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(经典)正弦定理、余弦定理知识点总结及最全证明


正弦定理、余弦定理知识点总结及证明方法
——王彦文 青铜峡一中 角、钝角或直角. (3)正、 余弦定理的一个重要作用是实现边 角 ____________,余弦定理亦可以写成 sin2A = sin2B + sin2C - 2sinBsinCcosA , 类 似 地 , sin2B = ____________ ; sin2C = __________________.注意式中隐含条件 A+B +C=π . 3.解斜三角形的类型 (1) 已知三角形的任意两个角与一边,用 ____________定理.只有一解. (2) 已知三角形的任意两边与其中一边的 对 角 , 用 ____________ 定 理 , 可 能 有 ___________________.如在△ABC 中,已知 a, b 和 A 时,解的情况如表: A 为钝角 A 为锐角 或直角 图 形 关 a= bsinA<a 系 a≥b a>b bsinA <b 式 解 的 ① ② ③ ④ 个 数 (3)已知三边,用____________定理.有 解时,只有一解. (4) 已知两边及夹角,用 ____________ 定 理,必有一解. 4.三角形中的常用公式或变式 (1) 三 角 形 面 积 公 式 S△ = = = ____________ = ____________ = ____________. 其中 R, r 分别为三角形外接圆、 内切圆半径. (2)A+B+C=π ,则 A=__________,

1.掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一 些简单的三角形度量问题. 2.能够运用正弦定理、 余弦定理等知识和 方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问 题. 主要考查有关定理的应用、三角恒等变换 的能力、运算能力及转化的数学思想.解三角 形常常作为解题工具用于立体几何中的计算或 证明,或与三角函数联系在一起求距离、高度 以及角度等问题,且多以应用题的形式出现.

1.正弦定理 (1)正弦定理:在一个三角形中,各边和它 所对角的正弦的比相等, 即 . 其 中 R 是三角形外接圆的半径. (2)正弦定理的其他形式: ①a = 2RsinA , b = ,c = ; ②sinA=

a ,sinB= 2R



sinC= ; ③a∶b∶c=______________________. 2.余弦定理 (1)余弦定理: 三角形中任何一边的平方等 于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹 角的余弦的积的两倍.即 2 a2= ,b = , 2 c= . 若令 C=90°,则 c2= ,即为勾 股定理. (2) 余 弦 定 理 的 变 形 : cosA = , cosB= , cosC= . 若 C 为锐角, 则 cosC>0, 即 a2+b2______c2; 若 C 为钝角,则 cosC<0,即 a2+b2______c2.故 由 a2+b2 与 c2 值的大小比较,可以判断 C 为锐
1

A
2

= __________ , 从 而

sinA =

____________, cosA = ____________



tanA



____________; sin =__________,cos =__________, 2 2 1 tan = ________.tanA + tanB + tanC = 2 __________. (3)若三角形三边 a,b,c 成等差数列,则 2b = ____________ ? 2sinB = ____________ ? 2sin = cos ? 2cos = cos ? tan 2 2 2 2 2

A

A

- tan(B + C)

cos

B+C
2

sin

B+C
2

A

tan

B+C
2 tanAtanBtanC (3)a+c sinA+sinC

B

A-C

A+C

A-C

A

在△ABC 中, A>B 是 sinA>sinB 的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解:因为在同一三角形中,角大则边大, 边大则正弦大, 反之也成立, 故是充要条件. 故 选 C. 在△ABC 中,已知 b=6,c=10,B= 30°,则解此三角形的结果有( ) A.无解 B.一解 C.两解 D.一解或两解 解:由正弦定理知 sinC=

