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圆锥曲线题型分类训练


一、有关求值问题
1.已知抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,直线 y=4 与 y 轴的交点为 P,与 C 的交点 5 为 Q,且|QF|= |PQ|.(1)求 C 的方程; 4 (2)过 F 的直线 l 与 C 相交于 A,B 两点,若 AB 的垂直平分线 l′与 C 相交于 M,N 两点, 且 A,M,B,N 四点在同一圆上,求 l 的方程. 2.

圆 x2+y2=4 的切线与 x 轴正半轴,y 轴正半轴围成—个三角形,当该 x2 y2 三角形面积最小时,切点为 P(如图).双曲线 C1: 2- 2=1 过点 P 且 a b 离心率为 3. (1)求 C1 的方程; (2)椭圆 C2 过点 P 且与 C1 有相同的焦点,直线 l 过 C2 的右焦点且与 C2 交于 A,B 两点.若以线段 AB 为直径的圆过点 P,求 l 的方程. 3.已知抛物线

C1 : x3 = y ,圆 C2 : x2 ? ( y ? 4)2 ? 1的圆心为点 M
c1 的准线的距离; c1 上一点(异于原点) c ,过点 P 作圆 2 的两

(Ⅰ)求点 M 到抛物线

(Ⅱ)已知点 P 是抛物线 条切线,交抛物线

c1 于 A,B 两点,若过 M,P 两点的直线 l 垂直于

AB,求直线 l 的方程

二、有关证明问题
x2 y2 ? ?1 2 4.如图, 在平面直角坐标系 xOy 中, M、 N 分别是椭圆 4
的顶点,过坐标原点的直线交椭圆于 P、A 两点,其中 P 在第一象 限,过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 C,连接 AC,并延长交椭圆于点 B,设直线 PA 的斜率为 k (1)当直线 PA 平分线段 MN,求 k 的值; (2)当 k=2 时,求点 P 到直线 AB 的距离 d; (3)对任意 k>0,求证:PA⊥PB 5.已知曲线 C : ?5 ? m? x ? ? m ? 2? y ? 8 ? m ? R ? .
2 2

(1)若曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆,求 m 的取值范围; (2)设 m ? 4 ,曲线 C 与 y 轴的交点为 A ,B (点 A 位于点 B 的上方) ,直线 y ? kx ? 4 与 曲线 C 交于不同的两点 M , N ,直线 y ? 1 与直线 BM 交于点 G ,求证: A ,G , N 三点共线.

三、有关求范围和最值问题
6.椭圆 C:
1 x2 y 2 + ? 1 (a>b>0)的离心率为 ,其左焦点到点 P(2,1)的距离为 10 .不过原 2 a 2 b2

点 O 的直线 l 与 C 相交于 A,B 两点,且线段 AB 被直线 OP 平分. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;(Ⅱ) 求 ? ABP 的面积取最大时直线 l 的方程. x2 y2 7.已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的焦距为 4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正 a b 三角形.(1)求椭圆 C 的标准方程. (2)设 F 为椭圆 C 的左焦点,T 为直线 x=-3 上任意一点,过 F 作 TF 的垂线交椭圆 C |TF| 于点 P,Q.①证明:OT 平分线段 PQ(其中 O 为坐标原点);②当 最小时,求点 T 的坐标. |PQ| x2 y2 8.如图,O 为坐标原点,椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0)的左、 a b x2 y2 右焦点分别为 F1,F2,离心率为 e1;双曲线 C2: 2- 2=1 的 a b 3 左、右焦点分别为 F3,F4,离心率为 e2.已知 e1e2= , 2 且|F2F4|= 3-1. (1)求 C1,C2 的方程;(2)过 F1 作 C1 的不垂直于 y 轴的 弦 AB,M 为 AB 的中点.当直线 OM 与 C2 交于 P,Q 两点 时,求四边形 APBQ 面积的最小值. 9.在平面直角坐标系 xOy 中, F 是抛物线 C : x 2 ? 2 py ( p ? 0) 的焦点, M 是抛物线 C 上 位于第一象限内的任意一点,过 M , F , O 三点的圆的圆心为 Q ,点 Q 到抛物线 C 的准线的 距离为 3 . (Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ)是否存在点 M ,使得直线 MQ 与抛物线 C 相切

4

于点 M ? 若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,说明理由;

4 1 l 与圆 Q 有两个不同的交点 D, E ,求当 ? k ? 2 时, | AB |2 ? | DE |2 的最小值. 2
10.椭圆

(Ⅲ)若点 M 的横坐标为 2 ,直线 l : y ? kx ? 1 与抛物线 C 有两个不同的交点 A, B ,

C1 :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b 的离心率为 2 , x 轴被曲线

C2 : y ? x2 ? b 截得的线段长等于 C1 的长半轴长。
(Ⅰ)求 C1,C2 的方程; (Ⅱ)设 C2 与 y 轴的焦点为 M,过坐标原点 O 的直线 l 与 C2 相交于点 A,B,直线 MA,MB 分别与 C1 相交与 D,E. (i)证明:MD⊥ME;

S1 17 ? S ,S S 32 ?请说明理 (ii)记△MAB,△MDE 的面积分别是 1 2 .问:是否存在直线 l,使得 2
由。

四、有关定点定值问题
11.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的点均在 C2: (x-5)2+y2=9 外,且对 C1 上任意一点 M, M 到直线 x=﹣2 的距离等于该点与圆 C2 上点的距离的最小值. (Ⅰ)求曲线 C1 的方程; (Ⅱ)设 P(x0,y0)(y0≠±3)为圆 C2 外一点,过 P 作圆 C2 的两条切线,分别与曲线 C1 相交 于点 A,B 和 C,D.证明:当 P 在直线 x=﹣4 上运动时,四点 A,B,C,D 的纵坐标之积 为定值. x2 12.如图所示,已知双曲线 C: 2-y2=1(a>0)的右焦点为 F,点 A,B 分别在 C 的两条 a 渐近线上,AF⊥x 轴,AB⊥OB,BF∥OA(O 为坐标原点). (1)求双曲线 C 的方程;(2)过 C 上一点 P(x0,y0)(y0≠0)的直 x0x 3 线 l: 2 -y0y=1 与直线 AF 相交于点 M,与直线 x= 相交 a 2 |MF| 于点 N.证明:当点 P 在 C 上移动时, 恒为定值,并求此 |NF| 定值. 13.已知抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,A 为 C 上异于原点的任意一点,过点 A 的直线 l 交 C 于另一点 B,交 x 轴的正半轴于点 D,且有|FA|=|FD|.当点 A 的横坐标为 3 时, △ADF 为正三角形. (1)求 C 的方程. (2)若直线 l1∥l,且 l1 和 C 有且只有一个公共点 E. ①证明直线 AE 过定点,并求出定点坐标. ②△ABE 的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小 值;若不存在,请说明理由. x2 y 2 14.如图, 在平面直角坐标系 xoy 中, 椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的 a b

e) 和 ? e , 0) .已知 (1 , 左、右焦点分别为 F1 (?c , 0) , F2 (c ,
离心率. (1)求椭圆的方程;

? ? ?

3? ? 都在椭圆上,其中 e 为椭圆的 2 ? ?

(2)设 A, B 是椭圆上位于 x 轴上方的两点,且直线 AF1 与直线 BF2 平行, AF2 与 BF1 交于 点 P. (i)若 AF1 ? BF2 ?

