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湖南省澧县一中2014-2015学年高二上学期特色班周考数学理试题(10月19日)


2014.10.19 高二理科特色班数学周考试题
总分:100 分 时量:75 分钟 组题人:陈智勇 一、选择题(每小题 5 分共 40 分,请将答案填写在答题区。 ) 1.已知命题 p , p :: ? ? ? ? R R ,,R 使 使 sin sin x x ? ? p :x ? x ? 使 sin R p :x ? x ? R ,, 使 sin xx ??

①命题“ p ? q ”是真命题 ③命题“ ? p ? q ”是真命题 其中正确的是( ) A.②④ B.②③ C.③④ D.①②③ 2.设{an}是等比数列,则“a1<a2 <a4”是“数列{an}是递增数列”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, O 为侧面 BCC1B 1 的中心,则 AO 与平面 ABCD 所成的 角的正弦值为( A. ) B.

5 5 55 2 2 , 给出下列结论: ;;命题 命题 q q :? xx ? R ,,都有 x? ? x1 ?? 1? ? 0 ; 命题 q :? ? ? R 都有 x ? 1 .. q :: x ? R , 都有 x2 x? 0 .0 2 22 ②命题“ p ? ?q ”是假命题 ④命题“ ? p ? ? q ”是假命题

3 2

1 2

C.

3 6

D.

6 6

4.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 与抛物线 y 2 ? 8x 有一个公共的焦点 F,且两曲线的 a 2 b2
) D. 2 x ? y ? 0 D. 5 B. 3x ? y ? 0 B. 3
2 2

一个交点为 P,若|PF|=5,则双曲线的渐近线方程为( A. x ? 3 y ? 0
2

C. x ? 2 y ? 0 C.5

5.抛物线 y ? 4 x 上一点 P 到直线 x ? ?1 的距离与到点 Q (2, 2) 的距离之差的最大值为() A.3 6.已知双曲线 T:

x y 2 3 ? 2 ? 1 (a,b>0)的右焦点为 F(2,0) ,且经过点 R( ,0) , 2 a b 3

△ ABC 的三个顶点都在双曲线 T 上,O 为坐标原点,设△ ABC 三条边 AB,BC,AC 的中点分 别为 M, N, P, 且三条边所在直线的斜率分别为 k1, k2, k3, k1≠0, i=1,2,3. 若直线 OM,ON ,OP

1 1 1 ) ? ? 的值为( k1 k2 k3 7.已知 f(x)是定义在(0,+ ? )上的单调函数,且对任意的 x∈(0,+ ? ) ,都有 f[f(x)
的斜率之和为-1.则 -1og2x]=3,则方程 f(x)-f′(x)=2 的解所在的区间是( A. (0, )

1 ,1) C. (1,2) D. (2,3) 2 8.在平面直角坐标系中,定义 d ( P, Q) ?| x1 ? x2 | ? | y1 ? y 2 | 为 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y 2 ) 两点
B. ( 之间的“折线距离” 。在这个定义下,给出下列命题: ①到原点的“折线距离”等于 1 的点的集合是一个正方形; ②到原点的“折线距离”等于 1 的点的集合是一个圆; ③到点 P(?1,0), Q(1,0) 两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是 x ? 0 ; ④到点 P(?1,0), Q(1,0) 两点的“折线距离”的差的绝对值为 1 的点的集合是两条平行线。 其中真命题有 ( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 二、填空题(每小题 5 分共 35 分,请将答案填写在答题区。 ) 9.正三角形 ABC 的边长为 2,将它沿高 AD 翻折,使点 B 与点 C 间的距离为 1,此时二面 角 B-AD-C 大小为_____________ 10.曲线 y ? xe ? 2 x ? 1 在点(0,1)处的切线方程为
x

1 ) 2

.

11.函数 f ( x) ? 式为

ax ? b 在点 (?1, f (?1)) 的切线方程为 x ? y ? 3 ? 0 ,则函数 f ( x) 的解析 x2 ?1
x2 y2 P 为椭圆上任意一点, ? ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点, 当 ?F 1PF 2 a2 b2
1 . 则椭圆的离心率为 49


12. 设 F1 , F2 是椭圆

取最大值时的余弦值为 ?

13.若以 F 为焦点的抛物线 y 2 ? 4 x 上的两点 A、B 满足 AF ? 2FB ,则弦 AB 的中点到准 线的距离为____________. 14.已知双曲线

??? ?

??? ?

x2 y2 ? ? 1 左支上一点 M 到右焦点 F 的距离为 16, N 是线段 MF 的中 25 16

点, O 为坐标原点,则 | ON | 的值是 15 .若函数 f ( x) = (1 ? x )( x ? ax ? b) 的图像关于直线 x ? ?2 对称 , 则 f ( x) 的最大值是
2 2

_____________.

选择题答题区: 1 2 题号 答案 填空题答题区: 9、 12、 15、 ____
_

3

4

5

6

7

8

10、 13、

11、 14、

_______

三、解答题(共 25 分,请将答案填写在答题区。 ) 16. (本小题 12 分)如图四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,AD∥BC,ADCD,且 AD=CD =2 2 ,BC=4 2 ,PA=2,点 M 在线段 PD 上。
(1)求证:AB⊥PC (2)若二面角 M-AC-D 的大小为 45°,求 BM 与平面 PAC 所成的角的正弦值。

x2 y 2 17. (本小题 13 分)如图,椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )与一等轴双曲线相交,M 是其中 a b 一个交点,并且双曲线的顶点是该椭圆的焦点 F1 , F2 ,双曲线的焦点是椭圆的左、右顶点,
△ MF1F2 的周长为 4

?

