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【原创·名校精品解析系列】全国名校高三数学试题精品解析分类汇编·2015年4月第一期H单元 解析几何


ziye

H 单元 目录

解析几何

H 单元 解析几何 ........................................................................................................................... 1 H1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 ...................................................................................... 1 H2 两直线的位置关系与点到直线的距离 .................................................................................. 1 H3 圆的方程 .................................................................................................................................. 3 H4 直线与圆、圆与圆的位置关系 .............................................................................................. 3 H5 椭圆及其几何性质 .................................................................................................................. 5 H6 双曲线及其几何性质 ............................................................................................................ 29 H7 抛物线及其几何性质 ............................................................................................................ 36 H8 直线与圆锥曲线(AB 课时作业) ..................................................................................... 42 H9 曲线与方程 ............................................................................................................................ 63 H10 单元综合 .............................................................................................................................. 63

H1

直线的倾斜角与斜率、直线的方程

H2

两直线的位置关系与点到直线的距离

【 【名校精品解析系列】数学理卷·2015 届四川省德阳市高三“二诊”考试(201503)word 版】13.直线 l:x-y=0 被圆: (x-a)2+y2 =1 截得的弦长为 2 ,则实数 a 的值 为 。 【知识点】直线与圆的位置关系;点到直线的距离公式 H4 H2 【答案】 【 解 析 】 ?1

解析:根据题意半弦长为

2 , 得圆心到直线的距离为 2

? 2? 2 ,解得 a ? ?1 ,故答案为 ?1 。 d? ? 1? ? ? ? ? ? 2 2 2 ? ? a

2

ziye

【思路点拨】先得到半弦长为

2 ,再利用点到直线的距离公式即可。 2

【 【名校精品解析系列】 数学文卷· 2015 届重庆市巴蜀中学高三下学期第二次模拟考试 (201504) 】 15.已知圆 C 的方程为 ( x ? 3)
2

? ( y ? 4) 2 ? 1 ,过直线 l : 3 x ? ay ? 5 ? 0 ( a ? 0 )上的任意 15 ,则直线 l 的斜率为__________.

一点作圆 C 的切线,若切线长的最小值为

【知识点】点到直线的距离公式;直线与圆的位置关系 H2 H3 H4 【答案】 【解析】 -

3 4

解析:当切线长最小时,即圆心到直线的距离最小,此时

所以 d = 15 +1 = 4 ,

9 + 4a - 5 a2 +9

解得 a = 4 , 所以直线 l 的斜率为 =4,

3 3 , 故答案为 - 。 4 4

【思路点拨】先由切线长最小时,即圆心到直线的距离最小,求出距离 d,再根点到直线的 距离公式求出 a 的值,进而求出直线 l 的斜率。

【 【名校精品解析系列】数学文卷·2015 届四川省德阳市高三“二诊”考试(201503)word 版】13.直线 l:x-y=0 被圆: (x-a)2+y2 =1 截得的弦长为 2 ,则实数 a 的值 为 。 【知识点】直线与圆的位置关系;点到直线的距离公式 H2 H4 【答案】 【 解 析 】 ?1

解析:根据题意半弦长为

2 , 得圆心到直线的距离为 2

? 2? 2 ,解得 a ? ?1 ,故答案为 ?1 。 d? ? 1? ? ? ? ? 2 ? 2 2 ? ? a
【思路点拨】先得到半弦长为

2

2 ,再利用点到直线的距离公式即可。 2

【【名校精品解析系列】数学卷·2015 届江苏省南通市高三第二次调研测试(201504)】7. 在 平面直角坐标系 xOy 中,若曲线 y ? ln x 在 x ? e ( e 为自然对数的底数)处的切线与直线

ax ? y ? 3 ? 0 垂直,则实数 a 的值为 ▲ .

【知识点】导数的几何意义;两直线垂直的充要条件 B11 H2

ziye

【答案】 【解析】 ?e 解析:因为 y ? ln x ,所以 y ? ? 1 ,则曲线 y ? ln x 在 x ? e ( e 为自然对 x 数的底数)处的切线的斜率为 y ?
x ?e

? 1 ,又因为曲线 y ? ln x 在 x ? e ( e 为自然对数的底数) e

处的切线与直线 ax ? y ? 3 ? 0 垂直,所以 1 ? a ? ?1 ,解得 a ? ?e ,故答案为 ?e 。 e 【思路点拨】先结合导数的几何意义求出斜率,再利用两直线垂直求出 a 即可。

H3

圆的方程

【 【名校精品解析系列】 数学文卷· 2015 届重庆市巴蜀中学高三下学期第二次模拟考试 (201504) 】 15.已知圆 C 的方程为 ( x ? 3)
2

? ( y ? 4) 2 ? 1 ,过直线 l : 3 x ? ay ? 5 ? 0 ( a ? 0 )上的任意 15 ,则直线 l 的斜率为__________.