6 ,求直线 AF1 的斜率; (ii)求证: PF1 ? PF2 是定值. 2

五、有关探究性问题
x2 y 2 2 15.在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? , a b 3
且椭圆 C 上的点到 Q (0, 2) 的距离的最大值为 3 ; (1)求椭圆 C 的方程; (2)在椭圆 C 上,是否存在点 M (m, n) 使得直线 l : mx ? ny ? 1 与圆 O : x ? y ? 1 相
2 2

O B 交于不同的两点 A, B , 且 ?A

的面积最大?若存在, 求出点 M 的坐标及相对应的 ?AOB

的面积;若不存在,请说明理由. 16.如图,椭圆 C: 2 + 率 e=

x2 a

3 y2 =1(a >b>0) 经过点 P(1, ), 离心 2 2 b

1 ,直线 l 的方程为 x =4 . 2 (1) 求椭圆 C 的方程; (2) AB 是经过右焦点 F 的任一弦(不经过点 P ),设
直线 AB 与直线 l 相交于点 M , 记 PA, PB, PM 的斜 率分别为 k1 ,k2 ,k3 . 问:是否存在常数 ? ,使得 k1 +k2 =? k3 . ?若存在求 ? 的值;若不存在, 说明理由. 17.如图,已知椭圆 C1 与 C2 的中心在坐标原点 O ,长轴均为 MN 且在 x 轴上,短轴长分别为

2m , 2n ? m ? n ? , 过原点且不与 x 轴重合的直线 l 与 C1 , C2
的四个交点按纵坐标从大到小依次为 A , B , C , D . 记

y
A
N x

??

m , ?BDM 和 ?ABN 的面积分别为 S1 和 S2 . n

M
C

O

(I)当直线 l 与 y 轴重合时,若 S1 ? ? S2 ,求 ? 的值;

D

(II)当 ? 变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线 l ,使得 S1 ? ? S2 ?并说明理由. 18.如图,已知椭圆 C1 的中心在原点 O,长轴左、右端点 M,N 在 x 轴上,椭圆 C2 的短轴 为 MN,且 C1,C2 的离心率都为 e,直线 l⊥MN,l 与 C1 交于两点,与 C2 交于两点,这四点按纵坐标从大到小依次 为 A,B,C,D.

e?
(I)设

1 2 ,求 BC 与 AD 的比值;

(II)当 e 变化时,是否存在直线 l,使得 BO∥AN,并说明 理由.

一、有关求值问题(2011 年之后高考题)
1.已知抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,直线 y=4 与 y 轴的交点为 P,与 C 的交点 5 为 Q,且|QF|= |PQ|. 4 (1)求 C 的方程; (2)过 F 的直线 l 与 C 相交于 A,B 两点,若 AB 的垂直平分线 l′与 C 相交于 M,N 两点, 且 A,M,B,N 四点在同一圆上,求 l 的方程. 8 21.解:(1)设 Q(x0,4),代入 y2=2px,得 x0= , p 8 p p 8 所以|PQ|= ,|QF|= +x0= + . p 2 2 p p 8 5 8 由题设得 + = × ,解得 p=-2(舍去)或 p=2, 2 p 4 p 所以 C 的方程为 y2=4x. (2)依题意知 l 与坐标轴不垂直,故可设 l 的方程为 x=my+1(m≠0). 代入 y2=4x,得 y2-4my-4=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 y1+y2=4m,y1y2=-4. 故线段的 AB 的中点为 D(2m2+1,2m), |AB|= m2+1|y1-y2|=4(m2+1). 又直线 l ′的斜率为-m, 1 所以 l ′的方程为 x=- y+2m2+3. m 将上式代入 y2=4x, 4 并整理得 y2+ y-4(2m2+3)=0. m 设 M(x3,y3),N(x4,y4), 4 则 y3+y4=- ,y3y4=-4(2m2+3). m 2 2? 2 故线段 MN 的中点为 E? ?m2+2m +3,-m?, |MN|= 4(m2+1) 2m2+1 1 1+ 2|y3-y4|= . m m2

1 由于线段 MN 垂直平分线段 AB, 故 A, M, B, N 四点在同一圆上等价于|AE|=|BE|= |MN|, 2 1 1 从而 |AB|2+|DE|2= |MN|2,即 4 4
2 2 2 2 2m+ ? +? 2+2? = 4(m2+1)2+? m? ?m ? ?

4(m2+1)2(2m2+1) , m4 化简得 m2-1=0,解得 m=1 或 m=-1, 故所求直线 l 的方程为 x-y-1=0 或 x+y-1=0

2.圆 x2+y2=4 的切线与 x 轴正半轴,y 轴正半轴围成—个三角形,当该三角形面积最小 x2 y2 时,切点为 P(如图 16 所示).双曲线 C1: 2- 2=1 过点 P 且离心率为 3. a b

图 16 (1)求 C1 的方程; (2)椭圆 C2 过点 P 且与 C1 有相同的焦点, 直线 l 过 C2 的右焦点且与 C2 交于 A, B 两点. 若 以线段 AB 为直径的圆过点 P,求 l 的方程. x0 20.解:(1)设切点坐标为(x0,y0)(x0>0,y0>0),则切线斜率为- ,切线方程为 y-y0 y0 4 x0 ? ?0, 4 ?. =- (x-x0), 即 x0x+y0y=4, 此时两个坐标轴的正半轴与切线的交点分别为? ?x0,0?, ? y0? y0 1 4 4 8 2 故其围成的三角形的面积 S= · · = .由 x2 当且仅当 x0=y0= 2时 0+y0=4≥2x0y0 知, 2 x0 y0 x0y0 x0y0 有最大值 2,此时 S 有最小值 4,因此点 P 的坐标为( 2, 2). 2 2 ? ?a2-b2=1, 由题意知? y2 解得 a2=1,b2=2,故 C1 的方程为 x2- =1. 2

? ?a2+b2=3a2,

x2 y2 (2)由(1)知 C2 的焦点坐标为(- 3,0),( 3,0),由此可设 C2 的方程为 2+ 2=1, 3+b1 b1 其中 b1>0. 2 2 由 P( 2, 2)在 C2 上,得 2+ 2=1, 3+b1 b1 解得 b2 = 3 , 1 x2 y2 因此 C2 的方程为 + =1. 6 3 显然,l 不是直线 y=0. 设直线 l 的方程为 x=my+ 3,点 A(x1,y1),B(x2,y2), ? ?x=my+ 3, 由?x2 y2 得(m2+2)y2+2 3my-3=0. + = 1 , ? ?6 3 又 y1,y2 是方程的根,因此 2 3m y1+y2=- 2 , ① m +2

? ? ? -3 ? ?y y =m +2,
1 2 2

② 由 x1=my1+ 3,x2=my2+ 3,得

4 3 x +x =m(y +y )+2 3= , ? ? m +2 ? 6-6m x x =m y y + 3m(y +y )+3= . ? ? m +2
1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2

③ ④

→ → → → 因为AP=( 2-x1, 2-y1),BP=( 2-x2, 2-y2),由题意知AP·BP=0, 所以 x1x2- 2(x1+x2)+y1y2- 2(y1+y2)+4=0,⑤ 将①②③④代入⑤式整理得 2m2-2 6m+4 6-11=0, 3 6 6 解得 m= -1 或 m=- +1. 2 2 因此直线 l 的方程为 3 6 6 x-( -1)y- 3=0 或 x+( -1)y- 3=0. 2 2 3.已知抛物线

C1 : x3 = y ,圆 C2 : x2 ? ( y ? 4)2 ? 1的圆心为点 M
c1 的准线的距离; c1 上一点(异于原点) c c ,过点 P 作圆 2 的两条切线,交抛物线 1 于

