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高一上学期数学试题


绝密★启用前

锦山中学 2012—2013 学年度第一学期期中考试

高一数学试卷
2012.10

考生注意:
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,其中第 II 卷中第 22 和 23 题为选考题,其他题为必考题。考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效。 考试

结束后,只交答题卡。 注意事项: 1、答题前,考生务必先将自己的姓名,准考证号填写在答题卡上。 2、选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案的标 号,非选择题答案使用 0.5 毫米的黑色、蓝色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整, 笔迹清楚。 3、请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。 4、保持卷面清洁,不折叠,不破损。 5、做选考题时,考生按照题目要求作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的 题号涂黑。

第Ⅰ卷(选择题 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.已知全集 U ? R ,集合 A ? ?x | 0 ? x ? 9, x ? R? 和 B ? ?x | ?4 ? x ? 4, x ? Z ? 关系的韦恩图如 图 1 所示,则阴影部分所表示集合中的元素共有 A.5 个 B.3 个 C.4 个 D.无穷多个 2.下列函数中,与 y ?| x | 为同一函数的是( A. y ? ( x )2 C. y ? ) U A 图1

B

B. y ? x2 D. y ? 3 x3 ( )

?

x,( x ? 0) ? x,( x ? 0)

16 ? 3 3.化简 ( ) 4 的结果是 81

A. C.

3 2

B. D.

9 4

8 27

27 8
1

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4.设集合 P ? {x 0 ? x ? 4}, Q ? {y 0 ? y ? 2} ,下列对应不表示从集合 P 到集合 Q 的映射 的是 ( )

A. f : x ? y ? C.

1 x 2 2 f :x? y? x 3 1 x

B. f : x ? y ? D. f : x ? y ?

1 x 3

x
( )

5.已知函数 y ? f ( x) 满足 f ( ) ? A. ? C. ?

x ( x ? 0, x ? 1), 则 f (3) 的值是 1? x
1 2 2 3
)

3 2 1 2

B. D.

6. 函数 f ( x) ?

x?4 的定义域为 ( x ?5
B. (4, ??) D. [4, ??)

A. [4,5) ? (5, ??) C. [4,5)

7.当 x ? (1, ??) 时, 幂函数 y ? x? 的图像恒在直线 y ? x 的下方, ? 的取值范围是( 则 A. 0 ? ? ? 1 C. ? ? 1 B. ? ? 0 D. ? ? 1 )

)

8.设 a ? 40.9 , b ? 80.48 , c ? 21.1 ,则 a、b、c 的大小关系是 ( A. b ? a ? c C. c ? a ? b
2

B. a ? b ? c D. a ? c ? b

9.如图,二次函数 y=ax +bx 与指数函数 y= ( ) 的图象可能为( y 1 0 x y 1 0 x y 1 -1 0 x

b a

x

) y 1 -1 0 x

A B C D 10.国家规定个人稿费纳税办法:不超过 800 元的不纳税;超过 800 元而不超过 4 000 元的 按超过 800 元部分的 14%纳税;超过 4 000 元的按全部稿费的 11%纳税.已知某人出版一本 书,共纳税 420 元,这个人应得稿费(扣税前)为 A.2800 元 C.3818 元 B.3000 元 D.3800 元 ( )

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2

11.关于函数 f ( x) ?

2x ?1 的单调性,描述准确的是 x ?1

(

)

A.在(-∞,+∞)上是增函数.

B.在(-∞,-1)、(-1,+∞) 上是减函数.

C.在(-∞,-1)、(-1,+∞) 上是增函数. D.在(-∞,+∞)上是减函数.
?x2+4x ? 12.已知函数 f(x)=? 2 ? ?4x-x

?x≥0?, ?x<0?,

若 f(2-a2)>f(a),则实数 a 的取值范围是 ( B.(-1,2) D.(-∞,-2)∪(1,+∞)

)

A.(-2,1) C.(-∞,-1)∪(2,+∞)

第Ⅱ卷(非选择题 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.)
? x2 ? 4, 0 ? x ? 2 13.已知函数f ( x) ? ? ,若 f ( x0 ) ? 12, 则x0 ? ? 2x , x ? 2
x-1

. .

14.函数 f(x)=a +3(a>0 且 a≠1)的图像一定经过定点 P,则点 P 的坐标是 15. 函数 y ? x ? 1 ? 2 ? x 的最大值是 .