一点作圆 C 的切线,若切线长的最小值为

【知识点】点到直线的距离公式;直线与圆的位置关系 H2 H3 H4 【答案】 【解析】 -

3 4

解析:当切线长最小时,即圆心到直线的距离最小,此时

所以 d = 15 +1 = 4 ,

9 + 4a - 5 a2 +9

解得 a = 4 , 所以直线 l 的斜率为 =4,

3 3 , 故答案为 - 。 4 4

【思路点拨】先由切线长最小时,即圆心到直线的距离最小,求出距离 d,再根点到直线的 距离公式求出 a 的值,进而求出直线 l 的斜率。

H4

直线与圆、圆与圆的位置关系

【 【名校精品解析系列】数学理卷·2015 届四川省德阳市高三“二诊”考试(201503)word 版】13.直线 l:x-y=0 被圆: (x-a)2+y2 =1 截得的弦长为 2 ,则实数 a 的值 为 。 【知识点】直线与圆的位置关系;点到直线的距离公式 H4 H2

ziye

【答案】 【 解 析 】 ?1

解析:根据题意半弦长为

2 , 得圆心到直线的距离为 2

? 2? 2 ,解得 a ? ?1 ,故答案为 ?1 。 d? ? 1? ? ? ? ? 2 ? 2 2 ? ? a
【思路点拨】先得到半弦长为

2

2 ,再利用点到直线的距离公式即可。 2

【 【名校精品解析系列】 数学文卷· 2015 届重庆市巴蜀中学高三下学期第二次模拟考试 (201504) 】 15.已知圆 C 的方程为 ( x ? 3)
2

? ( y ? 4) 2 ? 1 ,过直线 l : 3 x ? ay ? 5 ? 0 ( a ? 0 )上的任意 15 ,则直线 l 的斜率为__________.

一点作圆 C 的切线,若切线长的最小值为

【知识点】点到直线的距离公式;直线与圆的位置关系 H2 H3 H4 【答案】 【解析】 -

3 4

解析:当切线长最小时,即圆心到直线的距离最小,此时

所以 d = 15 +1 = 4 ,

9 + 4a - 5 a +9
2

解得 a = 4 , 所以直线 l 的斜率为 =4,

3 3 , 故答案为 - 。 4 4

【思路点拨】先由切线长最小时,即圆心到直线的距离最小,求出距离 d,再根点到直线的 距离公式求出 a 的值,进而求出直线 l 的斜率。

【 【名校精品解析系列】数学文卷·2015 届四川省德阳市高三“二诊”考试(201503)word 版】13.直线 l:x-y=0 被圆: (x-a)2+y2 =1 截得的弦长为 2 ,则实数 a 的值 为 。 【知识点】直线与圆的位置关系;点到直线的距离公式 H2 H4 【答案】 【 解 析 】 ?1

解析:根据题意半弦长为

2 , 得圆心到直线的距离为 2

? 2? 2 ,解得 a ? ?1 ,故答案为 ?1 。 d? ? 1? ? ? ? ? ? 2 2 2 ? ? a
【思路点拨】先得到半弦长为

2

2 ,再利用点到直线的距离公式即可。 2

ziye

【【名校精品解析系列】数学卷·2015 届江苏省南通市高三第二次调研测试(201504)】14.在 平面直角坐标系 xOy 中,圆 C1 : ( x ? 1)2 ? ( y ? 6)2 ? 25 ,圆 C2 : ( x ? 17)2 ? ( y ? 30)2 ? r 2 .若 圆 C2 上存在一点 P ,使得过点 P 可作一条射线与圆 C1 依次交于点 A , B ,满足 PA ? 2AB ,则 半径 r 的取值范围是 ▲ .

【知识点】圆与圆的位置关系及其判定.H4

55? 【答案】 【解析】 ?5 ,

解析:圆 C1 : ( x ? 1)2 ? ( y ? 6)2 ? 25 ,圆心(-1,6);半径

为:5.圆 C2 : ( x ? 17)2 ? ( y ? 30)2 ? r 2 .圆心(17,30);半径为:r. 两圆圆心距为:

?17 ? 1?

