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2013华师一附中自主招生考试数学模拟试卷[1]


2013 华师一附中自主招生考试数学模拟试卷(二)
本卷满分 150 分 考试时间 90 分钟 一、选择题(每题 5 分,共 30 分) 1.如图,边长为 1 的菱形 ABCD 绕点 A 旋转,当 B、C 两点恰好 落在扇形 AEF 的弧 EF 上时,弧 BC 的长度等于( ) A.
A E B C
2

化简

a 2 ? 2ab ? b2 ? | b | 的结果是______________. a
. .

8.随机掷三枚硬币,落地后恰有两枚正面朝上的概率是
D F

9.设 x1、x2 是一元二次方程 x2+4x-3=0 的两个根,2x1(2x22+5x2-6)+a =2,则 a=

? 6

B.
2

? 4

C.

? 3

D.

? 2

10.已知三角形的三边 a、b、c 都是整数,且满足 abc+bc+ca+ab+a+b+c=7,则此三角形的面积等 于 .

2.二次函数 y ? ?2 x ? 4 x ? 1的图象如何移动就得到 y ? ?2x 的图象( A.向左移动 1 个单位,向上移动 3 个单位. B. 向左移动 1 个单位,向下移动 3 个单位. C. 向右移动 1 个单位,向上移动 3 个单位. D. 向右移动 1 个单位,向下移动 3 个单位.



11.已知方程 x 2 ? ?a ? 3?x ? 3 ? 0 在实数范围内恒有解,并且恰有一个解 大于 1 小于 2,则 a 的取值范围是 12.如图,AB 是半圆 O 的直径,四边形 CDMN 和 DEFG 都是正 方形,其中 C,D,E 在 AB 上,F,N 在半圆上.若 AB=10,则正 方 形 CDMN 的 面 积 与 正 方 形 DEFG 的 面 积 之 和 是 .
2 2



b+c a+b a+c 3.已知 a、b、c 为正实数,且满足 = = = k ,则一次函数 y ? kx ? k ? 5 的图象一 a c b 定经过( ) B.第一、二、四象限 D. 第二、三、四象限

A.第一、二、三象限 C.第一、三、四象限

三、解答题: (本大题共 6 小题,计 78 分,写出必要的推算或演算步骤. ) 13. (12 分)已知二次函数 y ? x ? 2(m ?1) x ? 2m ? 2 (1)证明:不论 m 为何值,二次函数图象的顶点均在某一函数图象上,并求出此图象的函数解析式; (2)若二次函数图象在 x 轴上截得的线段长为 2 3 ,求出此二次函数的解析式。

4.某学校要召开学生代表大会,规定各班每 10 人推选一名代表,当各班人数除以 10 的余数大于 7 时再 增选一名代表.那么, 各班可推选代表人数 y 与该班人数 x 之间的函数关系用取整函数 y=[x] ([x]表示 不大于 x 的最大整数)可以表示为( A.y=[ ) C. y=[

x ?1 ] 10

B. y=[

x?2 ] 10

x?3 ] 10


D. y=[

x?4 ] 10

5.正实数 x , y 满足 xy ? 1 ,那么

1 1 ? 4 的最小值为( 4 x 9y
C. 1

A.

6.如图,点 P 为弦 AB 上一点,连结 OP,过 P 作 PC ? OP ,PC 交 ? O C,若 AP=4,PB=2,则 PC 的长为 ( ) A.2 B. 3 C.

2 3

B.

5 4

D.

2
A

B P C

14. (10 分)如图所示,△ABC 中 AB=2,AC= 3 , 于 点 ∠A=∠BCD=45° ,求 BC 的长及△BDC 的面积。

O

2

D. 2 2

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 7 分,共 42 分) 7. 二次函数 y=ax2+(a-b)x—b 的图象如图所示,那么
1

15. (14 分)某仓储系统有 20 条输入传送带,20 条输出传送带.某日,控制室的电脑显示,每条输入传 送带每小时进库的货物流量如图(a),每条输出传送带每小时出库的货物流量如图(b),而该日仓库中原有 货物 8 吨,在 0 时至 5 时,仓库中货物存量变化情况如图(c),则在 0 时至 2 时有多少条输入传送带和输 出传送带在工作? 在 4 时至 5 时有多少条输入传送带和输出传送带在工作?

