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高中数学竞赛专题讲座---学会从特殊角度入手解决有关数论的竞赛题


学会从特殊角度入手解决有关数论的赛题
一. 例题选讲 例 1. 设整数 a , b 满足 2a 2 ? a ? 3b 2 ? b ,试证: a ? b , 2a ? 2b ? 1 都是完全平方数. 证: 显然 a ,b 必同为零或同不为零 (1) a ? b , a ? b ? 0 , 若 则 此时命题在立. 2) a ? b ,a ,b ? 0 , ( 若 设( a

, b )= d ,可令 a ? a1d , b ? b1d , a1 , b1 )=1,由条件得 2a12 d ? a1 ? b1 ? 3b12 d ( ① ? d | a1 ? b1 ,① ,

式 也 为 2d (a1 ? b1 )(a1 ?b1 ) ? (a1 ? b1 ) ? b12 d , ? a1 ? b1 | db12 , ? (a1 ? b1 , b1 ) ? (a1 , b1 ) ? 1 , ? (a1 ? b1 , b12 ) ? 1 , 故
a1 ? b1 | d ,? d ? ?(a1 ? b1 ) ,若 d ? ?(a1 ? b1 ) ,由① 2a12 ? 3b12 ? 1 ,? 2a12 ? 1(mod 3) 不可能,则 d ? a1 ? b1 , 得

? a ? b ? (a1 ? b1 )d ? d 2 ,又由条件

2(a ? b)(a ? b) ? (a ? b) ? b2 , ? d 2 (2a ? 2b ? 1) ? b2 ,故 2a ? 2b ? 1 ? b12 ,

故命题得证 例 2. 对方程 x 2 ? y 2 ? z 2 ? 3xyz (Ⅰ )试证: (1)若 x 0 , y0 , z 0 是(Ⅰ )的整数解,则 x 0 , y0 , 3x0 y0 ? z0 (Ⅱ )是也(Ⅰ )的整数解。 (2)方程(Ⅰ )的所有正整数解,都可利用(Ⅱ )由 x ? y ? z ? 1 得到。
2 2 )的正整数解。 ? ?3x0 y0 z0 ? 9x0 y0 ? 3x0 y0 (3x0 y0 ? z0 ) ,故 x 0 , y0 , 3x0 y0 ? z0 也是(Ⅰ

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 证: (1)? x0 ? y0 ? z0 ? 3x0 y0 z0 ,而 x0 ? y0 ? (3x0 y0 ? z0 ) 2 ? x0 ? y0 ? z0 ? 6x0 y0 z0 ? 9x0 y0 ? ?3x0 y0 z0 ? 9x0 y0 ? 3x0 y0 (3

(2)设 x , y , z (Ⅰ )的正整数解,现分三种情况进行讨论:① x ? y ? z ,则显然 x ? y ? z ? 1 ;② 若 若
x ? y ? z ,则有 2 x 2 ? z 2 ? 3x 2 z ,? x 2 | z 2 ,从而 x | z ,设 z ? tx ,t ? Z ? 代入上方程,得 2 x 2 ? t 2 x 2 ? 3x 2 ? tx 可

t | 2 , ? 1 或 2, x ? z , x ? 1 ,z ? 2 此时,x ? y ? 1 ,z ? 2 , 又 故 满足 z ? 2 ? 3?1?1?1; 不妨设 x ? y ? z ③ ?t

由(Ⅰ )得: 2z ? 3xy ? 9x2 y 2 ? 4( x2 ? y 2 ) ,若取“-”:?1 ? x ? y ,? 9x2 y 2 ? 4( x2 ? y 2 ) ? x2 y 2 ? xy ,故
2 z ? 3xy ? xy ? 2 xy , ? z ? xy ,又 3xyz ? x 2 ? y 2 ? z 2 ? 3z 2 ,? xy ? z 矛盾,故 2z ? 3xy ? 9x2 y 2 ? 4( x2 ? y 2 ) ? 2 z ? 3xy

