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江苏省海门中学2008~2009学年度第一学期高一年级第一次阶段性测试数学学科试题(学生版、教师版)


江苏省海门中学 2008~2009 学年度第一学期高一年级第一次阶段性测试

数学学科试题(学生版) 数学学科试题(学生版)
命题人:黄卫平 一.填空题:(每小题 5 分,共70分) 1.集合 A = {x 10 月 6 日

6 个数为_____________. ∈ Z , x ∈ N } ,则集合 A 中元素的个数 个数 x3

2.已知集合 A = {x x 2 + x 6 = 0}, B = {x mx 1 = 0} .若 B A ,则实数 m 组成的集合 集合 是_______________________________. 3.已知函数 f ( x) = 2 x x 2 ,则 f ( x 2) 的定义域 定义域为_____________________. 定义域 4.已知定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 满足 f ( x + 2) = f ( x ) ,则 f (6) =____________. 5.已知 A = { x x 2 ≤ 2, x ∈ R}, B = { y y = x 2 , 1 ≤ x ≤ 2} ,则 CR ( A ∩ B ) = _____. 6.下列四中说法中,正确的序号 正确的序号是______________________. 正确的序号 ①函数值域中的每一个数都有定义域中唯一的自变量与其对应; ②函数的定义域和值域都是非空集合; ③定义域和对应法则确定后,函数的值域也就确定了; ④如果函数的定义域中只有一个元素,那么值域中也只有一个元素.
1 1 2 1 1 7.在 , 2 2 , , 2 中,最大 最大的数是_____________________. 最大 2 2 8 . 已 知 函 数 f ( x ) 是 奇 函 数 , 当 x > 0 时 , f ( x) = 2 x 3 , 则 当 x < 0 时 , f ( x ) = 1 1

____________________. 9.已知函数 f ( x) = x5 + ax3 + bx 8, f ( 2) = 10 ,则 f (2) = ________________. 10 . 已 知 函 数 f ( x) = x 2 + bx + c 对 于 任 意 实 数 t 都 有 f (2 + t ) = f (2 t ) , 则 由小到大 f (4), f (2), f ( 2) 由小到大的顺序为_______________________. 则实数 a 的取值范围是____________________. 12.设函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,且 y = f ( x ) 的图象关于直线 x =

11.函数 f ( x) = x 2 + 2( a 2) x + 3 在区间 [ 2, 1] 上单调递增,在区间 [1, 2] 上单调递减,

f (1) + f (2) + f (3) + f (4) + f (5) = ___________.
13.已知函数 f ( x) =

1 对称,则 2

x +1 , x < 1 使得 f ( x ) ≥ 1 的自变量 x 的取值范围是________. x + 3, x ≥ 1

14.若函数 f ( x ) 的图象关于原点对称,且在 ( 0, +∞ ) 上是增函数, f ( 3) = 0 ,则不等式 解集是___________________________. xf ( x ) < 0 的解集 解集

二.解答题:(共90分) 15 . ( 本 小 题 共 12 分 ) 已 知 集 合 A = {1, a 2 + 1, a 2 3}, B = {a 3, a 1, a + 1} , 若

A ∩ B = {2} .求实数 a 的取值范围.

16.(本小题共 14分)如图所示,在边长为4的正方形 ABCD 的边上有一点 P ,沿着折 线 BCDA 由 B 点(起点)向 A 点(终点)移动,设 P 点移动的路程为 x , ABP 的面积 为 y = f ( x) . (1)求 ABP 的面积 y 与点 P 移动的路程 x 之间的关系式,并写 出定义域; (2)作出函数 y = f ( x ) 的图象,并根据图象求出 y 的最大值.
P A B D C

17.(本小题共 15 分)已知函数 f ( x) = 4 x 2 4ax + a 2 2a + 2 在区间 [ 0, 2] 上有最小值 3,求实数 a 的值.

a 4x + a 2 18.(本小题共 17 分)设 a ∈ R, f ( x ) 为奇函数, f (2 x) = . 4x + 1
(1)写出函数 f ( x ) 的定义域; (2)求 a ,并写出 f ( x ) 的表达式; (3)用函数单调性定义证明:函数 f ( x ) 在定义域上是增函数. (可能用到的知识:若 x1 < x2 ,则 0 < 2 1 < 2 2 , 0 < 4 1 < 4 2 )
x x x x

19.(本小题共 15 分)已知奇函数 y = f ( x ) 在 ( 0, +∞ ) 上是增函数,且 f ( x ) < 0( x > 0) , 试判断函数 F ( x) =