2

? (30 ? 6)2 ? 30. 如图: PA ? 2AB ,可得 AB 的最大值为直径,

此时 C2A=20,r>0.当半径扩大到 55 时,此时圆 C2 上只有一点到 C1 的距离为 25,而且是最

55? .故答案为: ?5 , 55? . 小值,半径再大,没有点满足 PA=2AB.r∈ ?5 ,
【思路点拨】 求出两个圆的圆心距, 画出示意图, 利用已知条件判断半径 r 的取值范围即可.

H5

椭圆及其几何性质

【 【名校精品解析系列】数学(文)卷·2015 届湖北省黄冈中学等八校高三第二次模拟考试 (201504)WORD 版】22. (本小题满分 14 分)

x2 y 2 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,若椭圆 C 上的一动点到右焦点的最短距离为 a b

2- 2 ,且右焦点到直线 x ?

a2 的距离等于短半轴的长.已知点 P ? 4,0? ,过 P 点的 c

ziye

直线 l 与椭圆 C 交于 M , N 两点,点 T 与点 M 关于 x 轴对称. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)求 OM ON 的取值范围; (Ⅲ)证明:直线 TN 恒过某定点. 【知识点】椭圆的简单性质.H5 【答案】 【解析】(Ⅰ)

x2 y 2 5 ? ? 1 ; (Ⅱ) [ - 4, ) ;(Ⅲ)见解析 2 4 2

?a ? c ? 2 ? 2 ? ? ?a ? 2 解析: (Ⅰ)由题意知 ? a 2 , 解得 ? , b ? 2 ? c ? b ? ? ? ?c
故椭圆 C 的方程

x2 y 2 ? ? 1 .???????????????????? 4 分 4 2

(Ⅱ)由题意知直线 MN 的斜率存在,设直线 MN 的方程为 y ? k ( x ? 4) .

? y ? k ( x ? 4), ? 由 ? x2 y 2 ? 1. ? ? ?4 2

得 (2k 2 ? 1) x2 ?16k 2 x ? 32k 2 ? 4 ? 0 .



设点 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,

? ? (?16k 2 ) 2 ? 4(2k 2 ? 1)(32k 2 ? 4) ? 16 ? 96k 2 ? 0 ? 2 ? x ? x ? 16k ? 1 2 2k 2 ? 1 ? ? 32k 2 ? 4 ? x1 x2 ? 2k 2 ? 1 ? ? 12k 2 2 y y ? k ( x ? 4)( x ? 4) ? 1 2 ? 1 2 2k 2 ? 1 ?
OM ON =x1 x2 ? y1 y2 ?
即 OM ON ? [?4, )

44k 2 ? 4 26 1 2 =22 ? 2 , 0≤k ? 2 6 2k ? 1 2k ? 1
. ???????????????????? 9 分

5 2

(Ⅲ)由(Ⅱ)知, T ( x1 , ? y1 ) ,直线 TN 的方程为 y ? y2 ?

y2 ? y1 ( x ? x2 ) . x2 ? x1

令 y ? 0 ,得 x ? x2 ?

y2 ( x2 ? x1 ) . y2 ? y1

ziye

将 y1 ? k ( x1 ? 4) , y2 ? k ( x2 ? 4) 代入, 整理,得 x ?

2 x1 x2 ? 4( x1 ? x2 ) . x1 ? x2 ? 8



由①得 x1 ? x2 ?

16k 2 32k 2 ? 4 x x ? , 代入②整理,得 x ? 1 . 1 2 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1
????????????????14 分

所以直线 TN 恒过定点 Q(1, 0) .

【思路点拨】 (Ⅰ)由题意知

,解得即可得出; (Ⅱ)由题意知直线 MN 的斜

率存在, 设直线 MN 的方程为 y=k (x﹣4) . 与椭圆方程联立可得△>0 及其根与系数的关系, 利用数量积运算性质即可得出. (Ⅲ)由(Ⅱ)知,T(x1,﹣y1) ,直线 TN 的方程为 .令 y=0,得 y2=k(x2﹣4)代入,再把根与系数的关系代入即可得出. .将 y1=k(x1﹣4) ,

【 【名校精品解析系列】数学理卷· 2015 届重庆市巴蜀中学高三下学期第二次模拟考试

(201504) 】21.已知椭圆

C:

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0) 的右顶点、上顶点分别为 A、B, 坐标 a 2 b2

原点到直线 AB 的距离为 (1)求椭圆 C 的方程; (2)过椭圆

4 3 且 a ? 2b. , 3

C

的左焦点 F1 的直线 l 交椭圆于 M 、N 两点,且该椭圆上存在点 P ,使得四边

形 MONP ( 图形上的字母按此顺序排列)恰好为平行四边形,求直线 l 的方程.

