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广东省六校教研协作体2013届高三上学期联考数学(理)试题


广东省“六校教研协作体”2013 届高三联考 理科数学试题
参考学校:阳春一中 肇庆一中 真光中学 深圳二高 珠海二中
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.设集合 U ? {1, 2,3, 4}, M ? {x ?U | x2 ? 5x ? p ? 0} ,若 CU M ={2,3},则实数 p 的值 为 ( ) A.—4 2.1.复数 z ? A. ? 4 B.4 C.—6 ) C.4i D. ? 4i D.6

4 ? 3i 的虚部为 ( i
B.4

3.已知一个空间几何体的三视图如右图所示,根据图中 标出的尺寸(单位:cm),可得这个几何体的体积是( ) 3 3 3 3 A.4 cm B.5 cm C.6 cm D.7 cm

4.已知 f(x)=sin(ωx+

? )(ω>0)的图象与 y=-1 的图象的相邻 3
)

两交点间的距离为 π,要得到 y=f(x)的图象,只需把 y=cos2x 的图象(

? 个单位 12 5? C.向左平移 个单位 12
A.向左平移
2

? 个单位 12 5? D.向右平移 个单位 12
B.向右平移 )

5. “不等式 x ? x ? m ? 0 在 R 上恒成立”的一个必要不充分条件是( A、 m ?

1 4

B、 0 ? m ? 1

C、 m ? 0

D、 m ? 1 )

6.如图,若程序框图输出的S是126,则判断框①中应为 ( A. n ? 5 ? C. n ? 7 ? B. n ? 6 ? D. n ? 8 ?

7 . 已 知 正 项 数 列

?a n ?

中 , a1 ? 1 , a 2 ? 2 , ) D.4

2an 2 ? an ?12 ? an ?12 (n ? 2) ,则 a6 等于(
A.16 B.8 C. 2 2

8、函数 f ( x ) 的定义域为 D ,若存在闭区间 [a, b] ? D ,使得函数

f ( x) 满足:①f ( x) 在 [a, b] 内是单调函数;②f ( x) 在 [a, b] 上的值
域为 [2a, 2b] ,则称区间 [ a, b] 为 y ? f ( x) 的“倍值区间” .下列函 数中存在“倍值区间”的有( )

① f ( x) ? x 2 ( x ? 0) ; ③ f ( x) ?

② f ( x) ? ex ( x ?R) ; ④ f ( x) ? log a (a ? )( a ? 0, a ? 1)
x

4x ( x ? 0) ; x ?1
2

1 8

A.①②③④

B.①②④

C.①③④

D.①③

二、填空题(本大题共 7 小题,分为必做题和选做题两部分.每小题 5 分,满分 30 分) (一)必做题

1 ? ? ? 展开式的常数项为 3x ? ? ? ? ? ? 10. 已知 a, b 均为单位向量,它们的夹角为 60? ,那么 a ? 3b ?
9、二项式 ? x ?

6

?x ? 0 ? 11.设 x, y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 3 ,则 z ? x ? y 的最大值是 ?2 x ? y ? 3 ?
12.若双曲线

.

x2 ? y 2 ? 1的离心率小于 2 ,则 k 的取值范围是 k
2

13.已知函数 f ? x ? ? x ? 2x, g ? x ? ? ax ? 2 ? a ? 0? , 对任意的 x1 ?? ?1, 2? 都存在 x0 ???1,2? , 使得 g ? x1 ? ? f ? x0 ? , 则实数 a 的取值范围是 (二)选做题:考生只能选做其中一题,两题全答的,只计前一题的得分。 14、 (坐标 系与 参数方 程 选 做题) 已知在平面直角坐标系 xoy 中,圆 C 的参数方程为

? x ? 3 ? 3 cos ? ? , (? 为 参 数 ) 以 ox 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 , 直 线 l 的 极 坐 标 方 程 为 , ? ? y ? 1 ? 3sin ? ?

? ? cos(? ? ) ? 0. 则圆 C 截直线 l 所得的弦长为
6

. C

15. (几何证明选讲选做题)如图, PC 切圆 O 于点 C ,割线

PAB 经过圆 O ,弦 CD ?AB 于点 E ,已知圆 O 的半径为 3 , PA ? 2 ,则 PC ? ______
三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分。解答须写出文字 说明、证明过程和演算步骤。 16.(本小题满分 12 分)
2

B

O

·

E D

A

P

C b c 已知 ?ABC 的内角 A 、B 、 的对边分别为 a 、 、 , 3 sin C cos C ? cos C ?
(1)求角 C ; (2)若向量 m ? (1, sin A) 与 n ? (2, sin B) 共线,求 a 、 b 的值.