16.有如下命题:①设集合 A ? {a, b} ,集合 B 满足 A ? B ? A ,则集合 B 有 4 个;②当 n=0 时,幂函数 y=x 的图像是一条直线;③函数 y ? a x (a ? 0, a ? 1) 与 y ? ( ) (a ? 0, a ? 1) 的
n

1 a

x

图像关于 y 轴对称. ④化简 n an 的结果是 a .其中正确命题的序号为 为正确的命题序号都填上)

(把你认 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.
17.(本题满分 12 分)已知全集 U=R,集合 A={x|x≤a+3},B={x|x<-1 或 x>5}. (1) 若 a ? ?2,求A ? CU B ; (2) 若 A ? B ,求 a 的取值范围.

18.(本题满分 12 分,每个小题 6 分) (1)已知: x ? x
?1

? 3,( x ? 0) ,求 x 2 ? x 2 的值.
2

1

?

1

(2)计算: lg5 ? lg 20 ? (lg 2)

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3

19. (本题满分 12 分)已知函数 f(x)=b·a (其中 a,b 为常量,且 a>0,a≠1)的图像经 过点 A(1,6),B(3,24). (1)求 a、b 的值 (2)设函数 g ( x ) ? ( ) ,指明该函数的值域,判断其奇偶性,并作出该函数的图像.
x

x

1 a

20. (本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x2 ? 2ax ?1 ,求函数在区间[0,2]上的最大值和最 小值.

21.(本题满分 12 分)某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投资债券等稳健型 产品的收益与投资额成正比,投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比。 已知投资 1 万元时两类产品的收益分别为 0.125 万元和 0.5 万元(如图) 。 (1)分别写出两种产品的收益与投资的函数关系。 (2)该家庭现有 20 万元资金,全部用于理财投资,问:怎么分配资金能使投资获得最 大收益,其最大收益是多少万元?

y
0.125 0 1 0.5

y

x





x

请考生在第 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.(本小题满分 10 分)已知函数 f (x) 是偶函数,其定义域是(-1,1) ,且在 [0,1) 上是递 增的,若 f (1 ? m) ? f (m) ? 0 ,求实数 m 的取值范围.

23. (本小题满分 10 分)设函数 f ( x) ?| x ? 4x ? 5|, g ( x) ? k
2

(1)画出 x ? [?2, 6] 时函数 f (x) 的图象; (2)在(1)的条件下,试分析方程 | x ? 4 x ? 5 |? k 解的个数.
2

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4

锦山中学 2012—2013 学年度上学期期中考试

高一数学参考答案
一. 选择题:
题号 答案 1 C 2 B 3 D 4 C 5 B 6 A 7 C 8 B 9 A 10 D 11 C 12 A

二. 填空题: 13. 6; 14. (1, 4) ;

15. 3;

16. ①③

三.解答题:
17. 解: (1)当 a=-2 时,集合 A={x|x≤1}

CU B ={x|-1≤x≤5} ————3 分

∴ A ? CU B ={x|-1≤x≤1} ————6 分 (2)∵A={x|x≤a+3},B={x|x<-1 或 x>5} 又A? B ∴a+3<-1 ∴a<- 4 ————12 分 18.解:(1) ∵ x ? x
1 2 ? 1 2 2
?1

? 3, 且x ? 0 ,
1 2 ? 1 2

∴ ( x ? x ) ? x ? 2x x

? x ?1 ? 5 ————4 分

则x ?x
(2)

1 2

?

1 2

? 5

————6 分

lg 5 ? lg 20 ? (lg 2) 2 ? lg 5 ? (lg 5 ? lg 4) ? (lg 2) 2 ? lg 5 ? (lg 5 ? 2 lg 2) ? (lg 2) 2 ? (lg 5) 2 ? 2 lg 5?lg 2 ? (lg 2) 2 ? (lg 5 ? lg 2) ? (lg10) 2 ?1
————6 分 x 19. 解:(1)把 A(1,6),B(3,24)代入 f(x)=b·a ,得
? ?6=ab, ? 3 ? ?24=b·a ,
2

————4 分

结合 a>0,且 a≠1,解得? ————5 分

? ?a=2, ? ?b=3.