17. (12 分)已知 p 为质数,使二次方程 x 2 ? 2 px ? p 2 ? 5 p ? 1 ? 0 的两根都是整数,求出所有可能的

p 的值。

18. (15 分)如图,在平面直角坐标系中,矩形 OABC 的两边分别在 x 轴和 y 轴上,OA=10 厘米,OC =6 厘米,现有两动点 P,Q 分别从 O,A 同时出发,点 P 在线段 OA 上沿 OA 方向作匀速运动, 点 Q 在线段 AB 上沿 AB 方向作匀速运动,已知点 P 的运动速度为 1 厘米/秒. 1 (1)设点 Q 的运动速度为 厘米/秒,运动时间为 t 秒, 2 ①当△CPQ 的面积最小时,求点 Q 的坐标; ②当△COP 和△PAQ 相似时,求点 Q 的坐标. (2)设点 Q 的运动速度为 a 厘米/秒,问是否存在 a 的值, 使得△OCP、△PAQ 和△CBQ 这三个三角形都相似?若存 在,请求出 a 的值,并写出此时点 Q 的坐标;若不存在,请说明理 由. .

16. (15 分)已知 AB 是半圆 O 的直径,点 C 在 BA 的延长线上运动(点 C 与点 A 不重合) ,以 OC 为 直径的半圆 M 与半圆 O 交于点 D,∠DCB 的平分线与半圆 M 交于点 E. (1)求证:CD 是半圆 O 的切线(图 1) ; (2)作 EF⊥AB 于点 F(图 2) ,求证: EF ?

1 OA ; 2

(3 )在上述条件下,过点 E 作 CB 的平行线交 CD 于点 N,当 NA 与半圆 O 相切时(图 3) ,求∠EOC 的正切值.

图1

图2 2

图3

2

华师一自主招生数学模拟试卷(二)参考答案
一、选择题(每题 5 分,共 30 分)
题号 答案 1 C 2 B 3 C 4 B 5 A 6 D



6 x ? 2 x ?1 ? 6 4? 6 2
因此, S?BCD ?



x?

3? 2 6 2

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 7 分,共 42 分) 7.-1 8.

1 1 3? 2 6 BC ? DF ? ? ( 6 ? 1) ? 2 2 2

?

9? 6 ……10 分 4

3 8

9.-16

10.

3 4

11. ? 1 ? a ? ?

1 或a ? 3? 2 3 2

12.25

15.解:图(a)表明,输入传送带可运进货物 13 t/h;图(b)表明,输出传送带可以运出货物 15 t/h; 图(c)表明,在 0:00~2:00 时间段内仓库中货物增加

三、解答题: (本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 13.解: (1)二次函数的顶点坐标为( m ? 1, m ? 2m ? 3 ) ,消去 m 得到 y ? x ? 4 x
2 2

12 ? 8 ? 2 t /h。 2
……5 分

故不论 m 为何值,二次函数的顶点都在抛物线 y ? x2 ? 4 x 上 ………………4 分 (2)设二次函数的图象与 x 轴交于点 A( x1 ,0) , B( x2 ,0) ,由已知 x2 ? x1 ? 2 3 ,再利用根与系 数的关系得 设此时有 x 条输入传送带、y 条输出传送带在工作,则有 13x ? 15 y ? 2 故x?

? x1 ? x2 ? 2(m ? 1) ? 2 ? x1 x2 ? 2m ? 2

又 ( x2 ? x 1)2 ? ( x1 ? x2 )2 ? 4x1x2 ,则 ………………8 分 …………12 分

15 y ? 2 2y ? 2 ? y? 13 13
……………………9 分

因 0 ? y ? 20 ,故取 2 y ? 2 ? 26 ,得 x ? 14, y ? 12 在 4:00~5:00 内,同理得方程

12 ? 4(m ?1)2 ? 4(2m2 ? 2) ? m ? 0或 ? 2
当 m ? 0 时, y ? x2 ? 2x ? 2

当 m ? ?2 时, y ? x2 ? 6x ? 6

13x ? 15 y ? ?12

故x ?

15 x ? 12 2 y ? 12 ? y? 13 13

14.解:如图,过 C 作 CE⊥AB 交 AB 于 E。 则 CE ? AE ?

因 0 ? x ? 20 , 0 ? y ? 20 ,取 2 x ?12 ? 0或2 y ?12 ? 26 , 得 x ? 6, y ? 6或x ? 21, y ? 19( x ? 21不合题意,舍去) 。…13 分 答:在 0:00~2:00 内有 14 条输入传送带和 12 条输出传送带在工作;在 4:00~5:00 内有 6 条输入传 送带和 6 条输出传送带在工作。…………………………14 分

2 6 AC ? 2 2 6 4? 6 ? 2 2
∴ BC ?



BE ? 2 ?