(Ⅰ)求点 M 到抛物线

(Ⅱ)已知点 P 是抛物线

A,B 两点,若过 M,P 两点的直线 l 垂直于 AB,求直线 l 的方程

本题主要考查抛物线的几何性质,直线与抛物线、圆的位置关系等基础知识,同时考查解析 几何的基本思想方法和综合解题能力。满分 15 分。

1 y?? , 4 (I)解:由题意可知,抛物线的准线方程为: 17 . 4 所以圆心 M(0,4)到准线的距离是
(II)解:设 则题意得
2 2 P( x0 , x0 ), A( x1, x12 ), B( x2 , x2 ),

x0 ? 0, x0 ? ?1, x1 ? x2 ,
2 y ? x0 ? k ( x ? x0 ) ,

设过点 P 的圆 C2 的切线方程为



2 y ? kx ? kx0 ? x0



2 | kx0 ? 4 ? x0 |

则 即

1? k 2

? 1,

2 2 2 ( x0 ?1)k 2 ? 2x0 (4 ? x0 )k ? ( x0 ? 4)2 ?1 ? 0 ,

设 PA,PB 的斜率为

k1 , k2 (k1 ? k2 ) ,则 k1 , k2 是上述方程的两根,所以

k1 ? k2 ?
将①代入 由于 故

2 2 2 x0 ( x0 ? 4) ( x0 ? 4)2 ? 1 , k k ? . 1 2 2 2 x0 ?1 x0 ?1
2 y ? x2得x2 ? kx ? kx0 ? x0 ? 0,

x0 是此方程的根,

x1 ? k1 ? x0 , x2 ? k2 ? x0 ,所以
2 2 x ( x 2 ? 4) x2 ? 4 x12 ? x2 ? x1 ? x2 ? k1 ? k2 ? 2 x0 ? 0 2 0 ? 2 x0 , kMP ? 0 . x1 ? x2 x0 ? 1 x0 2 2 2 x0 ( x0 ? 4) x0 ?4 ?( ? 2 x0 ) ? ( ? ?1) 2 x0 ? 1 x0 ,

k AB ?

由 MP ? AB ,得
2 x0 ?

k AB ? kMP

解得

23 , 5

(?
即点 P 的坐标为

23 23 , ) 5 5 ,
y?? 3 115 x ? 4. 115

所以直线 l 的方程为

二、有关证明问题
x2 y2 ? ?1 2 4.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,M、N 分别是椭圆 4 的顶点,过坐标原点的
直线交椭圆于 P、A 两点,其中 P 在第一象限,过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 C,连接 AC, 并延长交椭圆于点 B,设直线 PA 的斜率为 k (1)当直线 PA 平分线段 MN,求 k 的值; (2)当 k=2 时,求点 P 到直线 AB 的距离 d; (3)对任意 k>0,求证:PA⊥PB

本小题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离 等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能力,满分 16 分. 解: ( 1 )由题设知, a ? 2, b ?

2, 故M (?2,0), N (0,? 2 ), 所以线段 MN 中点的坐标为

(?1,?

2 ) 2 ,由于直线 PA 平分线段 MN,故直线 PA 过线段 MN 的中点,又直线 PA 过坐标

2 2 ? 2. k? ?1 2 原点,所以 ?

y ? 2 x代入椭圆方程得
(2)直线 PA 的方程

x2 y 2 ? ? 1, 4 2

2 2 4 2 4 x ? ? ,因此 P( , ), A(? ,? ). 3 3 3 3 3 解得

4 3 ? 1, 故直线AB的方程为x ? y ? 2 ? 0. 2 2 2 3 ? C ( ,0), 于是 3 直线 AC 的斜率为 3 3 0?

2 4 2 | ? ? | 2 2 因此, d ? 3 3 3 ? . 1 2 3 1 ?1
(3)解法一:

将直线 PA 的方程 y ? kx 代入

x2 y 2 2 2 ? ? 1, 解得x ? ? , 记? , 2 4 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2

则 P(? , ?k ), A(?? ,??k ),于是C(? ,0)

0 ? ?k k ? , ? ? ? 2 故直线 AB 的斜率为
y?
其方程为

k ( x ? ? ), 代入椭圆方程得 (2 ? k 2 ) x 2 ? 2?k 2 x ? ? 2 (3k 2 ? 2) ? 0, 2

x?
解得

? (3k 2 ? 2)
2 ? k2

或x ? ??因此B(

? (3k 2 ? 2) ? k 3
2 ? k2 ,

) 2 ? k2 .

?k 3
k1 ?
于是直线 PB 的斜率

2? k2
2

? ?k ?

? (3k ? 2)
2? k2

1 ?? . k 3k ? 2 ? (2 ? k )
2 2

k 3 ? k (2 ? k 2 )

因此 k1k ? ?1, 所以PA ? PB. 解法二: 设 P( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ),则x1 ? 0, x2 ? 0, x1 ? x2 , A(? x1 ,? y1 ), C( x1 ,0) .

设直线 PB, AB 的斜率分别为 k1 , k 2 因为 C 在直线 AB 上, 所以 从而

k2 ?

0 ? ( y1 ) y k ? 1 ? . x1 ? (? x1 ) 2 x1 2

k1k ? 1 ? 2k1k 2 ? 1 ? 2 ?

y 2 ? y1 y 2 ? (? y1 ) ? ?1 x2 ? x1 x2 ? (? x1 )

?

2 2 2 2 y2 ? 2 y12 ( x2 ? 2 y2 ) 4?4 ? 1 ? ? 2 ? 0. 2 2 2 2 x2 ? x1 x2 ? x1 x2 ? x12

因此 k1k ? ?1, 所以PA ? PB. 5.已知曲线 C : ?5 ? m? x ? ? m ? 2? y ? 8 ? m ? R ? .
2 2

(1)若曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆,求 m 的取值范围; (2)设 m ? 4 ,曲线 C 与 y 轴的交点为 A ,B (点 A 位于点 B 的上方) ,直线 y ? kx ? 4 与 曲线 C 交于不同的两点 M , N ,直线 y ? 1 与直线 BM 交于点 G ,求证: A ,G , N 三点共线. 解: (1)原曲线方程可化简得:
x2 y2 ? ?1 8 8 5?m m?2

8 ? 8 ?5 ? m ? m ? 2 ? ? 8 7 ?0 由题意可得: ? ,解得: ? m ? 5 2 ?5 ? m ? 8 ?m ? 2 ? 0 ?
(2)由已知直线代入椭圆方程化简得: (2k 2 ? 1) x2 ? 16kx ? 24 ? 0 ,
?=32(2k 2 ? 3) ,解得: k 2 ?

3 2

由韦达定理得: xM ? xN ?

16k 24 ①, xM xN ? 2 ,② 2k 2 ? 1 2k ? 1

设 N ( xN , k xN ? 4) , M ( xM , kxM ? 4) , G( xG , 1)

MB 方程为: y ?

? 3xM ? kxM ? 6 x ? 2 ,则 G ? , 1? , xM ? kxM ? 6 ?

? AG ? ?

???? ? 3xM ? ???? ,? 1? , AN ? ? xN ,xN k ? 2 ? , ? xM k ? 6 ?