即 3xy ? z ? z ,这表明,若 x 0 , y0 , z 0 也是是(Ⅰ )的一组解,且 x0 ? y0 ? z0 ,则由(Ⅱ )产生一组

新的解 x1 ? x0 , y1 ? y0 , z1 ? 3x0 y0 ? z0 ,使 x0 ? y0 ? z0 ? x1 ? y1 ? z1 ,若 x1 , y1 , z1 两两不相等,则可更 换顺序,使 x1 ? y1 ? z1 ,由(Ⅱ x 2 , y2 , z 2 ,使 x1 ? y1 ? z1 ? x2 ? y2 ? z2 显然这种过程也不可能无限进行 )得 下去,因而,进行了有限次后,必将使所得到的 x k , yk , z k 中至少有两个相等,从而成为① 两种情况 、② 之一, 也即可以从 x ? y ? z ? 1 通过 ) (Ⅱ 得到。 由 x ? y ? z ? 1 通过(Ⅱ 按 x ? y ? z 递增的顺序 ( x ? y ? z) 附: ), 可得下表: z y x 1 1 1 2 1 1
m

5 2 1
n

13 5 1

29 5 2

34 13 1

89 34 1

167 29 2

194 …… 13 …… 5 ……

例 3. 试求使 2 ? 3 为完全平方数的所有正整数 m , n
| | | ? m 解: 2 m ? 3n ? x 2 , 设 则易证 2 ? x ,3 ? x (由 3 ? x ) ? x 2 ? 1(mod 3) , 2m ? 1( od 3) , 2 | m , m ? 2s , , 故 令 | 则由 2 2 s ? x 2 ? 3n 知 x 2 ? 3n ? 0(mod 4) ,即 x 2 ? (?1) n ? 0(mod 4) ,而 2 ? x ,? x 2 ? 1(mod 4) ,? 2 | n

令 n ? 2t

? 2 ? x ? 3 ? ( x ? 3 )( x ? 3 )
2s 2 2t t t

① ? x 是奇数,故 x ? 3 都是偶数,由① , 知: x ? 3 ? 2 , x ? 3 ? 2 ? ( ? ? ? ? 1)
t t

?

t

| ? ? ? ? 1) ,若 ? ? 2 ,则 ? ? 3 ,则 4 | (2? ? 2 ? ) ,但 2? ? 2? ? ( x ? 3t ) ? ( x ? 3t ) ? 2x ,则 2 | x 与 2 ? x 矛盾,则 ? ? 1

于是 x ? 3t ? 2 , x ? 3t ? 2 2 s ?1 ,则 3t ? 2 2 s?2 ? 1 ,即 3t ? 1 ? 2 2 s?2 ,?s ? 2 ,? 3t ? 1 ? 0(mod 4) , (即 (?1)t ? 1 ? 0(mod 4)
(?1)t ? 1 ? 0(mod 4) ) ,故 t 为奇数,由 22 s?2 ? 3t ? 1 ? (3 ? 1)(3t ?1 ? 3t ?2 ? ? ? 3 ? 1)