C 1 tan = . 2 3
【自查自纠】 1.(1) = = =2R sinA sinB sinC (2)①2RsinB 2RsinC ②

a

b

c

b
2R

c
2R

③sinA∶sinB∶sinC 2 2 2 2 2.(1)b +c -2bccosA c +a -2cacosB a2+b2-2abcosC a2+b2 (2) < (3)互化 sin2C+sin2A-2sinCsinAcosB sin2A+sin2B-2sinAsinBcosC 3.(1)正弦 (2)正弦 一解、两解或无解 ①一解 ②二解 ③一解 ④一解 (3)余弦 (4)余弦 1 4.(1) absinC 2 1 (a+b+c)r 2 (2)π -(B+C) sin(B+C) π B+C - 2 2 1 bcsinA 2 1 acsinB 2

c·sinB 5 = ,又由 b 6

b2+c2-a2 2bc

c2+a2-b2 2ca

a2+b2-c2 2ab

c>b>csinB 知,C 有两解.也可依已知条件,画 出△ABC,由图知有两解.故选 C.
(2013·陕西)设△ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 若 bcosC+ccosB= asinA, 则△ABC 的形状为( ) A.锐角三角形 B. 直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 解:由已知和正弦定理可得 sinBcosC + sinCcosB = sinA·sinA , 即 sin(B + C) = sinAsinA, 亦即 sinA=sinAsinA.因为 0<A<π , 所以 sinA=1,所以 A= 三角形.故选 B. (2012·陕西)在△ABC 中,角 A,B,C π 所对的边分别为 a,b,c.若 a=2,B= ,c 6
2

>

abc 4R

π .所以三角形为直角 2

-cos(B+C)

=2 3,则 b=________. 解:由余弦定理知 b2=a2+c2-2accosB= 22 + (2 3) 2 -2×2×2 3 ×cos 故填 2. 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别 为 a, b, c, 若 a= 2, b=2, sinB+cosB= 2, 则角 A 的大小为________. 解:∵sinB+cosB= 2, π? π? ? ? ∴ 2sin?B+ ?= 2, 即 sin?B+ ?=1. 4? 4? ? ? 又∵B∈(0,π ),∴B+ π π π = ,B= . 4 2 4 ,可得 sinA = π = 4 , b = 2. 6

2sin(90°+2C)= 2sin2(45°+C). ∴ 2 sin(45° + C) = 2 2 sin(45° +

C)cos(45°+C),
1 即 cos(45°+C)= . 2 又∵0°<C<90°,∴45°+C=60°,C =15°. 【评析】利用正弦定理将边边关系转化为 角角关系,这是解此题的关键. (2012·江西)在△ABC 中,角 A,

B , C 的对边分别为 a , b , c. 已知 A =
?π ?4 ? ? ?π ?4 ? ?

π , 4

根据正弦定理

a
sinA



b
sinB

bsin? +C?-csin? +B?=a.
π ; 2

asinB 1 = . b 2
π π ∵a<b,∴A<B.∴A= .故填 . 6 6

(1)求证:B-C=

(2)若 a= 2,求△ABC 的面积. ?π ? 解 : (1) 证 明 : 对 bsin ? +C? - ?4 ?

csin ? +B? = a
类型一 正弦定理的应用

?π ?4

? ?

应 用 正 弦 定 理 得

△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别 为 a,b,c,已知 A-C=90°,a+c= 2b, 求 C. 解:由 a+c= 2b 及正弦定理可得 sinA +sinC= 2sinB. 又由于 A-C=90°,B=180°-(A+C), 故 cosC+sinC=sinA+sinC= 2sin(A+C)=

?π ? ?π ? sinBsin? +C?-sinCsin? +B?=sinA, 4 4 ? ? ? ? 即 sinB ? 2 ? 2 ? sinC+ cosC? 2 ? 2 ? -

? 2 ? 2 2 sinC? sinB+ cosB?= , 整理得 sinBcosC 2 ? 2 ? 2 -sinCcosB=1,即 sin(B-C)=1. 3π ? π ? 由于 B,C∈?0, ?,∴B-C= . 4 ? 2 ?
3

(2)∵B+C=π -A= π , 2 ∴B= 5π π ,C= . 8 8

3π ,又由(1)知 B-C 4

a2+c2-b2 2ab b · 2 , 2 2=- 2ac a +b -c 2a+c
整理得 a2+c2-b2=-ac.



