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历年全国卷高考函数与导数题--已经修改


全国卷高考函数与导数题
1.已知 a ? R, 求函数 f ( x) ? x 2 e ax 的单调区间.

2.已知函数 f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx. (1)求函数 f(x)的最大值;(2)设 0<a<b,证明:0<g(a)+g(b)-2g(

a?b )<(b-a)ln2. 2

3.求函数 f ( x) ? ln(1 ? x) ?

1 2 x 在[0,2]上的最大值和最小值. 4

4.(1)设函数 f ( x) ? x log2 x ? (1 ? x) log2 (1 ? x)(0 ? x ? 1) ,求 f ( x) 的最小值; (2)设正数 p1 , p2 , p3 ,?, p2n 满足 p1 ? p2 ? p3 ? ? ? p2n ? 1, 求证 p1 log2 p1 ? p2 log2 p2 ? p3 log2 p3 ? ? ? p2n log2 p2n ? ?n.

5.已知 a ? 0,函数f ( x) ? ( x ? 2ax)e . (Ⅰ)当 x 为何值时,f (x)取得最小值?证明你的结论;
2 x

(Ⅱ)设 f ( x) 在[-1,1]上是单调函数,求 a 的取值范围.

6.已知函数 f ? x ? ?

4x2 ? 7 , x ??0, 1? (Ⅰ)求 f ? x ? 的单调区间和值域; 2? x

(Ⅱ)设 a ? 1 ,函数 g ? x ? ? x2 ? 3a2 x ? 2a,x ??01 , 1? ,总存在 x0 ? ?0, 1? ,使得 ? ,若对于任意 x1 ??0,

g ? x0 ? ? f ? x1 ? 成立,求 a 的取值范围

7.已知函数 f ( x) ? 1 ? x e ? ax . (Ⅰ)设 a ? 0 ,讨论 y ? f ( x) 的单调性; (Ⅱ)若对任意 x ? (0,1) 恒有 f ( x) ? 1 ,求 1? x a 的取值范围.

8.设函数 f ( x) ? ( x ? 1)ln( x ? 1). 若对所有的 x ≥0,都有 f ( x) ≥ax 成立.求实数 a 的取值范围.

9.设函数 f ( x) ? e x ? e ? x . (Ⅰ)证明: f ( x) 的导数 f ?( x) ≥2; (Ⅱ)若对所有 x≥0 都有 f ( x) ≥ax,求 a 的取值范围.

3 10.已知函数 f ( x) ? x ? x .(Ⅰ)求曲线 y ? f ( x) 在点 M( t , f (t ) )处的切线方程;

(Ⅱ)设 a>0. 如果过点(a, b)时作曲线 y=f(x)的三条切线,证明: ? a ? b ? f (a).

11. 已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? x ? 1 , a ? R . (Ⅰ)讨论函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)设函数 f ( x ) 在区间

? 2 1? ? ? 内是减函数,求 a 的取值范围. ?? , ? 3 3?

12.设函数 f ( x) ? x ? x ln x .数列 ?an ? 满足 0 ? a1 ? 1, an?1 ? f (an ) . (Ⅰ)证明:函数 f ( x ) 在区间 (0, 1) 是增函 数; (Ⅱ)证明: an ? an?1 ? 1 ; (Ⅲ)设 b ? (a1, 1) ,整数 k ≥

a1 ? b .证明: ak ?1 ? b . a1 ln b

13.设函数 f ( x) ?

sin x .(Ⅰ)求 f ( x) 的单调期间;(Ⅱ)如果对任何 x ? 0 ,都有 f ( x) ? ax ,求 a 的取值范围. 2 ? cos x

14.设函数 f ( x) =x3+3bx2+3cx 有两个极值点 x1、 x2, 且 x1∈ [-1, 0] , x2∈ [1,2] . (Ⅰ)求 b、c 满足的约束条件,并在下面的坐标平面内,画出满足这些条件的点 (b,c)的区域; (Ⅱ)证明:-10≤f(x2)≤ ?

1 . 2

15.设函数 f ? x ? ? x2 ? aIn ?1 ? x ? 有两个极值点 x1、x2 ,且 x1 ? x2 (I)求 a 的取值范围,并讨论 f ? x ? 的单调性; (II)证明: f ? x2 ? ?

1 ? 2 In2 4

w.w. w. k.s .5. u.c.o.m

16.已知函数 f ( x) ? ( x ? 1) ln x ? x ? 1 ( . Ⅰ) 若 xf '( x) ? x2 ? ax ? 1 , 求 a 的取值范围; (Ⅱ) 证明:( x ? 1) f ( x) ? 0 .

17.设函数 f ? x ? ? 1 ? e? x . (Ⅰ)证明:当 x>-1 时, f ? x ? ? 取值范围.

x x ; (Ⅱ)设当 x ? 0 时, f ? x ? ? ,求 a 的 x ?1 ax ? 1

18.(Ⅰ)设函数 f ( x) ? ln(1 ? x) ?

2x ,证明:当 x>0 时, f ( x)>0 ; x?2

(Ⅱ)从编号 1 到 100 的 100 张卡片中每次随即抽取一张,然后放回,用这种方式连续抽取 20 次,设抽得的 20 个 号码互不相同的概率为 p .证明: p<(

9 19 1 ) < 2 10 e


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