② ,② 中第二个因式是 t 个奇数的
1

代数和,而 t 为奇数,故和必是奇数。若 t ? 1,则这个代数和是不小于 3 的奇数,此时② 不成立。故 t ? 1, 于是 s ? 2 , m ? 4 , n ? 2 ,此时 2 4 ? 32 ? 52 二. 评讲 数论竞赛题,特别是一些较高级别的竞赛试题,解题难度一般较大,如不细加分析,就会有“无从着手” 的感觉。 1. 一个竞赛命题往往包含有许多种情况,其中一些并非解题的难点所在,只有先排除这些情况,才能使我 们在思考时把注意力集中于主要矛盾,有利于去发现难点和克服难点,最常见的次要矛盾有: (1)字母取 特值时,从特殊到一般分析; (2)字母取零时的情况; (3)几个字母取值相等的情况; (4)一个字母整除 另一个字母的情况; (5)两个字母是否互素的情况(如利用互素性质,欧拉定理) 2. 常见的入手方法有: (1)从“对称性”入手,当变量的全部字母或部分字母在命题中处于同等地位时① 可 排除相等后,可在对称字母之间设置大小顺序;② 联想对称的结论和对称的解题方法;③ 可固定一个字母 的值,而仅对另一字母进行讨论。 (2)从特殊到一般的分析方法① 帮助理解较复杂和抽象的命题的题意;② 通过对特例的讨论和分析, 对最后应出现的结论作出肯定或否定的估计和猜测,甚至直接得到结论。③ 通过对特例的观察,发现问题 的症结,甚至发现解题的关键步骤和技巧。 (3)取特殊的数为模解题:就是以 m 为除数,依余数进行分类讨论的方法,优点在于:将讨论很大的 数,变为讨论小得多的数;讨论很多个数,变为讨论较少的数。利用这种同条关系解题时,常使用下面一 些原则: 若有 m , a ≡ b(mod m) , a ? b ; 若 f ( x) ? a , ① 使 则 ② 则对任意模 m , 都有 f ( x) ? a(mod m) ; 若 f (x) ③ 的值能取遍全部整数或全部正整数,则对任何正整数 m , f ( x)(mod m) 能取遍 m 的最小非负完全剩余系。 以上原则,关键在于模的选取:① 奇偶分析法,即取模为 2 的解题方法;② 取除数或除数的因数;③ 4, 取 8,3,5 等;④ 根据项的系数或幂的指数的情况取模。 (4)缩小取值的可能范围:通过讨论整除、互素、同余和有关不等式来缩小字母的取值范围,从而达 到逼近结论的目的。 三. 巩固例题 例 4. 以 f1 (n) 表示正整数 n 的各位数字和的平方而 f k (n) ? f1 ( f k ?1 (n)) , k ? 2 试求 f1991(21990)
2 解: 先作粗略的估计: 1990 ? 8664 ? 10664 ? 10700 , f1 (21990) ? (9 ? 700)2 ? 4 ?107 , f 2 (21990) ? (3 ? 9 ? 7) 2 ? 4900 ?

f3 (21990) ? (3 ? 9 ? 3)2 ? 302 ,由于 f 3 (21990) 是完全平方数,可设 f 3 (21990) ? a 2 (0 ? a ? 30) ,因为对任意正整数
(d m 有 x ? an an?1 ? a2 a1 , x ? (a1 ? a2 ? ? ? an ) o

9) , ? x 2 ? (a1 ? a2 ? ? ? an ) 2 (mod 9) ,故 f1 ( x) ? x 2 (mod 9) , ? f 3 ( x) ? f1 ( f 2 ( x)) ? f 2

? f 3 ( x) ? f1 ( f 2 ( x)) ? f 22 ( x)(mod 9) ,即 a 2 ? f 22 (21990)(mod 9) ,? f 2 (21990) ? a(mod 9) ,但 f1 (21990) ? (21990) 2 ? 26?663?2 ? 22 (mod 9)
) ? 26?663?2 ? 22 (mod 9) ,? f 2 (21990) ? f1 ( f1 (21990)) ? f12 (21990) ? 24 ? 7(mod 9) ,故 a ? 7(mod 9) ,而 0 ? a ? 30 ,?a ? 7,16,

0 2

} 25,? f 3 (21990) ?{72 ,162 ,252 } ? {49,256,625 ,注意到 49,256,625 这三个数的数字和均为 13,故 f 4 (21990) ? f1 ( f 3 (21990) ? 1

f 4 (21990) ? f1 ( f 3 (21990) ? 132 ? 169 , ? f 5 (21990) ? f1 ( f 4 (21990) ? (1 ? 6 ? 9) 2 ? 256 , f 6 (21990) ? f1 ( f 5 (21990) ? (2 ? 5 ? 6) 2 ? 169

