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对勾函数


对勾函数图象性质
对勾函数 : 数学中一种常见而又特殊的函数。如图

a>0 b>0 a<0 b<0 对勾函数的图像(ab 同号)

当 a ,b 异号时,f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。但是,我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。 (请自己在图上完成:他是如何叠加而成 的。 )


对勾函数的图像(ab 异号)

一般地,我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸,即对勾函数也是双曲线的一种,只不过它的焦点和 渐进线的位置有所改变罢了。 接下来,为了研究方便,我们规定 a>0 , b>0 。之后当 a<0,b<0 时,根据对称就很容易得出结论了。 (一) 对勾函数的顶点 对勾函数性质的研究离不开均值不等式。利用均值不等式可以得到: 当 x>0 时,错误!未找到引用源。 。 当 x<0 时,错误!未找到引用源。 。

即对勾函数的定点坐标: (二) 对勾函数的定义域、值域 由(二)得到了对勾函数的顶点坐标,从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。

1

(三) 对勾函数的单调性 y

(四) 对勾函数的渐进线 O y=ax 由图像我们不难得到: (五) 对勾函数的奇偶性 :对勾函数在定义域内是奇函数, 的图象与性质 X

一、对勾函数 f(x)=ax+ 错误!未找到引用源。

对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。它在高中教材上不出现,但考试总喜欢考的函数,所以也要 注意它和了解它。 ( 六 ) 对勾函数的图像 对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数,形如 f(x)=ax+ 错误!未找到引用源。 (接下来写作 f(x)=ax+b/x ) 。 当 a≠0 ,b≠0 时,f(x)=ax+b/x 是正比例函数 f(x)=ax 与反比例函数 f(x)= b/x “ 叠加 ” 而成的函数。这个观点, 对于理解它的性质,绘制它的图象,非常重要。 当 a , b 同号时, f(x)=ax+b/x 的图象是由直线 y = ax 与双曲线 y= b/x 构成,形状酷似双勾。故称 “ 对勾函 数 ” ,也称 “ 勾勾函数 ” 、 “ 海鸥函数 ” 。如下图所示: ( 七) 二、类耐克函数性质探讨 函数 y ? ax ?

b ,在 a ? 0或b ? 0时 为简单的单调函数, x

不予讨论。 (2)

在 a ? 0且b ? 0时 有 如 下 几 种 情 况 : (1) a ? 0, b ? 0 (3) a ? 0, b ? 0 设 y1 ? ax , y 2 ? (4) a ? 0, b ? 0

a ? 0, b ? 0

b ,则 y ? y1 ? y2 ? ax ? b ,其定义域为 x x
b 在 (??,0), (0,??) 上分别单调递增。 x

?x | x ? R, 且x ? 0?

(1) a ? 0, b ? 0 时, y1 ? ax , y 2 ?

故 y ? y1 ? y 2 ? ax ? (2) a ? 0, b ? 0 时, y1 ? ax , y 2 ?

b 在 (??,0), (0,??) 为单调递增函数。 x

b 在 (??,0), (0,??) 上分别单调递减。 x b 故 y ? y1 ? y 2 ? ax ? 在 (??,0), (0,??) 为单调递减函数 x

(3) a ? 0, b ? 0 图像略

1? 当 x ? 0 时, y1 ? ax ? 0 , y 2 ? 2? 当 x ? 0 时

b b b ? 0 y ? y1 ? y2 ? ax ? b ? 2 ax ? b ? 2 ab 。当且仅当 ax ? ,即 x ? 取等号。 x x a x x

y1 ? ax ? 0 , y 2 ?

b ?0 x

y ? y1 ? y2 ? ax ?

b ?b b ? ?(?ax ? ) ? ?2 ax ? ? ?2 ab ,当且仅当 ax x x x

?

b ,即 x ? ? b x a

2

(因为 x ? 0 ,故舍掉 x ? b )取等号。 a 4) a ? 0, b ? 0

1? 当 x ? 0 时, y1 ? ax ? 0 , y2 ? b ? 0 y ? y
x

1

? y2 ? ax ?

b ?b b ? ?(?ax ? ) ? ?2 ax ? ? ?2 ab 。当且仅当 ax x x x

?

b ,即 x ? b 取等号。 x a

2? 当 x ? 0 时

y1 ? ax ? 0 , y 2 ?
1 x

b b b ? 0 y ? y1 ? y2 ? ax ? b ?? 2 ax ? b ? 2 ab ,当且仅当 ax ? ,即 x ? ? 取等号。 x x a x x

三、关于求函数 y ? x ? ?x ? 0? 最小值的十种解法
1. 均值不等式

? x ? 0 ,? y ? x ?
2. ? 法

1 1 ? 2 ,当且仅当 x ? ,即 x ? 1 的时候不等式取到“=” 。? 当 x ? 1 的时候, y min ? 2 x x

y ? x?

1 ? x 2 ? yx ? 1 ? 0 x

2 若 y 的最小值存在,则 ? ? y ? 4 ? 0 必需存在,即 y ? 2 或 y ? ?2 (舍)

找到使 y ? 2 时,存在相应的 x 即可。通过观察当 x ? 1 的时候, y min ? 2 3. 单调性定义 设 0 ? x1 ? x2
f ? x1 ? ? f ? x 2 ? ? x1 ? x 2 ?

x x ?1 ? 1 1 1 ? ? ?x1 ? x 2 ? 1 2 ? ? ? ? x1 ? x 2 ?? 1? ? ? x1 x 2 x1 x 2 x1 x 2 ? ?