a2+c2-b2 -ac 1 ∴cosB= = =- . 2ac 2ac 2
2 ∵B 为三角形的内角,∴B= π . 3 2 (2)将 b= 13,a+c=4,B= π 代入 b2 3 =a2+c2-2accosB,得 13=42-2ac-2accos π ,解得 ac=3. 1 3 3 ∴S△ABC= acsinB= . 2 4 【评析】①根据所给等式的结构特点利用 余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的 关键.②熟练运用余弦定理及其推论,同时还 要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运 用. 若△ABC 的内角 A,B, C 所对的边 类型二 余弦定理的应用 2 3

∵a = 2 , A =

π ,∴由正弦定理知 b = 4

asinB 5π asinC π =2sin ,c= =2sin . sinA 8 sinA 8
1 1 5π π ∴S△ABC = bcsinA = ×2sin ×2sin 2 2 8 8 2 × 2 = 2sin π 1 = . 4 2 5π π π π 2 sin = 2cos sin = 8 8 8 8 2

sin

a,b,c 满足(a+b)2-c2=4,且 C=60°,则 ab 的值为( )
A. 4 3 B.8-4 3 C . 1

在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,

B,C 的对边,且

cosB b =- . cosC 2a+c D.

(1)求 B 的大小; (2)若 b= 13, a+c=4, 求△ABC 的面积.

2 3

解:由余弦定理得 c2=a2+b2-2abcosC= a2+b2-ab,代入(a+b)2-c2=4 中得(a+b)2 4 -(a2+b2-ab)=4,即 3ab=4,∴ab= .故选 3 A. 类型三 正、余弦定理的综合应用

a2+c2-b2 解:(1)由余弦定理知,cosB= , 2ac a2+b2-c2 cosB b cosC = ,将上式代入 =- 2ab cosC 2a+c


(2013·全国新课标Ⅱ)△ABC 的内
4

角 A、 B、 C 的对边分别为 a, b, c, 已知 a=bcosC +csinB. (1)求 B; (2)若 b=2,求△ABC 面积的最大值. 解 : (1) 由 已 知 及 正 弦 定 理 得 sinA = sinBcosC+sinCsinB.① 又 A=π -(B+C),故 sinA = sin(B + C) = sinBcosC + cosBsinC.② 由①,②和 C∈(0,π )得 sinB=cosB. π 又 B∈(0,π ),所以 B= . 4 1 2 (2)△ABC 的面积 S= acsinB= ac. 2 4 由已知及余弦定理得 4=a +c - π 2accos . 4 4 又 a +c ≥2ac,故 ac≤ , 2- 2
2 2 2 2

(2)在△ABC 中,sinB= 1-cos2B=

4 2 , 9

由正弦定理得 sinA=

asinB 2 2 = . b 3

因为 a=c,所以 A 为锐角, 1 所以 cosA= 1-sin2A= . 3 因此 sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB= 10 2 . 27 类型四 判断三角形的形状

在三角形 ABC 中,若 tanA∶tanB=

a2∶b2,试判断三角形 ABC 的形状. a2 sin2A 解法一:由正弦定理,得 2= , b sin2B
tanA sin2A 所以 = , tanB sin2B 所以 sinAcosB sin2A = ,即 sin2A=sin2B. cosAsinB sin2B

当且仅当 a=c 时,等号成立. 因此△ABC 面积的最大值为 2+1. 【评析】 (1)化边为角与和角或差角公式的 正向或反向多次联用是常用的技巧; (2)已知 边及其对角求三角形面积最值是高考中考过 多次的问题,既可用三角函数求最值,也可 以用余弦定理化边后用不等式求最值. (2013·山东)设△ABC 的内角 A,

所以 2A=2B,或 2A+2B=π ,因此 A=B 或 A+B= 三角形. π ,从而△ABC 是等腰三角形或直角 2

B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a+c=6,b
7 =2,cosB= . 9 (1)求 a,c 的值; (2)求 sin(A-B)的值. 解:(1)由余弦定理 b2=a2+c2-2accosB, 得 b2=(a+c)2-2ac(1+cosB),又 a+c =6,b=2, 7 cosB= ,所以 ac=9,解得 a=3,c=3. 9
5

a2 sin2A 解法二:由正弦定理,得 2= ,所以 b sin2B
tanA sin2A cosB sinA = = ,再由正、余弦 2 ,所以 tanB sin B cosA sinB

a 2 + c 2- b 2 2ac a 2 2 2 定理,得 2 2 2= ,化简得 (a - b )( c - b +c - a b 2bc a2-b2)= 0,即 a2=b2 或 c2=a2+b2. 从而△ABC 是等腰三角形或直角三角形.