2 ? 1 。设 P 为该双曲线上异于顶点的任意一点,直线 PF1 , PF2 的

?

斜率分别为 k1 , k2 ,且直线 PF1 和 PF2 与椭圆的交点分别为 A、B 和 C、D。 ⑴求椭圆和双曲线的标准方程; ⑵(ⅰ)证明: k1k2 ? 1 ; (ⅱ)是否存在常数 ? ,使得 AB ? CD ? ? AB ? CD 恒成立?若存在,求 ? 的 值;若不存在,请说明理由。

y P A M C O F2

B

F1

x

D

2014.10.19 高二理科特色班数学周考参考答案
选择题答题区: 1 2 题号 答案 B B 3 D 4 B 5 D 6 1 2 7 C 8 C

填空题答题区:

9、

600_

10、

y ? 3x ? 1
9 4

11、

f ( x) ?

2x ? 2 x2 ?1

12、 15、

5 7

13、

14、

3

16

三、解答题(共 25 分,请将答案填写在答题区。 ) 16. (本小题 12 分)如图四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,AD∥BC,ADCD,且 AD=CD=2 2 ,BC=4 2 ,
PA=2,点 M 在线段 PD 上。 (1)求证:AB⊥PC (2) 若二面角 M-AC-D 的大小为 45°, 求 BM 与平面 PAC 所成的角的正弦值。

x2 y 2 17. (本小题 13 分)如图,椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )与一等轴双曲线相交,M 是其中 a b 一个交点,并且双曲线的顶点是该椭圆的焦点 F1 , F2 ,双曲线的焦点是椭圆的左、右顶点,
△ MF1F2 的周长为 4

?

2 ? 1 。设 P 为该双曲线上异于顶点的任意一点,直线 PF1 , PF2 的

?

斜率分别为 k1 , k2 ,且直线 PF1 和 PF2 与椭圆的交点分别为 A、B 和 C、D。 ⑴求椭圆和双曲线的标准方程; ⑵(ⅰ)证明: k1k2 ? 1 ; (ⅱ)是否存在常数 ? ,使得 AB ? CD ? ? AB ? CD 恒成立?若存在,求 ? 的值; 若不存在,请说明理由。 【解析】 (Ⅰ) 由题意知, 双曲线的离心率为 2 ,

c 2 ,即 a ? 2c 。 ? a 2 又 2a ? 2c ? 4 2 ? 1 ,所以可得 a ? 2 2 ,
椭圆离心率为

y P A M C O F2

?

?

c ? 2 。所以 b2 ? a 2 ? c 2 ? 4 ,于是椭圆方程为 x2 y 2 ? ? 1 ;所以椭圆焦点坐标为 ? ?2,0? ,因 8 4
为双曲线为等轴双曲线,且顶点是该椭圆的焦 点,故所求双曲线的标准方程为

B

F1

x

x2 y 2 ? ?1。 4 4

D

……………………4 分

(Ⅱ) (ⅰ) 设点 P ? x0 , y0 ? , 则 k1 ?

y0 y y0 y y2 , 则 k1k2 ? ; k2 ? 0 , ? 0 ? 02 x0 ? 2 x0 ? 2 x0 ? 2 x0 ? 2 x0 ? 4

2 2 x0 y0 y2 2 2 ? ? 1 ,即有 x0 而由点 P 在双曲线上,可知 ;从而 2 0 ? 1 ,故 ? 4 ? y0 4 4 x0 ? 4 k1k2 ? 1 。 ……………………8 分

(ⅱ)假设存在常数 ? ,使得 AB ? CD ? ? AB ? CD 恒成立。 则由(ⅰ)知 k1k2 ? 1 ,所以可设直线 AB 的方程为 y ? k ? x ? 2? ,直线 CD 的方程为

8 ? k 2 ? 1? 8k 2 若设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则有 x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? ; 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 4 2 ?1 ? k 2 ? 2 2 ? 因此 AB ? ?1 ? k ? ? x1 ? x2 ? ? 4 x1 x2 ? = ; ? ? 1 ? 2k 2
同理可得 CD ? ;因此由 AB ? CD ? ? AB ? CD 知 2 ? k2 1 ? 2k 2 2 ? k2 3 ? 3k 2 3 2 1 1 ? ? ? 。 ?? ? ? 2 2 2 8 AB CD 4 2 ?1 ? k ? 4 2 ? k ? 1? 4 2 ? k ? 1?

1 ? x ? 2 ? ;把直线 AB 的方程为 y ? k ? x ? 2? 代入椭圆方程,整理得 k ?1 ? 2k 2 ? x 2 ? 8k 2 x ? 8 ? k 2 ? 1? ? 0 ; y?

4 2 ? k 2 ? 1?

所以存在常数 ? ?

3 2 ,使得 AB ? CD ? ? AB ? CD 恒成立。 ……………13 分 8


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