……故 f1991(21990) ? 256 四. 课堂练习 例 5. 设正整数 a , b , c , d , m , n 使 a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 ? 1989
a ? b ? c ? d ? m2
b c d 其中 a , , , 的最大者为 n 2 , 试确定 m ,

n 的值。

解: 由柯西不等式得

a ? b ? c ? d ? 2 1989 ? 90 ,由和与平方和具有要同的奇偶性, m 2 ? 12 ,32 ,52 ,7 2 ,92 知
2

而 (a ? b ? c ? d ) 2 ? a 2 ? b2 ? c 2 ? d 2 ? 1989? 442 ,? a ? b ? c ? d ? 44 ,故 m2 ? 7 2 ,92 , (1)若 a ? b ? c ? d ? 7 2 , 不防设 a ? b ? c ? d ,则 d ? n 2 ,由 d ? 7 2 知 d ? 6 2 ? 36 ,又 4d ? a ? b ? c ? d ? 49 ,? d ? 13 ,而 d 是完全平 方数, ? d ? 16,25,36 ,若 d ? 36 ,则 a ? b ? c ? 49 ? 36 ? 13 ,而 (a ? b ? c) 2 ? d 2 ? a 2 ? b2 ? c 2 ? d 2 ? 1989,故
? 同理 d ? 16,25 ? m 2 ? 7 2 , m 2 ? 9 2 ; 2) a ? b ? c ? d ? 81 故 ( 由 132 ? (a ? b ? c) 2 ? 1989? d 2 ? 693矛盾, d ? 36 ,
? 4d ? a ? b ? c ? d ? 81 , ? d ? 20 ,而 d ? 81 且 d 2 ? 1989,故完全平方数 d ? 25,36 ① d ? 25 ,则 若

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 1364 (Ⅰ )
a ? b ? c ? 56

(Ⅱ )由(Ⅰ )知,1364 是偶数,则 a , b , c 或者全是偶数,或者是两个奇数一个偶数。

若是两奇一偶,则 a 2 ? b2 ? c 2 ? 2(mod 4) 而 1364? 0(mod 4) 矛盾,故 a , b , c 必须全是偶数,可设 a ? 2a1 ,
b ? 2b1 , c ? 2c1 且 c1 ? 12 (? c ? d ? 25 ,?c ? 24 ) ,则 a12 ? b12 ? c12 ? 341, a1 ? b1 ? c1 ? 12 , a1 ? b1 ? c1 ? 28

由 3c12 ? a12 ? b12 ? c12 ? 341,? c1 ? 11 ,?c1 ? 11,12 ,若? c1 ? 11,则

a12 ? b12 ? 220
a1 ? b1 ? 17

? 2b12 ? 220 ,?b12 ? 110

?b1 ? 11 而 b1 ? c1 ? 11 ,故 b1 ? 11,? a1 ? 6 ,此时 a12 ? b12 ? 220 不成立,? c1 ? 11同理 c2 ? 12 ;② d ? 36 , 若

则 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 693
a ? b ? c ? 45

,由 c 2 ? 693 及 3c 2 ? 693,?16 ? c ? 26 ,当 c ? 19 时,均可导出 2ab ? a 2 ? b 2 的矛盾,

如 c ? 19 ,则 a 2 ? b 2 ? 332 , (a ? b) 2 ? 676,? 2ab ? (a ? b) 2 ? a 2 ? b2 ? 334 ? 332 ? a 2 ? b2 ,故 c ? {16,17,18} ,
b a b a 当 c ? 16 时, ? b ? 29 , 2 ? b 2 ? 437 , 从而 ab ? 202 , a ? 1 , ? 202 或 a ? 2 , ? 101 均不合要求, ? 16 , 故 ?c

同理 c ? 17 ,当 c ? 18 时,由 a ? b ? 27 , ab ? 18 得满足 a ? b ? 18 的两组解 a ? 10, b ? 17 ; a ? 12, b ? 15 , 前者不满足 a 2 ? b 2 ? 693? 182 ? 369 ,经检验,得 a ? 12, b ? 15 , c ? 18 , d ? 36 ,?m ? 81, n ? 6 为所求

3


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