???? ???? 欲证 A , G ,N 三点共线,只需证 AG , AN 共线



3 xM ( xN k ? 2) ? ? xN 成立,化简得: (3k ? k ) xM xN ? ?6( xM ? xN ) xM k ? 6

G ,N 三点共线得证。 将①②代入易知等式成立,则 A , (lby lfx)

三、有关求范围和最值问题
1 x2 y 2 6.如图, 椭圆 C: 2 + 2 ? 1 (a>b>0)的离心率为 , 其左焦点到点 P(2, 1)的距离为 10 . 不 2 a b

过原点 O 的直线 l 与 C 相交于 A,B 两点,且线段 AB 被直线 OP 平分. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 求 ? ABP 的面积取最大时直线 l 的方程. 【解析】 (Ⅰ)由题: e ?
c 1 ? ; (1) a 2

左焦点(﹣c,0)到点 P(2,1)的距离为: d ? (2 ? c)2 ? 12 ? 10 . (2) 由(1) (2)可解得: a 2 ? 4,b 2 ? 3,c 2 ? 1 . ∴所求椭圆 C 的方程为:
x2 y 2 + ?1. 4 3

1 1 (Ⅱ)易得直线 OP 的方程:y= x,设 A(xA,yA),B(xB ,yB),R(x0,y0).其中 y0= x0. 2 2

∵A,B 在椭圆上,
? xA2 y A2 + ?1 ? ? 4 3 ∴? 2 2 ? xB + yB ? 1 ? 3 ? 4 y A ? yB 3 xA ? xB 3 2 x0 3 ?? ?? ?? . x A ? xB 4 y A ? yB 4 2 y0 2

? k AB ?

3 设直线 AB 的方程为 l:y=﹣ x ? m (m≠0), 2

? x2 y 2 + ?1 ? ? 代入椭圆: ? 4 3 ? y=- 3 x ? m ? ? 2

?

3x 2 ? 3mx ? m 2 ? 3 ? 0 .

显然 ? ? (3m)2 ? 4 ? 3(m2 ? 3) ? 3(12 ? m2 ) ? 0 . ∴ ? 2 3 <m< 2 3 且 m≠0. 由上又有: xA ? xB =m, y A ? yB = ∴|AB|= 1 ? k 2 | xA ? xB |= 1 ? k AB ∵点 P(2,1)到直线 l 的距离为: d ?
m2 ? 3 . 3

( xA ? xB )2 ? 4xA xB =

1? k 2

4?

m2 . 3

m?4 9 1? 4



∴ S ?

ABP



1 2

d|AB| =

1 2

|m-4|

4?

m2 3

=

3 (4 ? m) ? 12 ? m 2 6



3 此时直线 l 的方程 y ? ? x ? 1 ? 7 . 当且仅当m ? 1 ? 7时,三角形的面积最大 , 2
x2 y2 7.已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的焦距为 4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构 a b 成正三角形. (1)求椭圆 C 的标准方程. (2)设 F 为椭圆 C 的左焦点,T 为直线 x=-3 上任意一点,过 F 作 TF 的垂线交椭圆 C 于点 P,Q. ①证明:OT 平分线段 PQ(其中 O 为坐标原点); |TF| ②当 最小时,求点 T 的坐标. |PQ|

? a2+b2=2b, 20.解:(1)由已知可得? ?2c=2 a2-b2=4,
解得 a2=6,b2=2, x2 y2 所以椭圆 C 的标准方程是 + =1. 6 2 (2)①证明:由(1)可得,F 的坐标是(-2,0),设 T 点的坐标为(-3,m), m-0 则直线 TF 的斜率 kTF= =-m. -3-(-2) 1 当 m≠0 时,直线 PQ 的斜率 kPQ= .直线 PQ 的方程是 x=my-2. m 当 m=0 时,直线 PQ 的方程是 x=-2,也符合 x=my-2 的形式.

x=my-2, ? ? 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),将直线 PQ 的方程与椭圆 C 的方程联立,得?x2 y2 ? ? 6 + 2 =1. 消去 x,得(m2+3)y2-4my-2=0, 其判别式 Δ=16m2+8(m2+3)>0. -2 4m 所以 y1+y2= 2 ,y1y2= 2 , m +3 m +3 -12 x1+x2=m(y1+y2)-4= 2 . m +3 设 M 为 PQ 的中点,则 M 点的坐标为? m 所以直线 OM 的斜率 kOM=- , 3 m 又直线 OT 的斜率 kOT=- , 3 所以点 M 在直线 OT 上, 因此 OT 平分线段 PQ. ②由①可得, |TF|= m2+1, |PQ|= (x1-x2)2+(y1-y2)2 = (m2+1)[(y1+y2)2-4y1y2] 2 -2 ? ?? 4m ? = (m2+1)? m2+3 -4· 2 ? ? m +3? ?? = 24(m2+1) . m2+3
2 2 1 (m +3) · 2 = 24 m +1

? -6 , 2m ?. ? ?m2+3 m2+3?

|TF| 所以 = |PQ|

4 1? 2 m +1+ 2 +4?≥ m +1 ? 24?

1 3 (4+4)= . 24 3

4 |TF| 当且仅当 m2+1= 2 ,即 m=± 1 时,等号成立,此时 取得最小值. |PQ| m +1 |TF| 故当 最小时,T 点的坐标是(-3,1)或(-3,-1). |PQ| x2 y2 8.如图 17,O 为坐标原点,椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2, a b x2 y2 3 离心率为 e1; 双曲线 C2: 2- 2=1 的左、 右焦点分别为 F3, F4, 离心率为 e2.已知 e1e2= , a b 2 且|F2F4|= 3-1. (1)求 C1,C2 的方程; (2)过 F1 作 C1 的不垂直于 y 轴的弦 AB,M 为 AB 的中点.当直线 OM 与 C2 交于 P,Q 两点时,求四边形 APBQ 面积的最小值.

图 17 2 2 a - b a2+b2 3 3 3 21.解: (1)因为 e1e2= ,所以 · = ,即 a4-b4= a4,因此 a2= 2 a a 2 4 2b2,从而 F2(b,0), x2 F4( 3b,0),于是 3b-b=|F2F4|= 3-1,所以 b=1,a2=2.故 C1,C2 的方程分别为 2 2 x +y2=1, -y2=1. 2

(2)因 AB 不垂直于 y 轴,且过点 F1(-1,0),故可设直线 AB 的方程为 x=my-1,由 x = my-1, ? ?2 ?x 得(m2+2)y2-2my-1=0. 2 + y = 1 ? ?2 易知此方程的判别式大于 0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1,y2 是上述方程的两个实根, -1 2m 所以 y1+y2= 2 ,y1y2= 2 . m +2 m +2 -4 m ? ? -2 因此 x1+x2=m(y1+y2)-2= 2 ,于是 AB 的中点为 M? 2 , 2 ?,故直线 PQ m +2 ?m +2 m +2? m m 的斜率为- ,PQ 的方程为 y=- x,即 mx+2y=0. 2 2 m y=- x, 2 4 m2 2 由 2 得(2-m2)x2=4,所以 2-m2>0,且 x2= ,从而|PQ|= 2,y = 2-m 2-m2 x 2 -y =1 2 m2+4 2 x2+y2=2 .设点 A 到直线 PQ 的距离为 d,则点 B 到直线 PQ 的距离也为 d,所 2-m2 |mx1+2y1|+|mx2+2y2| 以 2d= .因为点 A,B 在直线 mx+2y=0 的异侧,所以(mx1+2y1)(mx2 m2+4 (m2+2)|y1-y2| +2y2)<0,于是|mx1+2y1|+|mx2+2y2|=|mx1+2y1-mx2-2y2|,从而 2d= . m2+4

? ? ?