1 在 ( ∞, 0 ) 上的单调性,并证明. f ( x)

20 . ( 本 小 题 共 17 分 ) 设 函 数 y = f ( x ) 是 定 义 在 ( 0, +∞ ) 上 的 单 调 函 数 , 且

x f ( ) = f ( x) f ( y ) .(1)求 f (1) ;(2)求证 f ( xy ) = f ( x) + f ( y ) ; y
(3)若 f (2) = 1 ,解不等式 f ( x ) f (

1 )≤2. x3

江苏省海门中学 2008~2009 学年度第一学期高一年级第一次阶段性测试

数学学科试题(教师版) 数学学科试题(教师版)
命题人:黄卫平 10 月 6 日 一.填空题:(每小题 5 分,共70分) 1.集合 A = {x

6 个数为_______7______. ∈ Z , x ∈ N } ,则集合 A 中元素的个数 个数 x3

2.已知集合 A = {x x 2 + x 6 = 0}, B = {x mx 1 = 0} .若 B A ,则实数 m 组成的集合 集合 是 0,

1 1 , 2 3 2 x x 2 ,则 f ( x 2) 的定义域 [2,4]. 定义域为 定义域

3.已知函数 f ( x ) =

4.已知定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 满足 f ( x + 2) = f ( x ) ,则 f (6) =_____0_______. 5.已知 A = {x x 2 ≤ 2, x ∈ R}, B = { y y = x 2 , 1 ≤ x ≤ 2} , 则 CR ( A ∩ B ) = ( ∞,0) U (0,+∞)

6.下列四中说法中,正确的序号 正确的序号是②③④. 正确的序号 ①函数值域中的每一个数都有定义域中唯一的自变量与其对应; ②函数的定义域和值域都是非空集合; ③定义域和对应法则确定后,函数的值域也就确定了; ④如果函数的定义域中只有一个元素,那么值域中也只有一个元素.
1 1 2 1 2 1 1 7.在 , 2 2 , , 2 中,最大 最大的数是 . 最大 2 2 2 8.已知函数 f ( x ) 是奇函数,当 x > 0 时, f ( x) = 2 x 3 ,则当 x < 0 时, f ( x ) = 2 x + 3 . 1 1



1

9.已知函数 f ( x) = x5 + ax3 + bx 8, f ( 2) = 10 ,则 f (2) = _______-26_________. 10 . 已 知 函 数 f ( x) = x + bx + c 对 于 任 意 实 数 t 都 有 f (2 + t ) = f (2 t ) , 则
2

f (2), f (4 ), f ( 2 ) 由小到大 由小到大的顺序为 f (4), f (2), f ( 2) .

11.函数 f ( x) = x 2 + 2( a 2) x + 3 在区间 [ 2, 1] 上单调递增,在区间 [1, 2] 上单调递减, 则实数 a 的取值范围是 [1,3]

12.设函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,且 y = f ( x ) 的图象关于直线 x =

f (1) + f (2) + f (3) + f (4) + f (5) = _____0______.
13 . 已 知 函 数 f ( x) =

1 对称,则 2

x +1 , x < 1 使 得 f ( x) ≥ 1 的 自 变 量 x 的 取 值 范 围 是 x + 3, x ≥ 1

14.若函数 f ( x ) 的图象关于原点对称,且在 ( 0, +∞ ) 上是增函数, f ( 3) = 0 ,则不等式 解集是 xf ( x ) < 0 的解集 ( 3,0) U (0,3) . 解集 二.解答题:(共90分) 15 . ( 本 小 题 共 12 分 ) 已 知 集 合 A = {1, a 2 + 1, a 2 3}, B = {a 3, a 1, a + 1} , 若

x ≤ 2或0 ≤ x ≤ 2

A ∩ B = {2} .求实数 a 的取值范围.
解:Q

A ∩ B = {2}

∴ 2 ∈ B

2分

若 a 3 = 2 若 a 1 = 2 若 a + 1 = 2

则 a = 1 则a =1 则 a = 3

此时 A = { 1,2,2}, B = { 4,2,0} 符合题意 5 分 此时 A = { 1,2,2}, B = {2,2,0} 不符合题意 8 分 此时 A = { 1,10,6}, B = { 4,6,02} 不符合题意 11 分

综上所述: a = 1 12 分 16.(本小题共 14分)如图所示,在边长为4的正方形 ABCD 的边上有一点 P ,沿着折 线 BCDA 由 B 点(起点)向 A 点(终点)移动,设 P 点移动的路程为 x , ABP 的面积为

y = f ( x) .
(1)求 ABP 的面积 y 与点 P 移动的路程 x 之间的关系式,并写
D C

P A B

出定义域; (2)作出函数 y = f ( x ) 的图象,并根据图象求出 y 的最大值.

