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江苏省南京师范大学附中2015-2016学年高一上学期数学竞赛选拔测试 含答案


南京师范大学附中高一数学竞赛选拔测试卷 第一卷(100 分)
一、填空题(本大题共 12 个小题,每小题 4 分,共 48 分) 1.数列 1,3 5 7 , ,,…的一个通项公式是 4 9 16 . . . . .

2.1+2+3+…+100=

3.{an}是等比数列,a1=1,a3= 2 ,则 a5= 4.数列{an}满足

:a1=1,an+1= an-1,则 a2010=

5.△ABC 的三边长分别是 7、4 3 、 13 ,则最小内角大小为 b+c 6.△ABC 中,A=60°, =2,则 a= sinB+sinC .

7. △ABC 中, 角 A、 B、 C 所对的边分别是 a、 b、 c, 下列条件中能确定 a=b 的有 (填序号) ① sinA=sinB 8.已知 ② cosA=cosB ③ sin2A=sin2B . . . ④ cos2A=cos2B

.

1 >1,则 x 的取值范围是 x

9.不等式 (x-2)2 >4 的解集是 10.已知

1 1 1 1 99 + + +…+ = ,则 n= 2 6 12 100 n(n+1)

11 .等差数列 {an} 中,若 a1 、 a3 、 a7 是一个等比数列的前三项,则这个等比数列的公比 是 . .

12.Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,S1>0,S10=0,则 Sn 最大时 n 的值是

二、解答题 13. (本题满分 12 分) 7 63 等比数列{an}的前 n 项和是 Sn,已知 S3= ,S6= ,求 an. 2 2

14. (本题满分 12 分) 一艘船以 60 n mile/h 的速度向正北航行. 在 A 处看灯塔 S 在船的北偏东 30°,30 min 后航行到 B 处,在 B 处看灯塔 S 在船的北偏东 75°,求灯塔 S 与 B 之间的距离.

15. (本题满分 12 分) △ABC 中,已知角 A、B、C 所对的边分别是 a、1、c,且 A、B、C 成等差数列, a、1、c 成等比数列,求△ABC 的面积.

16. (本题满分 16 分) 关于 x 的不等式 x2+bx+c>0 的解集是(-∞,1)∪(2,+∞),数列{an}的前 n 项和 Sn=n2+ bn+c. (1)写出 b、c 的值(不要证明) ; (2)判断{an}是不是等差数列并说明理由; (3)求数列{2n-1an}的前 n 项和 Tn.

第二卷(60 分)
三、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分) 17.已知 sin ? cos ? ? 1 ,则 cos(? ? ? ) ? .

18 .右图是某种净水水箱结构的设计草图,其中净水器是一个宽 10cm、体积为 3000cm3 的长方体,长和高未定.净水水箱的长、宽、 高比净水器的长、宽、高分别长 20cm、20cm、60cm.若不计净水 器中的存水,则净水水箱中最少可以存水 cm3. 19.设点 O 是△ABC 的外心,AB=13,AC=12, → → 则 BC · AO = .

20.取一个边长为 2 a 的正方形及其内切圆,随机地向正方形内丢一粒豆子,则豆子落入圆内 的概率为 . 1 1 1 2 7 21.定义在 R 上的函数 f(x),满足 f( +x) +f( -x) =2,则 f( )+f( )+…+f( ) 2 2 8 8 8 = .

22. 定义一个对应法则 f : P(m, n) ? P' ( m, n )(m ? 0, n ? 0) .现有点 A(1,3) 与 B(3,1) , 点

M 是线段 AB 上一动点,按定义的对应法则 f : M ? M ' .当点 M 在线段 AB 上从点 A 开始
运动到点 B 结束时,点 M 的对应点 M 所经过的路线长度为
'

.

四、解答题 23. (本题满分 15 分) 已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a, b, c ? R, a ? 0) ,满足 f (?1) ? 0 ,对于任意的 x ? R , 都有 f ( x) ? x ? 0 ,并且当 x ? (0, 2) 时总有 f ( x) ? ( (1)求 f (1) 的值; (2)求 f ( x ) 的表达式; (3)当 x ?[?1,1] 时, g ( x) ? f ( x) ? mx( x ? R) 是单调函数,求 m 的取值范围.

x ?1 2 ) . 2

24. (本题满分 15 分) 的等比数列.

已知数列 ?an ? 和 {bn } 满足: a1 ? 1, a2 ? 2, an ? 0, bn ? an an?1 (n ? N * ) ,且 {bn } 是以 q 为公比 (1)证明: an? 2 ? an q 2 ; (2)若 cn ? a2n?1 ? 2a2n ,证明数列 {cn } 是等比数列; (3)求和:

1 1 1 1 1 1 . ? ? ? ??? ? a1 a2 a3 a4 a2 n?1 a2 n

1.an=(-1)n 2.5050 3.2 4.-2008 5.30°

2n-1 n2

6. 3 7.(1)(2)(4) 8.(0,1) 9.(-∞,0)∪(4,+ ∞) 10.99 11.1,2 12.5 13.P51,2n-2 14.15 2 n mile 3 4

15.a=b=c=1,S=

16.(1)-3,2 (2)a1=0,n>1,an=2n-4,(3)2n+1(n-3)+8 17.0 18.78000 19.-12.5 π 20. 4 21.7 22. π 3

x+1 2 23.(1)f(1)=1(2)f(x)= ( ) (3)m≤0,m≥1 2 3 3 q2n-1 24.(3)q=1, n. q≠1, 2n-2 2 2 2 q (q -1)


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