2 2· 1+m2 2 2· 1+m2 又因为|y1-y2|= (y1+y2)2-4y1y2= ,所以 2 d = . m 2 +2 m2+4

2 2· 1+m2 1 3 故四边形 APBQ 的面积 S= |PQ|·2d= =2 2· -1+ . 2 2 2 - m2 2-m 而 0<2-m2≤2,故当 m=0 时,S 取最小值 2. 综上所述,四边形 APBQ 面积的最小值为 2. 9.在平面直角坐标系 xOy 中, F 是抛物线 C : x 2 ? 2 py ( p ? 0) 的焦点,M 是抛物线

C上
位于第一象限内的任意一点,过 M , F , O 三点的圆的圆心为 Q ,点 Q 到抛物线 C 的准 线 的距离为 3 .

4

(Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ)是否存在点 M ,使得直线 MQ 与抛物线 C 相切于点 M ? 若存在,求出点 M 的 坐标; 若不存在,说明理由; (Ⅲ)若点 M 的横坐标为 2 ,直线 l : y ? kx ? 1 与抛物线 C 有两个不同的交点 A, B ,

4

l与
圆 Q 有两个不同的交点 D, E ,求当 1 ? k ? 2 时, | AB |2 ? | DE |2 的最小值.

2

(21)解: (Ⅰ)依题线段 OF 为圆 Q 的弦,由垂径定理知圆心 Q 的纵坐标 yQ ? 又 Q 到抛物线准线 y ? ? 所以 x2 ? 2 y 为所求. ( Ⅱ ) 假 设 存 在 点 M ( x0 ,
2 y ? x ? y' ? x 2
2 x0 ?1 2 4 ? y'| ? x , 解 得 ? x ? x0 0 x0 ? xQ

p , 4

p p p p 的距离为 yQ ? ? ? ? 3 ,所以 p ? 1 . 2 2 4 2 4
2 x0 ) , 又 F (0 , 1 ) , 设 Q( xQ , 1 ) . x2 ? 2 y 变 形 为 2 4 2

因 为 直 线 MQ 为 抛 物 线 的 切 线 , 故 kMQ

x0 ? 1 , 2 4 x0 x 即 Q( 0 ? 1 , 1 ) . 2 4x0 4 xQ ?
2 x0 x0 ?1 , ) ,由垂径定理知 FM ? QN , 2 4 ???? ? ???? x2 ? 1 x2 所以 FM ? QN ? (x0 , 0 ) ? (? 1 , 0 ) ? 0 ? x0 ? 2 ,所以存在 M ( 2 , 4x0 2 4 1) .

又取 FM 中点 N (

( Ⅲ ) 依 题 M ( 2 , 1) , 圆 心 Q(5 2 , 1 ) , 圆 Q 的 半 径

8

4

? ? r ? | OQ | ? ? 5 2 ? ? ( 1 ) 2 ? 27 , 8 4 32 ? ?

2

|5 2k| 1 圆心 Q 到直线 y ? kx ? 的距离为 d ? 8 ? 5 2k 2 , 2 4 1? k 8 1? k
所以, | DE |2 ? 4(r 2 ? d 2 ) ? 4 ? 27 ?

? 25k 2 ? ? 27 ? 2k 2 . 2 ? 2 ? 32 32(1 ? k ) ? 8(1 ? k )

2 ? ?x ? 2y 2 1 又联立 ? 1 ? x ? 2kx ? 2 ? 0 , y ? kx ? ? ? 4 ? ? x1 ? x2 ? 2k 设 A( x1 , y1) , B( x2 , y2 ) ,则有, ? 1 . x x ? ? 1 2 ? ? 2

所以, | AB |2 ? (1 ? k 2 )[(x1 ? x2 )2 ? 4x1x2] ? (1 ? k 2)(4k 2 ? 2) . 于是,
2 | AB |2 ? | DE |2 ? (1 ? k 2 )(4k 2 ? 2) ? 2k ? 27 ? 4k 4 ? 6k 2 ? 9 ? 25 ? 1 2 ( 1 ? k ? 2 ) 4 8 1? k 2 8(1 ? k 2 )

记 f ( x) ? 4x 2 ? 6x ? 9 ? 25 ? 1

( 1 ? x ? 4) , 4 8 1? x 4 f '(x) ? 8x ? 6 ? 25 ? 1 2 ? 6 ? 25 ? 0 ,所以 f ( x) 在 [ 1 , 4] 上单增, 4 8 (1 ? x) 8 4 4 2

所以当 x ? 1 , f ( x) 取得最小值 f min ( x) ? f ( 1 ) ? 13 , 所以当 k ? 1 时, | AB |2 ? | DE |2 取得最小值 13 .

2

2

10. 椭 圆

C1 :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2 的离心率为

3 2 2 ,x 轴被曲线 C2 : y ? x ? b 截得的线段长等于
C1 的长半轴长。 (Ⅰ)求 C1,C2 的方程; (Ⅱ) 设 C2 与 y 轴的焦点为 M, 过坐标原点 O 的直 线 l 与 C2 相交于点 A,B,直线 MA,MB 分别与 C1 相交 与 D,E. (i)证明:MD⊥ME;

S1 17 ? S , S S 32 ?请说明理 1 2 2 (ii)记△MAB,△MDE 的面积分别是 .问:是否存在直线 l,使得
由。

e?
解 : (Ⅰ)由题意知

c 3 ? , 从而a ? 2b, 又2 b ? a, 解得a ? 2, b ? 1. a 2

x2 ? y 2 ? 1, y ? x 2 ? 1. 故 C1,C2 的方程分别为 4
(Ⅱ) (i)由题意知,直线 l 的斜率存在,设为 k,则直线 l 的方程为 y ? kx .

? ? y ? kx ? 2 ?y ? x ?1 由? 得

x 2 ? kx ? 1 ? 0

.

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ),则x1 , x2 是上述方程的两个实根,于是

x1 ? x2 ? k , x1 x2 ? ?1.
又点 M 的坐标为(0,—1) ,所以
2 y1 ? 1 y 2 ? 1 (kx1 ? 1)(kx2 ? 1) k x1 x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 1 ? ? ? ? x1 x2 x1 x2 x1 x2

k MA ? k MB

?

? k 2 ? k 2 ?1 ?1

? ?1.

故 MA⊥MB,即 MD⊥ME.

? ? y ? k1 x ? 1, y ? k1 x ? 1,由? 2 ? ? y ? x ? 1 解得 (ii)设直线 MA 的斜率为 k1,则直线 MA 的方程为

?x ? 0 ?x ? k , 或? ? 2 ? y ? ?1 ? y ? k1 ? 1
则点 A 的坐标为 (k1 , k1 ? 1) .
2

1 k1 , 又直线 MB 的斜率为 ? (?
同理可得点 B 的坐标为

1 1 , ? 1). k1 k12

S1 ?
于是

1 1 1 1 1 ? k12 | MA | ? | MB |? 1 ? k12 ? | k1 | ? 1 ? 1 ? | ? |? 2 2 k1 k1 2 | k1 |

? ? y ? k1 x ? 1, ? 2 2 ? x ? 4 y ? 4 ? 0 (1 ? 4k12 ) x 2 ? 8k1 x ? 0. 由? 得

8k1 ? x? , 2 ? ? x ? 0, ? 1 ? 4k1 或? ? 2 ? y ? ?1 ? y ? 4k1 ? 1 ? 1 ? 4k12 ? 解得
8k1 4k12 ? 1 ( , ). 2 2 1 ? 4 k 1 ? 4 k 1 1 则点 D 的坐标为 ? 8k1 4 ? k12 1 ( , ). ? 2 2 又直线 ME 的斜率为 k ,同理可得点 E 的坐标为 4 ? k1 4 ? k1 S2 ?
于是

32(1 ? k12 )? | k1 | 1 | MD | ? | ME |? 2 (1 ? k12 )(k12 ? 4) .

