ? 2 | an ? 2

对任意 n ? 2 ,有 b2 b3 ? bn ? M 成立. ……15 分


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