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3.1.2《不等式的性质》PPT课件1


3.1.2不等式的性质
世界上所有的事物不等是绝 对的,相等是相对的。过去我们 已经接触过许多不等式的问题, 本章我们将较系统地研究有关不 等式的性质、证明、解法和应用.

一、不等式的几个基本概念
1.判断两个实数大小的条件 对于任意两个实数a、b,在a>b,a= b,a<b三种 关系中有且仅有一种成立.判断两个实数大小的充 要条件是: a ? b ? a ? b ? 0

a ? b ? a ?b ? 0

a ? b ? a ?b ? 0

2.不等式的定义:用不等号连接两个解析式所 得的式子,叫做不等式. 3. 同向不等式与异向不等式 同向不等式:两个不等号方向相同的不等式,例如: a>b,c>d,是同向不等式. 异向不等式:两个不等号方向相反的不等式.例如: a>b,c<d,是异向不等式.

二、不等式的基本性质
性质1:如果a>b,那么b<a,如果b<a,那么 a>b.(对称性) 即:a>b? b<a. 性质2:如果a>b,且b>c,那么a>c.(传递性) 即a>b,b>c? a>c

不等式的传递性可以推广到n个的情形.

性质3:如果a>b,那么a+c>b+c. 即a>b ? a+c>b+c 点评:(1)性质3的逆命题也成立; (2)利用性质3可以得出: 推论1:如果a+b>c,那么a>c-b,也就是说,不等式中 任何一项改变符号后,可以把它从—边移到另一边. 推论2:如果a>b,且c>d,那么a+c>b+d.(相加法则) 即a>b, c>d ? a+c>b+d. 例1 已知a>b,c<d,求证:a-c>b-d.

性质4:如果a>b,且c>0,那么ac>bc; 如果a>b,且c<0,那么ac<bc. 推论1 : 如果a>b >0,且c>d>0,那么 ac>bd. (相乘法则) 说明: 这一推论可以推广到任意有限个两边都是正数 的同向不等式两边分别相乘.这就是说,两个或者更 多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘,所 得不等式与原不等式同向.

例2 已知a>b,ab>0,求证: 1 ? 1 . a b
a b 例3 已知a>b>0,0<c<d,求证: ? . c d

c c 例4 已知a>b>0,c<0,求证: ? a b
性质4推论2: 若 ? b ? 0, 则a n ? bn (n ? N 且n ? 1) a 推论3:若 a ? b ? 0, 则 a ?
n n

b (n ? N 且n ? 1)

二.不等式的性质

性质1 ? 性质2 ? 推论 ? 性质3 ? 推论1 ? 推论2
?

a>b <=> b<a a>b , b>c => a>c a<b , b<c => a<c a>b <=> a+c>b+c a+b>c <=> a>c-b a>b , c>d => a+c>b+d

对称性 ? 传递性
?

可加性 ? 移项法则 ? 加法法则 ? 注意双向箭头 与单向箭头
?

?

性质4 (1) a>b , c>0 => ac>bc (2) a>b , c<0 => ac<bc 推论1 a>b>0 , c>d>0 => ac>bd 推论2 a>b>0 =>an > bn (n∈N , n>1)

?

可乘性

?

?

乘法法则 乘方法则

?

?

?

推论3 a>b>0 => (n∈N , n>1)

n

a ? b ?0
n

?

开方法则


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