ziye

【知识点】椭圆的标准方程;直线与椭圆的位置关系 H5 H8

x2 y2 ? ?1 【答案】 【解析】 (1) 16 (2) 8

x ? ? 2 y ? 2 2.
的距离为

解析: (1)直线 AB 的方程为 bx ? ay ? ab ? 0, 坐标原点到直线

AB

4 3 ab a 2b 2 16 = ? 2 ? ,又 解 得 a ? 4, b ? 2 2, 故 椭 圆 的 方 程 为 2 2 2 3 a ?b 3 a ? 2b, a ?b

x2 y2 ? ?1 16 8
(2) 由( 1 )可求得椭圆的左焦点为 F1 ( ?2 2,0), 易知直线 l 的斜率不为 0, 故可设直线 点 M ( x1 , y1 )、N ( x2 , y2 ), 因 为 四 边 形 MONP 为 平 行 四 边 形 , 所 以

l : x ? my ? 2 2,

OP ? OM ? ON ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ? P ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ),
联立 ?

? x ? my ? 2 2 ? ? ? x ? 2 y ? 16 ? 0
2 2

? ( m 2 ? 2) y 2 ? 4 2my ? 8 ? 0

?

?? ? 64( m 2 ? 1) ? 0 ? ?8 2 ? x1 ? x2 ? 2 ? 4 2 m ? ? m ?2 ?? ? y1 ? y2 ? 2 m ?2 ? ? y ? y ? 4 2m 1 2 ? x1 ? x2 ? m( y1 ? y2 ) ? 4 2 ? m 2 ? 2 ,因为点 P( x ? x , y ? y ) 在椭圆上, ? ? 1 2 1 2
( x1 ? x2 ) 2 ? 2( y1 ? y2 ) 2 ? 16 ? ( ?8 2 2 4 2 2 ) ? 2( 2 ) ? 16 ? 2 m ?2 m ?2

所以

m ? ? 2, 那么直线 l 的方程为 x ? ? 2 y ? 2 2.

ziye

【思路点拨】 (1)利用点到直线的距离公式求出

a 2b 2 16 ? , 结合 a ? 2b, 可得椭圆的标 2 2 a ?b 3

准方程; (2)由(1)可求得椭圆的左焦点为 F1 ( ?2 2,0), 易知直线 l 的斜率不为 0,故可设 直线 l : x ? my ? 2 2, 点 M ( x1 , y1 )、N ( x2 , y2 ), 再结合根与系数的关系即可。

【 【名校精品解析系列】数学理卷·2015 届江西省南昌市十所省重点中学高三二模突破冲刺 (一) ( 201504 ) 】 7. 已知离心率为 e 的双曲线和离心率为

2 2

的椭圆有相同的焦点

F1 , F2 , P 是两曲线的一个公共点,若 ?F1 PF2 ?

?
3

,则 e 等于(

)

A. B. C. D.3 【知识点】双曲线的简单性质;椭圆的简单性质.H5 H6 【答案】 【解析】C 解析:设椭圆的长半轴长为 a1,双曲线的实半轴长为 a2,焦距为 2c, |PF1|=m,|PF2|=n,且不妨设 m>n,由 m+n=2a1,m﹣n=2a2 得 m=a1+a2,n=a1﹣a2. 又 ,∴ ,



,即

,解得

,故选:C.

【思路点拨】利用椭圆、双曲线的定义,求出|PF1|,|PF2|,结合∠F1PF2= 理,建立方程,即可求出 e.

,利用余弦定

【【名校精品解析系列】数学理卷·2015 届山西省康杰中学等四校高三第三次联考(201503)】 20. (本小题满分 12 分)

椭圆 C :

x2 y 2 4 b ? ? 1(a ? b ? 0) 的上顶点为 A, P( , ) 是 C 上的一点,以 AP 为直径的圆经 3 3 a 2 b2

过椭圆 C 的右焦点 F . (1)求椭圆 C 的方程; (2)动直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点,问:在 x 轴上是否存在两个定点,它们到 直线 l 的距离之积等于 1?如果存在,求出这两个定点的坐标;如果不存在,说明理由. 【知识点】直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程.H5 H8

ziye

【答案】 【解析】 (1) 距离之积等于 1.

x2 ? y 2 ? 1 (2)存在两个定点 M1 (1,0), M 2 (?1,0) ,使它们到直线 l 的 2

解析: (1) F (c,0), A(0, b) ,由题设可知 FA ? FP ? 0 ,得

4 b2 c2 ? c ? ? 0 3 3
又点 P 在椭圆 C 上,?