【评析】由已知条件,可先将切化弦,再 结合正弦定理,将该恒等式的边都化为角,然 后进行三角函数式的恒等变形,找出角之间的 关系;或将角都化成边,然后进行代数恒等变 形,可一题多解,多角度思考问题,从而达到 对知识的熟练掌握. ( 2012·上海 ) 在 △ABC 中 , 若 sin2A+sin2B<sin2C,则△ABC 的形状是( ) A.锐角三角形 B. 直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 2 解:在△ABC 中,∵sin A+sin2B<sin2C,

1 10 3 故当 t= 时, Smin=10 3, 此时 v= = 3 1 3 30 3. 即小艇以 30 3 n mile/h 的速度航行,相 遇时小艇的航行距离最小. (2)设小艇与轮船在 B 处相遇,则 v2t2 = 400 + 900t2 2·20·30t·cos(90°-30°), 故 v2=900- 600



a +b -c ∴由正弦定理知 a +b <c .∴cosC= 2ab
2 2 2

2

2

2

t



400

t2

.

<0,即∠C 为钝角,△ABC 为钝角三角形.故选 C. 类型五 解三角形应用举例 ∵0<v≤30,∴900- 某港口 O 要将一件重要物品用小 艇送到一艘正在航行的轮船上. 在小艇出发时, 轮船位于港口 O 北偏西 30°且与该港口相距 20 n mile 的 A 处,并以 30 n mile/h 的航行速度 沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向 以 v n mile/h 的航行速度匀速行驶,经过 t h 与轮船相遇. (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小, 则 小艇航行速度的大小应为多少? (2)假设小艇的最高航行速度只能达到 30 n mile/h, 试设计航行方案(即确定航行方向和航 行速度的大小), 使得小艇能以最短时间与轮船 相遇,并说明理由. 解法一: (1)设相遇时小艇航行的距离为 S n mile,则 S = 900t2+400-2·30t·20·cos(90°-30°) = 900t2-600t+400 = 设小艇与轮船在 C 处相遇. 在 Rt△OAC 中,OC=20cos30°=10 3, 3 - ≤0, 600 400 2

t



t2

≤900,即

t2

t

2 2 解得 t≥ .又 t= 时, v=30.故 v=30 时, 3 3

t 取得最小值,且最小值等于 .
此时,在△OAB 中,有 OA=OB=AB=20, 故可设计航行方案如下:航行方向为北偏东 30°,航行速度为 30 n mile/h,小艇能以最 短时间与轮船相遇. 解法二: (1) 若相遇时小艇的航行距离最 小,又轮船沿正东方向匀速行驶,则小艇航行 方向为正北方向.

2 3

1?2 ? 900?t- ? +300, 3? ?

AC=20sin30°=10. 又 AC=30t,OC=vt,
6

此时, 轮船航行时间 t=

10 1 10 3 = , v= = 30 3 1 3

又 v≤30,故 sin(θ +30°)≥

3 ,从而, 2

30 3. 即小艇以 30 3 n mile/h 的速度航行,相 遇时小艇的航行距离最小. (2)假设 v=30 时, 小艇能以最短时间与轮 船在 D 处相遇,此时 AD=DO=30t. 又∠OAD=60°,所以 AD=DO=OA=20, 2 解得 t= . 3 据此可设计航行方案如下: 航行方向为北偏东 30°,航行速度的大小为 30 n mile/h.这样,小艇能以最短时间与轮船相 遇. 证明如下: 如图,由(1)得 OC=10 3,AC=10,