2x 8 解: y = 2 x + 24

定义域为 (0,12)

0px≤4 4p x≤8 8 p x p 12

6分

9分

作图省

17.(本小题共 15 分)已知函数 f ( x) = 4 x 2 4ax + a 2 2a + 2 在区间 [ 0, 2] 上有最小值 3,求实数 a 的值. 解:函数 f ( x ) 的对称轴为 x = (1)当

a 2

2分

a ≤0 2

即 a ≤ 0时 解得 a = 1 ±

f min ( x ) = f (0 ) = a 2 2a + 2 = 3
Q a≤0
(2)当 0 <

2

5分 6分

∴a = 1 2
即0 <a<4 时 解得 a =

a <2 2

a f min ( x ) = f = 2a + 2 = 3 2
Q 0<a<4
(3)当 故a =

1 2

9分

1 不合题意 2

10 分

a ≥2 2

即a ≥ 4时 解得 a = 5 ± 10 14 分 15 分 13 分

f min ( x ) = f (2 ) = a 2 10a + 18 = 3
Qa≥4

∴ a = 5 + 10

综上: a = 1 2 或5 + 10

18.(本小题共 17 分)设 a ∈ R, f ( x ) 为奇函数, f (2 x) =

a 4x + a 2 . 4x + 1

(1)写出函数 f ( x ) 的定义域; (2)求 a ,并写出 f ( x ) 的表达式; (3)用函数单调性定义证明:函数 f ( x ) 在定义域上是增函数. (可能用到的知识:若 x1 < x2 ,则 0 < 2 1 < 2 2 , 0 < 4 1 < 4 2 )
x x x x

a2 2 x + a 2 解:(1) 由题意 f (2 x ) = 22x + 1
故函数 f ( x ) 的定义域为 R (2)Q f (x ) 为奇函数

a2 x + a 2 ∴ f (x ) = 2x +1

2分

4分

∴ f ( x ) = f ( x ) 对任意的 x ∈ R 都成立
7分 10 分 11 分

∴ f (0) = 0


a + a 2 = 0∴a = 1
所以

2x 1 2 f (x ) = x = 1 x 2 +1 2 +1
且 x1 < x 2 14 分

(3)对任意的 x1 , x 2 ∈ R

f ( x1 ) f ( x 2 ) = 1
=

2 2 1 x 2 2 +1 2 +1
x1

2 2 x1 2 +1 2 +1
x2

=

(

2 2 x1 2 x2 <0 2 x1 + 1 2 x2 + 1

(

)(

)

)

16 分

即 f ( x1 ) < f ( x 2 ) 函数 f ( x ) 在 R 上单调递增 17 分

19.(本小题共 15 分)已知奇函数 y = f ( x ) 在 ( 0, +∞ ) 上是增函数,且 f ( x ) < 0( x > 0) , 试判断函数 F ( x ) =

1 在 ( ∞, 0 ) 上的单调性,并证明. f ( x)

提示: 提示:用作差法证明

20 . ( 本 小 题 共 17 分 ) 设 函 数 y = f ( x ) 是 定 义 在 ( 0, +∞ ) 上 的 单 调 函 数 , 且

x f ( ) = f ( x) f ( y ) .(1)求 f (1) ;(2)求证 f ( xy ) = f ( x) + f ( y ) ; y
(3)若 f (2) = 1 ,解不等式 f ( x ) f ( 解:(1)令 x = y ≠ 0 得 f (1) = 0

1 )≤2. x3
3分

(2)由题意得 f ( xy ) f ( y ) = f y = f (x )

xy

∴ f ( xy ) = f ( x) + f ( y )

得证

8分 10 分

(3) f (4 ) = f (2 × 2) = f (2) + f (2) = 2 因为: f (1) = 0

f (2) = 1 于是 f (2) > f (1)

而函数 y = f ( x ) 是定义在 ( 0, +∞ ) 上的单调函数 故 函数 y = f ( x ) 在区间 ( 0, +∞ ) 上单调增函数 13 分

x( x 3) ≤ 4 于是原不等式可化为 x f 0 1 f0 x3
∴ ∴

15 分

3< x ≤ 4
原不等式的解集为 (3,4] 17 分


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