1 , c?3 且 2

17、 (本小题满分 12 分) 近几年来,我国许多地区经常出现干旱现象,为抗旱经常要进行人工降雨。现由天气预报得 知,某地在未来 5 天的指定时间的降雨概率是:前 3 天均为 50%,后 2 天均为 80%,5 天内任 何一天的该指定时间没有降雨,则在当天实行人工降雨,否则,当天不实施人工降雨。 (1)求至少有 1 天需要人工降雨的概率; (2)求不需要人工降雨的天数 x 的分布列和期望。

18、 (本小题满分 14 分) 在四棱锥 P ? ABCD 中,侧面 PCD ? 底面 ABCD , PD ? CD ,底面 ABCD 是直角梯形,
AB ∥ CD , ?ADC ? 90? , AB ? AD ? PD ? 1, CD ? 2 .

(Ⅰ)求证: BC ? 平面 PBD ; ??? ? ??? ? (Ⅱ)设 Q 为侧棱 PC 上一点, PQ ? ? PC ,试确定 ? 的值,使得二面角 Q ? BD ? P 的大小为

45? .
P

C
D

A

B

19、 (本小题满分 14 分) 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? a , an?1 ?

(4n ? 6)an ? 4n ? 10 ( n ? N? ) . 2n ? 1
. .

?a ? 2? (1)判断数列 ? n ? 是否为等比数列?若不是,请说明理由;若是,试求出通项 an ; ? 2n ? 1 ?
(2)如果 a ? 1 时,数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,试求出 Sn .

20. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 6 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 , 椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的 2 a b 3

三角形的面积为

5 2 . 3

(1)求椭圆 C 的方程; (2)已知动直线 y ? k ( x ? 1) 与椭圆 C 相交于 A 、 B 两点.

1 ,求斜率 k 的值; 2 ???? ???? 7 ②已知点 M ( ? , 0) ,求证: MA ? MB 为定值. 3
①若线段 AB 中点的横坐标为 ?

21 .(本小题满分 14 分)
已知函数 f ? x ? ? ln ? x ? a ? ? x ? x 在 x ? 0 处取得极值.
2

(1)求实数 a 的值; (2)若关于 x 的方程 f ? x ? ? ? 取值范围; (3)证明:对任意的正整数 n ,不等式 2 ?

5 x ? b 在区间 ?0, 2? 上恰有两个不同的实数根,求实数 b 的 2
3 4 n ?1 ? ? ? ? 2 ? ln ? n ? 1? 都成立. 4 9 n

2013 届高三联考理科数学试题答案
一、选择题:

1. B. 2.A. 3. A. 二、填空题 9、

4.B. 5.C

6. B. 7.D. 8、C

5 3

10. 13

11、0

12. (?1, 0)

? 1? 13、0, ? ? ? 2?

14、 4 2

15. 4

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。 16.解:? 3 sin C cos C ? cos C ?
2

1 ??1 分 2

?

3 1 sin 2C ? cos 2C ? 1 ??2 分 2 2

即 sin(2C ?

?
6

) ? 1 ??3 分

?C ? ? 0, ? ? ?2C ?

?
6

?

?
2

,解得 C ?

?
3

??5 分

(2)? m与n 共线,? sin B ? 2 sin A ? 0 。 由正弦定理

a b ? ,得 b ? 2a ,①??8 分 sin A sin B

? c ? 3 ,由余弦定理,得 9 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos
联立方程①②,得 ?

?

3

,②??9 分

?a ? 3 ? ??12 分 ?b ? 2 3 ?

17、解: (1)5 天全不需要人工降雨的概率是 P ? ( ) ( ) ? 1

1 3 4 2 2 ,????2 分 2 5 25 92 46 23 ? ? 故至少有 1 天需要人工降雨的概率是 1 ? P ? ????4 分 1 100 50 25

(2)x 的取值是 0,1,2,3,4,5,由(1)知 4 天不需要人工降雨的概率是:

1 1 4 56 7 1 4 1 1 P( x ? 4) ? ( )3 C2 ? ? C3 ( )3 ( ) 2 ? ? ????5 分 2 5 5 2 5 200 25 1 4 1 1 73 1 1 1 1 4 P( x ? 3) ? C32 ( )3 ( ) 2 ? C3 ( )3 C2 ( )( ) ? ( )3 ( ) 2 ? ????6 分 2 5 2 5 5 2 5 200
2 天不需要人工降雨的概率是:

1 1 4 1 4 43 1 1 1 1 P( x ? 2) ? C32 ( )3 ( ) 2 ? C3 ( )3 C2 ( ) ? ( ) ? ( )3 ? ( ) 2 ? ????7 分 2 5 2 5 5 2 5 200 11 1 天不需要人工降雨的概率是: P ( x ? 1) ? ????8 分 200 1 3 1 2 1 0 天不需要人工降雨的概率是: P ( x ? 0) ? ( ) ( ) ? ????9 分 2 5 200
不需要人工降雨的天数 x 分布列是 x 0 1 2 ????10 分 3 4 5

P

1 200

11 200

43 200

73 200

7 25

2 25

不需要人工降雨的天数 x 的期望是:

Fx ? 0 ?