S1 1 4 ? (4k12 ? 2 ? 17). S 64 k1 因此 2 1 4 17 1 (4k12 ? 2 ? 17) ? , 解得k12 ? 4, 或k12 ? . 64 k1 32 4 由题意知,

1 k12 1 3 k? ? k1 ? , 所以k ? ? . 1 k1 2 k1 ? k 1 又由点 A、B 的坐标可知, k12 ?
y?
故满足条件的直线 l 存在,且有两条,其方程分别为

3 3 x和y ? ? x. 2 2

四、有关定点定值问题
11.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的点均在 C2: (x-5)2+y2=9 外,且对 C1 上任意一点 M, M 到直线 x=﹣2 的距离等于该点与圆 C2 上点的距离的最小值. (Ⅰ)求曲线 C1 的方程; (Ⅱ)设 P(x0,y0)(y0≠±3)为圆 C2 外一点,过 P 作圆 C2 的两条切线,分别与曲线 C1 相交 于点 A,B 和 C,D.证明:当 P 在直线 x=﹣4 上运动时,四点 A,B,C,D 的纵坐标之积 为定值. 【解析】 (Ⅰ)解法 1 :设 M 的坐标为 ( x, y ) ,由已知得

x ? 2 ? ( x ? 5)2 ? y 2 ? 3 ,

易知圆 C2 上的点位于直线 x ? ?2 的右侧.于是 x ? 2 ? 0 ,所以

( x ? 5) 2 ? y 2 ? x ? 5 .
化简得曲线 C1 的方程为 y 2 ? 20 x . 解法 2 :由题设知,曲线 C1 上任意一点 M 到圆心 C2 (5, 0) 的距离等于它到直线 x ? ?5 的 距离, 因此, 曲线 C1 是以 (5, 0) 为焦点, 直线 x ? ?5 为准线的抛物线, 故其方程为 y 2 ? 20 x .

(Ⅱ)当点 P 在直线 x ? ?4 上运动时,P 的坐标为 (?4, y0 ) ,又 y0 ? ?3 ,则过 P 且与圆

C2 相切得直线的斜率 k 存在且不为 0 ,每条切线都与抛物线有两个交点,切线方程为
.于是 y ? y0 ? k( x ? 4),即kx-y+y 0 +4k=0

5k ? y0 ? 4k k 2 ?1
整理得

? 3.

2 72k 2 ?18 y0k ? y0 ? 9 ? 0.



设过 P 所作的两条切线 PA, PC 的斜率分别为 k1 , k2 ,则 k1 , k2 是方程①的两个实根,故

k1 ? k2 ? ?

18 y0 y ?? 0. 72 4



由?

?k1 x ? y ? y0 ? 4k1 ? 0, 得 k1 y2 ? 20 y ? 20( y0 ? 4k1 ) ? 0. 2 y ? 20 x, ?



设四点 A,B,C,D 的纵坐标分别为 y1 , y2 , y3 , y4 ,则是方程③的两个实根,所以

y1 ? y2 ?
同理可得

20( y0 ? 4k1 ) . k1 20( y0 ? 4k2 ) . k2



y3 ? y4 ?
于是由②,④,⑤三式得



y1 y2 y3 y4 ?

400( y0 ? 4k1 )( y0 ? 4k2 ) k1k2

?

2 400 ? ? y0 ? 4( k1 ? k2 ) y0 ? 16k1k2 ? ?

k1k2
2 2 400 ? ? y0 ? y0 ? 16k1k2 ? ?

?

k1k2

6400 .

所以,当 P 在直线 x ? ?4 上运动时,四点 A,B,C,D 的纵坐标之积为定值 6400. x2 12.如图 17 所示,已知双曲线 C: 2-y2=1(a>0)的右焦点为 F,点 A,B 分别在 C 的 a 两条渐近线上,AF⊥x 轴,AB⊥OB,BF∥OA(O 为坐标原点).

图 17 (1)求双曲线 C 的方程; x0x (2)过 C 上一点 P(x0,y0)(y0≠0)的直线 l: 2 -y0y=1 与直线 AF 相交于点 M,与直线 x a 3 |MF| = 相交于点 N.证明:当点 P 在 C 上移动时, 恒为定值,并求此定值. 2 |NF| 20.解:(1)设 F(c,0),因为 b=1,所以 c= a2+1. c c 1 1 ,- ?. 由题意,直线 OB 的方程为 y=- x,直线 BF 的方程为 y= (x-c),所以 B? 2 2 a? ? a a 1 又直线 OA 的方程为 y= x, a c ? c? - - a ? 2a? 3 c? ? 则 A?c,a?,所以 kAB= = . c a c- 2 1 3 x2 - ?=-1,解得 a2=3,故双曲线 C 的方程为 -y2=1. 又因为 AB⊥OB,所以 ·? a ? a? 3 x0x-3 x0x (2)由(1)知 a= 3,则直线 l 的方程为 -y0y=1(y0≠0),即 y= (y ≠0). 3 3y0 0 2x0-3? 因为直线 AF 的方程为 x=2,所以直线 l 与 AF 的交点为 M?2, ,直线 l 与直线 3y0 ? ? 3 x -3 3 3 2 0 x= 的交点为 N , , 2 2 3y0 (2x0-3)2 (3y0)2 (2x0-3)2 |MF|2 则 = 2= 2 2= |NF| ?3x0-3? 9y0+9(x0-2)2 ? 4 4 1 ?2 + 4 (3y0)2

(2x0-3)2 4 · 2 . 3 3y0+3(x0-2)2 x2 0 又 P(x0,y0)是 C 上一点,则 -y2 0=1, 3
2 (2x0-3)2 |MF|2 4 4 (2x0-3) 4 |MF| 2 2 3 代入上式得 = ,所以 = = , 2= · 2 2= · 2 |NF| 3 x0-3+3(x0-2) 3 4x0-12x0+9 3 |NF| 3 3

为定值. 13.已知抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,A 为 C 上异于原点的任意一点,过点 A 的直线 l 交 C 于另一点 B,交 x 轴的正半轴于点 D,且有|FA|=|FD|.当点 A 的横坐标为 3 时, △ADF 为正三角形. (1)求 C 的方程. (2)若直线 l1∥l,且 l1 和 C 有且只有一个公共点 E. ①证明直线 AE 过定点,并求出定点坐标. ②△ABE 的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由. p ? 21.解:(1)由题意知 F? ?2,0?. 设 D(t,0)(t>0),则 FD 的中点为? 因为|FA|=|FD|, p p t- ?, 由抛物线的定义知 3+ =? 2 ? 2? 解得 t=3+p 或 t=-3(舍去). 由 p+2t =3,解得 p=2, 4 p+2t ? ? 4 ,0?.