2 2 2 又 BC ? CE ? BE

7 ? 2 6 ? 6 ? 1 ……………………3 分

16.解:由于这个整系数一元二次方程有整数根,所以 ? ? 4 p ? 4( p ? 5 p ? 1) ? 4(5 p ? 1) 是完全平方
2 2

再过 D 作 DF⊥BC,交 CB 的延长线于 F,并设 DF=CF=x,则

数,从而 5 p ? 1 是完全平方数,令 5 p ? 1 ? n ,n 是正整数,
2

BF ? x ? BC ? x ? 1 ? 6
又 Rt△DFB∽Rt△CEB



5 p ? (n ? 1)(n ? 1)
所以, 5 (n ?1)(n ? 1) ,即 5 (n ? 1)或5 ( n ? 1) 。 …………………………5 分

DF CE ? ∴ BF BE
3

若 5 (n ?1) ,令 n ? 1 ? 5k ,则 p ? k(5k ? 2) ,由于 p 是质数,故 k ? 1 , p ? 7 ,此时方程为



x2 ? 14 x ? 13 ? 0 , x1 ? 1 , x2 ? 13 满足条件。
若 5 (n ? 1) ,令 n ? 1 ? 5k ? ,则 p ? k ?(5k ? ? 2) ,故 k ? ? 1, p ? 3 ,此时方程为

y EF y y ? 3时, tan ?EOC ? ? ? 3 ,当 ? 1时,点C与点A重合,不符合题意,故舍去 x OF x x

∴tan∠EOC=3………………15 分 18.解: (1)①S△CPQ=S 矩形 OABC?S△OCP?S△PAQ?S△BCQ………………1 分 1 1 1 1 1 1 =60? × 6× t? (10?t)· t? × 10(6? t)= t2?3t+30 2 2 2 2 2 4 1 = (t?6)2+21 4 (0≤ t ≤10) ………………2 分

x2 ? 6 x ? 7 ? 0 ? 0 , x1 ? ?1 , x2 ? 7 满足条件。…………………………11 分
综上所述,所求的质数 p 为 3 或 7 ∵OC 为半圆 M 的直径 ∴∠CDO=90° ∴CD 是半圆 O 的切线。 (2)如图,以 OC 为直径作⊙M,延长 EF 交⊙M 于点 P,连结 OD。………………4 分 ∵EF⊥CO ………………………………12 分 17. (1)证明:如图 1,连结 OD,则 OD 为半圆 O 的半径

故当 t=6 时,S△CPQ 最小值为 21, 此时点 Q 的坐标为(10,3) ………………3 分 1 t OC QA 6 2 ②如图,当∠1=∠2 时, = ,∴ = OP PA t 10?t 1 ∴ t2+6t?60=0 2 解得 t1= ?6+2 39 , t2= ?6?2 39 (舍去)………………5 分

? ? 1 ∴ EF ? PF ? EP, EO ? PO ………………5 分 2
∵CE 平分∠DCB ∴ DE ? OE ∴OD=EP ∴∠DCE=∠ECO

6 10?t 当∠1=∠3 时, = ,解得 t=7, 因此,当 t= ?6+2 39 或 7 时, t 1 t 2 即当 Q 点的坐标为(10,?3+ 39 )或(10, 7 )时△COP 与△PAQ 相似。………………7 分 2

?

?

? ? ? OD ? EP ……………7 分
1 1 ∴ EF ? OD ? OA ………………8 分 2 2

⑵设 P、Q 运动时间为 t 秒,则 OP=t, AQ=at. OC PA BC 6 10?t 10 ① 当∠1=∠3=∠4 时, = = , = = OP AQ BQ t a t 6?a t 4 8 解得 t1=2, t2=18(舍去),此时 a= , Q 点的坐标为(10, )………8 分 3 3 ②当∠1=∠3=∠5 时,∠CPQ=∠CQP=90?不成立;………… 10 分 OC AQ BC ③当∠1=∠2=∠4 时, = = , OP PA BQ 6 at 10 = = t 10?t 6?a t

(3)解:如图 3,延长 OE 交 CD 于点 K 设 OF=x,EF=y,则 OA=2y………………9 分 ∵NE//CB,EF⊥CB,NA 切半圆 O 于点 A ∴四边形 AFEN 是矩形 ∴ NE ? AF ? OA ? OF ? 2 y ? x ………………10 分 易得 E 是 OK 的中点 ∴N 是 CK 的中点

得 5t2?36t+180=0, △<0, 方程无实数解;………………12 分 ④当∠1=∠2=∠5时,由图可知∠1=∠PCB>∠5,故不存在这样的 a 值;……………14 分 综上所述,存在 a 的值,使得△OCP 与△PAQ 和△CBQ 这两个三角形都相似, 4 8 此时 a= , Q 点的坐标为(10, )………………15 分 3 3

? CO ? 2NE ? 2(2 y ? x)

? CF ? CO ? OF ? 4 y ? 3x ? EF?AB,CE?EO
2 ∴Rt△CEF∽Rt△EOF∴ EF ? CF ? OF ,即 y 2 ? x(4y ? 3x)

图3 解得

y y ? 3或 ? 1…13 分 x x
4


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