1 11 43 73 7 2 ? 1? ? 2? ? 3? ? 4 ? ? 5 ? ? 3.1 ????12 分 200 200 200 200 25 35

18、证: (Ⅰ)平面 PCD ? 底面 ABCD , PD ? CD ,所以 PD ? 平面 ABCD ,所以 PD ? AD . 如图,以 D 为原点建立空间直角坐标系 D ? xyz .????2 分 ??? ? ??? ? 则 A(1, 0, 0) , B(1, 1, 0) , C (0, 2, 0) , P(0, 0, 1) .? DB ? (1, 1, 0), BC ? (?1, 1, 0) . ??? ??? ? ? 所以 BC ? DB ? 0, BC ? DB .????3 分 又由 PD ? 平面 ABCD ,可得 PD ? BC ,????4 分

BC 且 PD与DB相交, ? 平面PBD ????5 分
所以 BC ? 平面 PBD . ?????????6 分

z
P

Q

??? ? (Ⅱ)平面 PBD 的法向量为 BC ? (?1, 1, 0) ,????8 分 ??? ? ??? ? ??? ? PC ? (0, 2, ? 1), PQ ? ? PC , ? ? (0, 1) ,所以 Q(0, 2? , 1 ? ? ) , ? ??? ? ? ? ???? 设平面 QBD 的法向量为 n ? ( x , 1, z) ,由 n ? DB ? 0 , n ? DQ ? 0 ,
? ? ?x ? 1 ? 0 2? ? 得? ,所以 n ? ? ?1, 1, ,????10 分 ? ?1? ? ? ?2? ? (1 ? ? ) z ? 0 ? ??? ? n ? BC 2 2 ? 所以 cos 45? ? ? ??? ? ,????12 分 ? 2 | n || BC | 2? 2 2? 2?( ) ? ?1

D A B

C y

x

注意到 ? ? (0, 1) ,得 ? ? 2 ? 1 ????????????14 分

19、解: (1)? a n ?1 ? 2 ?

(4n ? 6)a n ? 4n ? 10 (4n ? 6)(a n ? 2) ?2 ? ,????1 分 2n ? 1 2n ? 1

a n ?1 ? 2 (a ? 2) ? 2? n .????2 分 2n ? 3 2n ? 1 a ?2 a?2 令 bn ? n ,则 bn?1 ? 2bn ,且 b1 ? .????3 分 3 2n ? 1 an ? 2 } 不是等比数列.????5 分 当 ∴ a ? ?2 时, b1 ? 0 ,则 bn ? 0 ,数列 { 2n ? 1 a ?2 } 是等比数列,且公比为 2.????6 分 当 a ? ?2 时, b1 ? 0 ,则数列 { n 2n ? 1 a ? 2 a ? 2 n ?1 ? ? 2 .????7 分 ? bn ? b1 ? 2 n?1 ,即 n 2n ? 1 3 (a ? 2)( 2n ? 1) n ?1 ? 2 ? 2 .??8 分 解得 a n ? 3 ?

(2)由(1)知,当 a ? 1 时, an ? (2n ? 1) ? 2n?1 ? 2 ,????9 分

S n ? 3 ? 5 ? 2 ? 7 ? 22 ? ? ? (2n ? 1) ? 2n?1 ? 2n .????10 分
由错位相减法,设 Tn ? 3 ? 5 ? 2 ? 7 ? 22 ? ? ? (2n ? 1) ? 2n?1
2

则 2Tn ? 3 ? 2 ? 5 ? 2 ? 7 ? 2 ? ?? ? ? 2n ?1? ? 2 ??②
n

??①

②-①得

?Tn ? 3 ? 2 ? 2 ? 22 ? ?????? ?2n ?1 ? ? ? ? 2n ? 1? ? 2n ? 3? 2? 2 ? 2n ? ? 2n ? 1? ? 2n ? ?1 ? ? ?2n ? 1? ? 2 n 1? 2
????12 分

Tn ? (2n ?1) ? 2 ? 1, ????13 分
n

∴ n ? Tn ? 2n ? (2n ? 1)(2 n ? 1) .????14 分 S

20.解: (1)因为

x2 y 2 c 6 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 满足 a 2 ? b2 ? c2 , ? 2 a b a 3

??2 分

5 x2 y 2 1 5 2 2 2 ? ? 1 ??4 分 ,解得 a ? 5, b ? ,则椭圆方程为 ? b ? 2c ? 5 3 5 2 3 3
(2)①将 y ? k ( x ? 1) 代入

x2 y 2 ? ? 1 中得 (1 ? 3k 2 ) x2 ? 6k 2 x ? 3k 2 ? 5 ? 0 ??6 分 5 5 3

? ? 36k 4 ? 4(3k 2 ? 1)(3k 2 ? 5) ? 48k 2 ? 20 ? 0 , x1 ? x2 ? ?