所以抛物线 C 的方程为 y2=4x. (2)①证明:由(1)知 F(1,0). 设 A(x0,y0)(x0y0≠0),D(xD,0)(xD>0). 因为|FA|=|FD|,则|xD-1|=x0+1, 由 xD>0 得 xD=x0+2,故 D(x0+2,0). y0 故直线 AB 的斜率 kAB=- . 2 因为直线 l1 和直线 AB 平行, y0 设直线 l1 的方程为 y=- x+b, 2 8 8b 代入抛物线方程得 y2+ y- =0, y0 y0 64 32b 2 由题意 Δ= 2 + =0,得 b=- . y 0 y0 y0 4 4 设 E(xE,yE),则 yE=- ,xE= 2. y0 y0 4 +y0 y y - y 4y0 0 E 0 当 y2 ≠ 4 时, k = =- , 2= 2 0 AE 4 y0 xE-x0 y0-4 - y2 4 0

可得直线 AE 的方程为 y-y0= 由 y2 0=4x0, 4y0 整理可得 y= 2 (x-1), y0-4

4y0 (x-x0), y2 0-4

直线 AE 恒过点 F(1,0). 当 y2 0=4 时,直线 AE 的方程为 x=1,过点 F(1,0). 所以直线 AE 过定点 F(1,0). ②由①知,直线 AE 过焦点 F(1,0), 1 1 ? 所以|AE|=|AF|+|FE|=(x0+1)+? ?x0+1?=x0+x0+2. 设直线 AE 的方程为 x=my+1, 因为点 A(x0,y0)在直线 AE 上, x0-1 故 m= . y0 设 B(x1,y1). y0 直线 AB 的方程为 y-y0=- (x-x0), 2 2 由 y0≠0,得 x=- y+2+x0. y0 8 代入抛物线方程得 y2+ y-8-4x0=0, y0 8 所以 y0+y1=- , y0 8 4 可求得 y1=-y0- ,x1= +x0+4. y0 x0 所以点 B 到直线 AE 的距离为 ? 4 +x0+4+m?y0+ 8 ?-1? y0? ? ? ?x0 d= 2 1+m = 4(x0+1) x0

=4? x0+

?

1 ? , x0?

1 1 1 则△ABE 的面积 S= ×4? x0+ ?x0+ +2≥16, 2 ? x0 x0? 1 当且仅当 =x0,即 x0=1 时,等号成立. x0 所以△ABE 的面积的最小值为 16. 14.如图,在平面直角坐标系 xoy 中,椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 (?c , 0) , a 2 b2

? 3? e) 和 ? e , ? 都在椭圆上,其中 e 为椭圆的离心率. F2 (c , 0) .已知 (1 , ? 2 ? ? ?

(1)求椭圆的方程; (2)设 A, B 是椭圆上位于 x 轴上方的两点,且直线 AF1 与直线 BF2 平行, AF2 与 BF1 交于 点 P.

6 ,求直线 AF1 的斜率; 2 (ii)求证: PF1 ? PF2 是定值.
(i)若 AF1 ? BF2 ?

【答案】解: (1)由题设知, a2 =b2 ? c2,e=

c e) 在椭圆上,得 ,由点 (1 , a


12 a2
∴ c 2 =a 2 ? 1 。

?

e2 b2

?1?

1 a2

?

c2 a 2b 2

=1 ? b 2 ? c 2 =a 2b 2 ? a 2 =a 2b 2 ? b 2 =1

由点 ? e ,

? ? ?

3? ? 在椭圆上,得 2 ? ?
2 2

? 3? ? 3? ? ? ? ? 2 2 2 ? 2 ? e c a2 ? 1 3 ? ? ? ? 1 ? ? ? 1 ? ? ? 1 ? a 4 ? 4a 2 ? 4=0 ? a 2 =2 1 4 a2 b2 a4 a4
∴椭圆的方程为

x2 ? y2 ? 1 。 2

0) ,又∵ AF1 ∥ BF2 , (2)由(1)得 F1 (?1 , 0) , F2 (1,
∴ 设

AF1 、 BF2 的 方 程 分 别 为 my =x ? 1,my =x ? 1 ,

A? x1,y1 ?,B ? x2,y2 ?,y1 > 0,y2 > 0 。
? x12 m ? 2m 2 ? 2 ? y12 ? 1 ? ? m2 ? 2 y12 ? 2my1 ? 1=0 ? y1 = ∴? 2 。 m2 ? 2 ?my =x ? 1 ? 1 1

?

?

∴ AF1 =

? x1 ? 1? ? ? y1 ? 0?
2

2

= ? my1 ?

2

2 ? m2 ? 1? ? m m2 ? 1 m ? 2m2 ? 2 。① ? y = m ?1 ? ? m2 ? 2 m2 ? 2
2 1 2

同理, BF2 =

2 ? m2 ? 1? ? m m2 ? 1 m2 ? 2

。②

(i)由①②得, AF1 ? BF2 ?

2m m 2 ? 1 2m m 2 ? 1 6 。解 得 m 2 =2。 = 2 2 m ?2 m ?2 2

∵注意到 m > 0 ,∴ m= 2 。 ∴直线 AF1 的斜率为

1 2 = 。 m 2

( ii ) 证 明 : ∵

AF1 ∥

BF2

, ∴

PB BF2 ? PF1 AF1

, 即

BF PB ? PF 1 BF ? AF PB 2 ?1 ? 2 ?1? ? 。 PF1 AF 1 PF AF 1 1
∴ PF1 =

1

AF1 BF1 。 (lby lfx) AF1 ? BF2 AF1 2 2 ? BF2 。 AF1 ? BF2

由点 B 在椭圆上知, BF 1= 1 ? BF2 ? 2 2 ,∴ PF

?

?

同理。 PF2 =

BF2 2 2 ? AF1 。 AF1 ? BF2

?

?

∴ PF1 +PF2 =

AF1 BF2 2 AF ?BF2 2 2 ? BF2 ? 2 2 ? AF1 ? 2 2 ? AF1 ? BF2 AF1 ? BF2 AF1 ? BF2

?

?

?

?

由①②得, AF1 ? BF = ∴ PF1 +PF2 =2 2 ?

2 2 m2 ? 1 m ?2
2

?

? , AF ?BF = m

2

?1

m ?2

2



2 3 = 2。 2 2

∴ PF1 ? PF2 是定值。

五、有关探究性问题
15.在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C :

x2 y 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? , 2 a b 3

且椭圆 C 上的 点到 Q (0, 2) 的距离的最大值为 3 ; (1)求椭圆 C 的方程; (2)在椭圆 C 上,是否存在点 M (m, n) 使得直线 l : mx ? ny ? 1 与圆 O : x2 ? y 2 ? 1 相 交于不同的

O B 两点 A, B , 且 ?A
面积;

的面积最大?若存在, 求出点 M 的坐标及相对应的 ?AOB 的

若不存在,请说明理由。 (lby lfx) 【解析】 (1)设 c ? a2 ? b2 由e ?

c 2 2 1 ? ? c 2 ? a 2 ,所以 b 2 ? a 2 ? c 2 ? a 2 3 a 3 3
x2 y 2 ? ?1 , 所 以 a 2 b2

设 P( x, y) 是 椭 圆 C 上 任 意 一 点 , 则

x 2 ? a 2 (1 ?

y2 ) ? a2 ? 3 y2 2 b
| PQ |? x 2 ? ( y ? 2) 2 ? a 2 ? 3 y 2 ? ( y ? 2) 2 ? ?2( y ? 1) 2 ? a 2 ? 6

当 b ? 1 时,当 y ? ?1 时, | PQ | 有最大值 a ? 6 ? 3 ,可得 a ? 3 ,所以
2

b ? 1, c ?

2
当 b ? 1 时, PQ ?

a 2 ? 6 ? 3b 2 ? 6 ? 3 不合题意

x2 ? y2 ? 1 故椭圆 C 的方程为: 3
(2) ?AOB 中, OA ? OB ? 1 , S ?AOB ?

1 1 ? OA ? OB ? sin ?AOB ? 2 2 1 ? 当且仅当 ?AOB ? 90 时, S?AOB 有最大值 , 2

?AOB ? 90? 时,点 O 到直线 AB 的距离为 d ?

2 2

d?

2 1 2 ? ? ? m2 ? n 2 ? 2 2 2 2 2 m ?n
2 2 2

又 m ? 3n ? 3 ? m ?