当对于任意的 x1 , x 2 ,只有 x1 , x 2 ? ?0,1? 时, f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? 0 ,? 此时 f ?x ? 单调递增; 当对于任意的 x1 , x 2 ,只有 x1 , x 2 ? ?1,??? 时, f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? 0 ,? 此时 f ?x ? 单调递减。

? 当 x ? 1 取到最小值, ymin ? f ?1? ? 2
4. 复合函数的单调性
y ? x? 1 ? 1 ? ?? x? ? ? ?2 x ? x? ?
2

t? x?

1 x

在 ?0,??? 单调递增, y ? t ? 2 在 ?? ?,0? 单调递减;在 ?0,??? 单调递增
2

又? x ? ?0,1? ? t ? ?? ?,0? x ? ?1,??? ? t ? ?0,??? 即当 x ? 1 取到最小值, y min ? f ?1? ? 2

? 原函数在 ?0,1? 上单调递减;在 ?1,??? 上单调递增

5. 求一阶导 1 1 y ? x ? ? y' ? 1? 2 x x

当 x ? ?0,1? 时, y ? 0 ,函数单调递减;当 x ? ?1,??? 时, y ? 0 ,函数单调递增。
' '

? 当 x ? 1 取到最小值, ymin ? f ?1? ? 2
6. 三角代换 ? ? ,则 1 令 x ? tan ? , ? ? ? ? cot ? ? 0, ?
? 2?
x

y ? x?

1 2 ? tan ? ? cot ? ? x sin 2?

? ?? ? ? ? 0, ? ? 2? ? ? 2?

?0, ? ?

3

?当 ? ?

?
4

,即 2? ?

?
2

时, ?sin 2? ?max ? 1, y min ? 2 ,显然此时 x ? 1

7. 向量
y ? x? 1 1 ? x ?1 ? ?1 ? a ? b , x x

? 1? a ? ? x, ?, b ? ?1,1? ? x?

a ? b ? a ? b cos?

2 a cos?
1 ?x ? 0? 图象上的一个向量, a cos? 的几何意义为 a 在 b 上的投影, x

根据图象, a 为起点在原点,终点在 y ?

显然当 a ? b 时, a cos? 取得最小值。此时, x ? 1 , ymin ?

2? 2 ?2

8.图象相减
y ? x?
1 1 ? 1? ? x ? ? ? ? ,即 y 表示函数 y ? x 和 y ? ? 两者之间的距离 x x ? x?

求 ymin ,即为求两曲线竖直距离的最小值

1 相切时,两曲线竖直距离最小。 x 1 1 y ? ? 关于直线 y ? ? x 轴对称,若 y ? x 与 y ? ? 在 x ? 1 处有一交点,根据对称性, x x 1 在 0 ? x ? 1 处也必有一个交点,即此时 y ? x 与 y ? ? 相交。显然不是距离最小的情况。 x
平移直线 y ? x ,显然当 y ? x 与 y ? ? 所以,切点一定为 ?1,?1? 点。 此时, x ? 1 , y min ? 2

9.平面几何
依据直角三角形射影定理,设 AE ? x, EB ? 显然, x ?

1 1 ,则 AB ? AD ? x ? x x

1 为菱形的一条边,只用当 AD ? AB ,即 AD 为直线 AB 和 CD 之间 x 1 的距离时, x ? 取得最小值。即四边形 ABCD 为矩形。 x 1 此时, x ? ,即 x ? 1 , y min ? 2 x

10. 对应法则
设 ? f ?x ??min ? t

f x2 ? x2 ?

? ?

1 x2

? x ? ?0,???, x 2 ? ?0,??? ,对应法则也相同

? f ?x 2 ? min ? t
1 1 ? f 2 ?x ? ? x 2 ? 2 ? 2 x x ? 左边的最小值 ? 右边的最小值 f ?x ? ? x ?
4

?

?

? t 2 ? t ? 2 ? t ? ?1 (舍)或 t ? 2

2 当 x ? P ? x ,即 x ? 1 时取到最小值,且 y min ? 2

四、对勾函数练习: 1.若 x>1.求 y ? x ?

1 的最小值 x ?1

2. 若 x>1. 求 y ?

x 2 ? 2x ? 2 的最小值 x ?1 x2 ? x ?1 的最小值 x ?1
2 的最小值 x

3. 若 x>1. 求 y ?

4. 若 x>0. 求 y ? 3 x ?

5.已知函数 y ?

x 2 ? 2x ? a ( x ? [1,??)) x

5

(1) 求 a ?

1 时,求 f ( x)的最小值 2 (2)若对任意 x∈[1,+∞],f(x)>0 恒成立,求 a 范围

? 6.: 方程 sin x-asinx+4=0 在[ 0 , 2
2

]内有解 ,则 a 的取值范围是__________

10 10 ? 2 ? x ? 7 ? 的最小值为____________;函数 y ? x ? ? 2 ? x ? 7 ? 的最大值为_________。 x x 4 8.函数 y ? 2 ? 3 x ? 的最大值为 。 x
7. 函数 y ? x ? 9、若 ? 4 ? x ? 1 ,则 y ? 10.函数 y ?

x 2 ? 2x ? 2 的最值是 2x ? 2



9 ? 4 sin 2 x 的最小值是 。 sin 2 x t t?2 ? a ? 2 在 t ? ?0,2? 上恒成立,则 a 的取值范围是 11.若不等式 2 t ?9 t 1 16 x ?x ? 1? 的最值。 12. 求函数 f ? x ? ? x ? ? 2 x x ?1



2x 1)时,求f ( x) ? x 的值域 13. 当x ? (0, 4 ?1
14. 求f ( x) ? x ? x ?
2

1 的值域 x ? x?3
2

6


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