30°≤θ <90°. 由于 θ =30°时,tanθ 取得最小值,且 最小值为 3 . 3 10+10 3tanθ 30

于是, 当 θ =30°时,t= 2 取得最小值,且最小值为 . 3

故 OC>AC,且对于线段 AC 上任意点 P,有 OP≥OC>AC. 而小艇的最 高航行速度只能达 到 30 n mile/h, 故小艇与轮船不可能在 A, C 之间(包 含 C)的任意位置相遇. 设∠COD=θ (0°<θ <90°), 则在 Rt△COD 中,

【评析】①这是一道有关解三角形的实际 应用题,解题的关键是把实际问题抽象成纯数 学问题,根据题目提供的信息,找出三角形中 的数量关系,然后利用正、余弦定理求解.② 解三角形的方法在实际问题中,有广泛的应 用.在物理学中,有关向量的计算也要用到解 三角形的方法.近年的高考中我们发现以解三 角形为背景的应用题开始成为热点问题之 一.③不管是什么类型的三角应用问题,解决 的关键都是充分理解题意,将问题中的语言叙 述弄明白,画出帮助分析问题的草图,再将其 归结为属于哪类可解的三角形.④本题用几 何方法求解也较简便. (2012·武汉5月模拟)如图,渔船 甲位于岛屿 A 的南偏西 60°方向的 B 处,且与 岛屿 A 相距 12 海里, 渔船乙以 10 海里/小时的 速度从岛屿 A 出发沿正北方向航行,若渔船甲 同时从 B 处出发沿北偏东 α 的方向追赶渔船 乙,刚好用 2 小时追上.

CD=10 3tanθ ,OD=

10 3 . cosθ

由于从出发到相遇,轮船与小艇所需要的 时间分别为 t= 10+10 3tanθ 10 3 和 t= , 30 vcosθ

所以

10+10 3tanθ 10 3 = . 30 vcosθ 由此可得,v= 15 3 . sin(θ +30°) (1)求渔船甲的速度; (2)求 sinα 的值. 解:(1)依题意,∠BAC=120°,AB=12,
7

AC=10×2=20, 在△ABC 中, 由余弦定理知 BC2 = AB2 + AC2 - 2AB·AC·cos∠BAC = 122 + 202 - 2×12×20×cos120°=784,BC=28.
所以渔船甲的速度为 v= 28 =14(海里/小 2

时). (2)在△ABC 中,AB=12,∠BAC=120°, BC=28, ∠BCA = α , 由 正 弦 定 理 得

AB
sinα



角形,求得数学模型的解; (4)检验: 检验上述所求得的解是否符合实 际意义,从而得出实际问题的解. 5.正、余弦定理是应用极为广泛的两个定 理,它将三角形的边和角有机地联系起来,从 而使三角与几何产生联系,为求与三角形有关 的量(如面积、外接圆、内切圆半径和面积等) 提供了理论依据,也是判断三角形形状、证明 三角形中有关等式的重要依据.主要方法有: 化角法, 化边法, 面积法, 运用初等几何法. 注 意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化 思想及分类讨论思想.

12 28 ,即 = ,从而 sinα = sin∠BAC sinα sin120° 12sin120° 3 3 = . 28 14

BC

1 .已知两边及其中一边的对角解三角形 时,要注意解的情况,谨防漏解. 2.在判断三角形的形状时,一般将已知条 件中的边角关系利用正弦定理或余弦定理转化 为角角关系(注意应用 A+B+C=π 这个结论) 或边边关系,再用三角变换或代数式的恒等变 形(如因式分解、配方等)求解,注意等式两边 的公因式不要约掉,要移项提取公因式,否则 有可能漏掉一种形状. 3.要熟记一些常见结论,如三内角成等差 数列,则必有一角为 60°;若三内角的正弦值 成等差数列,则三边也成等差数列;内角和定 理与诱导公式结合产生的结论: sinA = sin(B

A B+C +C),cosA=-cos(B+C),sin =cos , 2 2
sin2A=-sin2(B+C), cos2A=cos2(B+C)等. 4.应用正、余弦定理解斜三角形应用题的 一般步骤: (1)分析:理解题意,分清已知与未知, 画出示意图; (2)建模:根据已知条件与求解目标,把已 知量与求解量尽量集中到一个三角形中,建立 一个解斜三角形的模型; (3)求解:利用正、余弦定理有序地解出三
8


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