6k 2 3k 2 ? 1

??7 分

1 6k 2 1 3 ? ? ,解得 k ? ? 因为 AB 中点的横坐标为 ? ,所以 ? 2 2 3k ? 1 2 3
②由(1)知 x1 ? x2 ? ? 所以 MA ? MB ? ( x1 ?

????9 分

6k 2 3k 2 ? 5 , x1 x2 ? 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1

7 7 7 7 , y1 )( x2 ? , y2 ) ? ( x1 ? )( x2 ? ) ? y1 y2 ????11 分 3 3 3 3 7 7 7 49 ? ( x1 ? )( x2 ? ) ? k 2 ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? ( ? k 2 )( x1 ? x2 ) ? ? k 2 ?12 分 3 3 3 9
2

???? ????

4 3k 2 ? 5 7 6k 2 49 ?3k 4 ? 16k 2 ? 5 49 2 2 ? (1 ? k ) 2 ? ( ? k )(? 2 ) ? ? k ? ? ? k 2 ? ?14 分 2 9 3k ? 1 3 3k ? 1 9 3k ? 1 9

21 .解:(1) f ' ? x ? ?

1 ? 2 x ? 1, x?a

????1 分

? x ? 0 时, f ? x ? 取得极值,

? f ' ? 0? ? 0,


????2 分

1 ? 2 ? 0 ? 1 ? 0, 解得 a ? 1. 经检验 a ? 1 符合题意. ????3 分 0?a

2 (2)由 a ? 1 知 f ? x ? ? ln ? x ?1? ? x ? x,

5 3 x ? b ,得 ln ? x ? 1? ? x 2 ? x ? b ? 0, 2 2 3 5 2 令 ? ? x ? ? ln ? x ? 1? ? x ? x ? b, 则 f ? x ? ? ? x ? b 在区间 ? 0, 2? 上恰有两个不同的实数根 2 2
由 f ? x? ? ? 等价于 ? ? x ? ? 0 在区间 ? 0, 2? 上恰有两个不同的实数根. ????4 分

?' ? x? ?

1 3 ? ? 4 x ? 5?? x ? 1? ? 2x ? ? , x ?1 2 2 ? x ? 1?
'

????5 分

当 x ??0,1? 时, ? ? x ? ? 0 ,于是 ? ? x ? 在 ?0,1? 上单调递增; 当 x ? ?1, 2? 时, ? ? x ? ? 0 ,于是 ? ? x ? 在 ?1, 2? 上单调递减.????7 分
'

?? ? 0 ? ? ?b ? 0 ? 3 ? 依题意有 ?? ?1? ? ln ?1 ? 1? ? 1 ? ? b ? 0 , ????分 2 ? ?? ? 2 ? ? ln ?1 ? 2 ? ? 4 ? 3 ? b ? 0 ? 1 解得, ln 3 ? 1 ? b ? ln 2 ? . ????9 分 2
(3) f ? x ? ? ln ? x ? 1? ? x ? x 的定义域为 x x ? ?1 ,由(1)知 f ' ? x ? ?
2

?

?

? x ? 2 x ? 3? , ? x ? 1?

令f

'

? x? ? 0 得, x ? 0 或 x ? ? 2 (舍去),
'

3

? 当 ?1 ? x ? 0 时, f ' ? x ? ? 0 , f ? x ? 单调递增;
当 x ? 0 时, f

? x? ? 0 , f ? x ? 单调递减.

? f ? 0? 为 f ? x ? 在 ? ?1, ?? ? 上的最大值. ? f ? x ? ? f ? 0? ,故 ln ? x ?1? ? x2 ? x ? 0 (当且仅当 x ? 0 时,等号成立)????11 分

对任意正整数 n ,取 x ?

1 ?1 ? 1 1 ? 0 得, ln ? ? 1? ? ? 2 , n ?n ? n n

????12 分

? n ?1 ? n ?1 ? ln ? ?? 2 . ? n ? n
故2?

3 4 n ?1 3 4 n ?1 ? ? ? ? 2 ? ln 2 ? ln ? ln ? ? ? ln ? ln ? n ? 1? . ????14 分 4 9 n 2 3 n


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