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不等式的综合应用


不等式的综合应用 一、课时目标
1.一元二次不等式的解法,常见不等式的解法,以及与一元二次不等式相关的不等式有解 以及恒成立问题,一元二次不等式与二次方程、二次函数的关系. 2.一元二次不等式(组)表示的平面区域以及简单的线性规划问题. 3.基本不等式的熟练应用. 4.不等式与函数、数列、三角等知识的综合应用. 5.不等式在实际问题中的应用.

二、典型例题
例 1. (1) 设集合 A ? {( x,y) | y ?| x ? 2 | ,x ? 0} , B ? {( x,y) | y ? ? x ? b} , ①若 A

B ? ? ,则 b 的取值范围是

; . .

②若 ( x,y) ? A

B ,且 x ? 2 y 的最大值为 9,则 b 的值是

(2) y ? log0.5 ( x3 ? 2 x 2 ? x) 的定义域是

变式训练: x x2 ? 3x ? 2 ? 0 的解集为

.

(3) 若实数 x , y 满足 x ? ?1, y ? ? 1, 且 2 ? 2 ? 4 ? 4 ,则 2
x y x y

2x? y

? 22 y ? x 的取值范围是

__________. 变 式 训 练 : 若 实 数 a, b, c 满 足 2 ? 2 ? 2
a b a ? b

, 2 ?2 ?2 ?2
a b c

a ?b ?c

,则 的最大值



.

例 2.某小区想利用一矩形空地 ABCD 建市民健身广场,设计时决定保留空地边上的一水 塘(如图中阴影部分) ,水塘可近似看作一个等腰直角三角形,其中 AD ? 60m , AB ? 40m , 且 ?EFG 中, ?EGF ? 90 ,经测量得到 AE ? 10m, EF ? 20m .为保证安全同时考虑美观, 健身广场周围准备加设一个保护栏.设计时经过点 G 作一直线交 AB, DF 于 M , N ,从而得 到五边形 MBCDN 的市民健身广场,设 DN ? x(m) . (1)将五边形 MBCDN 的面积 y 表示为 x 的函数; (2)当 x 为何值时,市民健身广场的面积最大?并求出最大面积.
A E H F N D

G M T

B

C

变式训练: 若直线 的取值范围是 .

始终平分圆

的周长, 则

已知圆心角为 120° 的扇形 AOB 的半径为 1,C 为 AB 的中点,点 D,E 分别在半 26 径 OA,OB 上.若 CD2+CE2+DE2= ,则 OD+OE 的最大值是________. 9

例 3.已知集合 M ? {x | x ? 1或x ? 0} ,设不等式 x2 ? ax ? (a2 ? 1) ? 0 的解集为 N. (1)若 M ? N ,求 a 的值; (2)若 M ? N ,求 a 的取值范围; (3)若该不等式在 CR M 上有解,求 a 的取值范围.

变式训练:已知集合 P ? ? ,2? ,函数 y ? log 2 ax ? 2 x ? 2 的定义域为 Q, ?2 ? (1)若 P ? Q ? ? ,求实数 a 的取值范围;
2
[来源:Z,xx,k.Com]

?1 ?

?

?

(2)若方程 log 2 ax ? 2 x ? 2 ? 2 在 ? ,2? 内有解,求实数 a 的取值范围. 2
2

?

?

?1 ? ? ?

例 4.已知数列{bn}是等差数列,b1=1,b1+b2+…+b10=145. (1)求数列{bn}的通项公式 bn; (2)设数列{an}的通项 an=loga(1+

1 )(其中 a>0 且 a≠1)记 Sn 是数列{an}的前 n 项和, 试比较 bn

Sn 与

1 logabn+1 的大小,并证明你的结论. 3

变 式 训 练 : 已 知 {an } 满 足 an ? 2 n ?1, ( n ? N *试 ) 推断是否存在正数 k,使得

(1 ?

1 1 1 )(1 ? )?(1 ? ) ? k 2n ? 1 对一切 n ? N * 均成立?若存在,求出 k 的最大值; a1 a2 an

若不存在,说明理由.

5.设 f(x)=3ax2+2bx+c,若 a+b+c=0,f(0)>0,f(1)>0,求证: b (1)a>0 且-2<a <-1; (2)方程 f(x)=0 在(0,1)内有两个实根.

x2 变式训练: 已知函数 f(x)= (a, b 为常数)且方程 f(x)-x+12=0 有两个实根 ax+b 为 x1=3,x2=4. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)设 k>1,解关于 x 的不等式:f(x)< (k+1)x-k . 2-x

四、检测训练
1.已知正数 x, y, z 满足 x2 ? y 2 ? z 2 ? 1 ,则 S ?

1? z 的最小值为 2 xyz



2.已知 R 上的连续函数 g(x)满足:①当 x ? 0 时, g '( x) ? 0 恒成立( g '( x ) 为函数 g ( x) 的 导函数);②对任意的 x ? R 都有 g ( x) ? g (? x) ,又函数 f ( x ) 满足:对任意的 x ? R ,都 有 f ( 3 ? x) ? f ( x ? 3) 成立。当 x ?[? 3, 3] 时, f ( x) ? x3 ? 3x 。若关于 x 的不等

3 ? 2 3] 恒成立,则 a 的取值范围是 . 2 x1+x2? 1 3.函数 f(x)在[a,b]上有定义,若对任意 x1,x2∈[a,b],有 f ? ? 2 ?≤2[f(x1)+f(x2)],则
式 g[ f ( x)] ? g (a 2 ? a ? 2) 对 x ? [? 3, 称 f(x)在[a,b]上具有性质 P.设 f(x)在[1,3]上具有性质 P,现给出如下命题: ①f(x)在[1,3]上的图象是连续不断的;②f(x2)在[1, 3]上具有性质 P; ③若 f(x)在 x=2 处取得最大值 1,则 f(x)=1,x∈[1,3];④对任意 x1,x2,x3,x4∈[1,3],有 f? x1+x2+x3+x4? 1 4 ? ?≤4[f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)].其中真命题的序号是________.

4. f(x) 是 定 义 在 ( - ∞ , 4] 上 的 减 函 数 , 是 否 存 在 实 数 m , 使 得 f (m - sin x)≤f ? 1+2m-7+cos2x?对定义域内的一切实数 x 均成立?若存在, 求出实数 m 的取值范围; ? ? 4 ? ? 若不存在,请说明理由.

5.有一隧道既是交通拥挤地段,又是事故多发地段.为了保证安全,交通部门规定,隧道内 的车距 d ? m? 正比于车速 v ? km / h? 的平方与车身长 l ? m ? 的积,且车距不得小于一个车身 长 l (假设所有车身长均为 l ).而当车速为 60 ? km / h ? 时,车距为 1.44 个车身长. ⑴求通过隧道的最低车速; ⑵在交通繁忙时,应规定怎样的车速,可以使隧道在单位时段内通过的汽车数量 Q 最多?

a-2 1 1 6.已知函数 f(x)=3x3+ 2 x2-2ax-3,g(a)=6a3+5a-7. (1)当 a=1 时,求函数 f(x)的单调递增区间; (2)若函数 f(x)在区间[-2,0]上不单调,且 x∈[-2,0]时,不等式 f(x)<g(a) 恒成立,求实数 a 的取值范围.


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