3 2 1 6 2 , n ? ,此时点 M (? ,? ) (lfxlby) 2 2 2 2

16.如图,椭圆 C: 2 +

x2 a

3 1 y2 =1(a >b>0) 经过点 P(1, ), 离心率 e = ,直线 l 的方程为 x =4 . 2 2 2 b

(1) 求椭圆 C 的方程; (2) AB 是经过右焦点 F 的任一弦(不经过点 P ),设直线 AB 与直线 l 相交于点 M ,记

PA, PB, PM 的斜率分别为 k1 ,k2 ,k3. 问 : 是否存在常数 ? , 使得 k1 +k2 =? k3. ? 若存在求

? 的值;若不存在,说明理由.

【答案】解:(1)由 P (1, ) 在椭圆上得,

3 2

1 9 ? 2 ?1 2 a 4b



依题设知 a ? 2c ,则 b ? 3c
2

2



②代入①解得 c2 ? 1, a 2 ? 4, b2 ? 3 .

故椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

(2)方法一:由题意可设 AB 的斜率为 k , 则直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1) ③

代入椭圆方程 3x2 ? 4 y 2 ? 12 并整理,得 (4k 2 ? 3) x2 ? 8k 2 x ? 4(k 2 ? 3) ? 0 , 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则有

x1 ? x2 ?

8k 2 4(k 2 ? 3) , x x ? 1 2 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3



在方程③中令 x ? 4 得, M 的坐标为 (4,3k ) .

3 3 3 y2 ? 3k ? 2 ,k ? 2 ,k ? 2 ?k?1. 从而 k1 ? 2 3 x1 ? 1 x2 ? 1 4 ?1 2 y1 ?
注意到 A, F , B 共线,则有 k ? k AF ? kBF ,即有

y1 y ? 2 ?k. x1 ? 1 x2 ? 1

3 3 y2 ? 2? 2 ? y1 ? y2 ? 3 ( 1 ? 1 ) 所以 k1 ? k2 ? x1 ? 1 x2 ? 1 x1 ? 1 x2 ? 1 2 x1 ? 1 x2 ? 2 y1 ?

x1 ? x2 ? 2 3 ? 2k ? ? 2 x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1



8k 2 ?2 3 4k 2 ? 3 ④代入⑤得 k1 ? k2 ? 2k ? ? ? 2k ? 1 , 8k 2 2 4(k 2 ? 3) ? ?1 4k 2 ? 3 4 k 2 ? 3 1 又 k3 ? k ? ,所以 k1 ? k2 ? 2k3 .故存在常数 ? ? 2 符合题意. 2
方法二:设 B( x0 , y0 )( x0 ? 1) ,则直线 FB 的方程为: y ?

y0 ( x ? 1) , x0 ? 1

令 x ? 4 ,求得 M (4,

3 y0 ), x0 ? 1 2 y0 ? x0 ? 1 , 2( x0 ? 1)

从而直线 PM 的斜率为 k3 ?

y0 ? ? y ? x ? 1 ( x ? 1) 5 x ? 8 3 y0 ? 0 , ), 联立 ? ,得 A( 0 2 2 2 x0 ? 5 2 x0 ? 5 ?x ? y ?1 ? 3 ?4
则直线 PA 的斜率为: k1 ?

2 y0 ? 2 x0 ? 5 2 y0 ? 3 ,直线 PB 的斜率为: k2 ? , 2( x0 ? 1) 2( x0 ? 1)

所以 k1 ? k2 ?

2 y0 ? 2 x0 ? 5 2 y0 ? 3 2 y0 ? x0 ? 1 ? ? ? 2k3 , 2( x0 ? 1) 2( x0 ? 1) x0 ? 1

故存在常数 ? ? 2 符合题意. 17.如图,已知椭圆 C1 与 C2 的中心在坐标原点 O ,长轴均为 MN 且在 x 轴上,短轴长分别为

2m , 2n ? m ? n ? ,过原点且不与 x 轴重合的直线 l 与 C1 , C2 的四个交点按纵坐标从大
到小依次为 A , B , C , D .记 ? ?

m , ?BDM 和 ?ABN 的面积分别为 S1 和 S2 . n

(I)当直线 l 与 y 轴重合时,若 S1 ? ? S2 ,求 ? 的值; (II)当 ? 变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线 l ,使得 S1 ? ? S2 ?并说明理由.

y
A B

M
C

O

N x

D
第 21 题图

m ?1 ? ?1 ?? ? n ? m ?1 ? ?1 ? m ? n ? ? ?m ? n? S ? ? S n 1 2 【答案】解:(I) ,
解得: ? ?

2 ? 1 (舍去小于 1 的根)

x2 y2 x2 y2 (II)设椭圆 C1 : 2 ? 2 ? 1 ? a ? m ? , C2 : 2 ? 2 ? 1 ,直线 l : ky ? x a m a n
? ky ? x a 2 ? m 2k 2 2 am ? 2 2 ? y ? 1 ? yA ? ?x y 2 2 2 am ? 2 ?1 a ? m 2k 2 ? 2 m ?a
同理可得, y B ?

an a 2 ? n 2k 2

又? ?BDM 和 ?ABN 的的高相等

?

S1 BD y B ? y D y B ? y A ? ? ? S2 AB y A ? y B y A ? y B

如果存在非零实数 k 使得 S1 ? ? S2 ,则有 ? ? ? 1? y A ? ? ? ? 1? y B ,

2 2 a 2 ? ? 2 ? 2? ? 1?? ? 2 ? 1? ? 2 ? ? ? 1? ? ? 1? ? 2 即: 2 ,解得 k ? ? 4n 2? 3 a ? ? 2n 2k 2 a 2 ? n 2k 2

? 当 ? ? 1 ? 2 时, k 2 ? 0 ,存在这样的直线 l ;当 1 ? ? ? 1 ? 2 时, k 2 ? 0 ,不存在这
样的直线 l . 18.如图,已知椭圆 C1 的中心在原点 O,长轴左、右端点 M,N 在 x 轴上,椭圆 C2 的短轴 为 MN,且 C1,C2 的离心率都为 e,直线 l⊥MN,l 与 C1 交于两点,与 C2 交于两点,这 四点按纵坐标从大到小依次为 A,B,C,D.

e?
(I)设

1 2 ,求 BC 与 AD 的比值;

(II)当 e 变化时,是否存在直线 l,使得 BO∥AN,并 说明理由. 解: (I)因为 C1,C2 的离心率相同,故依题意可设

C1 :

x2 y 2 b2 y 2 x 2 ? ? 1, C : ? 2 ? 1, (a ? b ? 0) 2 a 2 b2 a4 a
(| t |? a) ,分别与 C1,C2 的方程联立,求得

设直线 l : x ? t

A(t ,

a 2 2 b a ? t ), B(t , a 2 ? t 2 ). b a

………………4 分

1 3 e ? 时, b ? a, 分别用y A , yB 2 2 当 表示 A,B 的纵坐标,可知

| BC |:| AD |?

2 | yB | b 2 3 ? ? . 2 | yA | a2 4

………………6 分

(II)t=0 时的 l 不符合题意. t ? 0 时,BO//AN 当且仅当 BO 的斜率 kBO 与 AN 的斜率 kAN 相等,即

b 2 2 a 2 2 a ?t a ?t a b ? , t t ?a
t??
解得

ab2 1 ? e2 ? ? ? a. a 2 ? b2 e2
1 ? e2 2 ? 1, 解得 ? e ? 1. 2 2 e

| t |? a, 又0 ? e ? 1, 所以
因为

0?e?
所以当

2 2 时,不存在直线 l,使得 BO//AN;

2 ? e ?1 当 2 时,存在直线 l 使得 BO//AN.

………………12 分


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