故 a=2,b=3

(2)由 a=2 得: g ( x) ? ( ) ,————6 分
x

1 2

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5

1 x 1 2 2 1 x ∴函数 g ( x ) ? ( ) 是偶函数. ————8 分 2 1 x 由 x ? 0 得, 0 ? ( ) ? 1 2 1 x 则函数 g ( x ) ? ( ) 的值域为 (0,1] ————10 分 2
函数的图像如图所示. ————12 分

∵函数 g ( x ) ? ( ) 的定义域为 R,且 g (? x) ? ( )

?x

1 x ? ( ) ? g ( x) 2

20. 解:由 f ( x) ? x2 ? 2ax ?1 ? ( x ? a)2 ?1 ? a2 得: 函数 f ( x ) 图像的对称轴为直线 x ? a ————2 分 (1)当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 在[0,2]上是递增的. 则 f ( x)min ? f (0) ? ?1, f ( x)max ? f (2) ? 3 ? 4a ————4 分 (2)当 0 ? a ? 1 时,函数 f ( x ) 在 [0, a ] 上是递减的,在 [ a, 2] 是递增的. 则 f ( x)min ? f (a) ? ?1 ? a2 , f ( x)max ? f (2) ? 3 ? 4a ————6 分 (3) 当 1 ? a ? 2 时,函数 f ( x ) 在 [0, a ] 上是递减的,在 [ a, 2] 是递增的. 则 f ( x)min ? f (a) ? ?1 ? a2 , f ( x)max ? f (0) ? ?1 ————8 分 (4)当 a ? 2 时,函数 f ( x ) 在 [0, 2] 上是递减的, 则 f ( x)min ? f (2) ? 3 ? 4a, f ( x)max ? f (0) ? ?1 ————10 分 综上,设 g (a) ? f ( x)min , ? (a) ? f ( x)max

??1, a ? 0 ? 则 g (a) ? ??1 ? a 2 , 0 ? a ? 2 ?3-4a, a ? 2 ?

? (a) ? ?

?3-4a, a ? 1 ??1, a ? 1

————12 分

21.解: (1)设

f ?x ? ? k1 x , g?x? ? k2 x
1 1 ? k1 g ?1? ? ? k 2 8 2 ,

————2 分

所以

f ?1? ?

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6



f ?x ? ?

1 x?x ? 0 ? 8

g ?x ? ?

1 x ?x ? 0? 2 ————5 分

(2)设投资债券类产品 x 万元,则股票类投资为( 20 ? x )万元————6 分

依题意得: 令t ?

y ? f ?x ? ? g ?20 ? x ? ?

x 1 ? 20 ? x ?0 ? x ? 20 ? 8 2 ————8 分

20 ? x 0 ? t ? 2 5

?

?

y?


20 ? t 2 1 1 2 ? t ? ? ?t ? 2? ? 3 8 2 8 ————10 分

y ? 3 万元 ————12 分 所以当 t ? 2 ,即 x ? 16 万元时,收益最大, max
22. 解:∵函数 f (x) 是偶函数,定义域是(-1,1) ,且在 [0,1) 上是递增的. ∴函数 f (x) 在 (?1, 0) 上是递减的. ————2 分 由 f (1 ? m) ? f (m) ? 0 ,得

f (1 ? m) ? f (m) ————4 分

? ?1 ? 1 ? m ? 1 ? 由函数性质得 ? ?1 ? m ? 1 ————6 分 ?1? m ? m ? 1 解得: ? m ? 1 2 1 因此,m 的取值范围是 ( ,1) .————10 分 2
23. 解: (1)当 x ? [?2, 6] 时,

? x2 ? 4 x ? 5 ? f ( x) ? x ? 4 x ? 5 ? ? 2 ??( x ? 4 x ? 5) ?
2

?2 ? x ? ?1或5 ? x ? 6 ?1 ? x ? 5

,

函数的图像如图. ————4 分

(2)∵方程 | x ? 4 x ? 5 |? k 的解的个数
2

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7

等于函数 f (x) 与 g (x) 图像的交点个数. 又∵ g (x) =k 的图象是一条与 x 轴平行的直线 由 ( 1 ) 的 图 可 知 : 函 数 f (x) 在 x ? [?2, 6] 时 的 最 大 值 为

f ( 2? , 又 ) 9

f (? 2 )? f ( 6 ) , f (?1) ? f (5) ? 0 ————6 分 ? 7
∴k<0 时, 方程 | x2 ? 4 x ? 5 |? k 的解的个数为 0 个————7 分

0 ? k ? 7 时,方程 | x2 ? 4 x ? 5 |? k 的解的个数为 4 个————18 分
k=0 或 7<k<9 时,方程 | x2 ? 4 x ? 5 |? k 的解的个数为 2 个————9 分 k=9 时, 方程 | x2 ? 4 x ? 5 |? k 的解的个数为 1 个————10 分

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