① ???1 分 ② ③ ???3 分 ???4 分 ???5 分

16 b2 ? ? 1, ? a2 ? 2 9a2 9b2

b2 ? c 2 ? a 2 ? 2

①③联立解得, c ? 1, b2 ? 1 故所求椭圆的方程为

x2 ? y2 ? 1 2

(2)当直线 l 的斜率存在时,设其方程为 y ? kx ? m ,代入椭圆方程,消去 y, 整理得 (2k 2 ? 1) x2 ? 4kmx ? 2m2 ? 2 ? 0 (﹡)

方程(﹡)有且只有一个实根,又 2k 2 ? 1 ? 0 , 所以 ? ? 0, 得 m2 ? 2k 2 ? 1 假设存在 M1 (?1 ,0), M 2 (?2 ,0) 满足题设,则由
d1 ? d 2 ? ? (?1k ? m)(?2 k ? m) k2 ?1 ?

???8 分

?1?2 k 2 ? (?1 ? ?2 )km ? 2k 2 ? 1
k2 ?1

(?1?2 ? 2)k 2 ? (?1 ? ?2 )km ? 1 ? 1 对任意的实数 k 恒成立, k2 ?1 ?? ? 1 ?? ? ?1 或? 1 解得, ? 1 ??2 ? ?1 ??2 ? 1

?? ? ? 2 ? 1 所以, ? 1 2 ??1 ? ?2 ? 0

当直线 l 的斜率不存在时,经检验符合题意. 总上,存在两个定点 M1 (1,0), M 2 (?1,0) ,使它们到直线 l 的距离之积等于 1.?12 分

4 b2 【思路点拨】 (1) 由题设可得 c2 ? c ? ? 0 ① , 又点 P 在椭圆 C 上, 可得 3 3
又 b +c =a =2③ ,① ③ 联立解得 c,b ,即可得解. (2)设动直线 l 的方程为 y=kx+m,代入椭圆方程消去 y,整理得
2 2 2 2

?a =2② ,

2

(2k 2 ? 1) x2 ? 4kmx ? 2m2 ? 2 ? 0(﹡) , 由 ? ? 0, 得 m2 ? 2k 2 ? 1 , 假设存在 M1 (?1 ,0), M 2 (?2 ,0)
满足题设,则由
d1 ? d 2 ? (?1k ? m)(?2 k ? m) k2 ?1 ?

?1?2 k 2 ? (?1 ? ?2 )km ? 2k 2 ? 1
k2 ?1

?

(?1?2 ? 2)k 2 ? (?1 ? ?2 )km ? 1 ?1 k2 ?1

ziye

?? ? ? 2 ? 1 对任意的实数 k 恒成立.由 ? 1 2 即可求出这两个定点的坐标. ??1 ? ?2 ? 0

【 【名校精品解析系列】数学理卷·2015 届四川省德阳市高三“二诊”考试(201503)word 版】20. (本题满分 13 分)已知椭圆 C1: C2:x2= 4y 的焦点重合,离心率 e=

y2 x2 ? =1(a>b>0)的一个焦点与抛物线 a2 b2

1 . 2

(1)求椭圆 Cl 的方程; (2)设 P 是抛物线 C2 准线上的一个动点,过 P 作抛物线的切线 PA、PB,A、B 为切 点. (i)求证:直线 AB 经过一个定点; (ii)若直线 AB 与椭圆 C1 交予 M、N 两点,椭圆的下焦点为 F ? ,求△M F ? N 面积的 最大值. 【知识点】椭圆的标准方程;直线与椭圆的位置关系 H5 H8 【答案】 【解析】 (1)

y 2 x2 + =1 ; (2) (i)见解析; (ii)3 4 3

解析: (1)抛物线的焦点 F(0,1)

1 e = , \ a = 2 ,\ b 2 = a 2 - c 2 = 3 2

\ 椭圆方程为

y 2 x2 + =1 4 3

(2) (i)抛物线的准线方程为: y = - 1 ,设 P t, - 1 , A x1, y1 , B x2 , y2 , 则有 x12 = 4 y1 , x22 = 4 y2 ,

(

) (

) (

)

1 2 1 x 得: y?= x 4 2 1 \ k PA = y?|x =x1 = x1 , 2 1 1 1 \ PA: y - y1 = x1 ( x - x1 ) ,即 y = x1 x - x12 + y1 , 2 2 2 1 将 x12 = 4 y1 代入上式得:PA: y = x1 x - y1 , 2
由y= PA 过点 P t , - 1 代入得 tx1 - 2 y1 + 2 = 0 , 同理由 PB 过点 P t , - 1 代入得 tx2 - 2 y2 + 2 = 0 ,

(

)

(

)

ziye

\ 直线 AB 的方程为 tx - 2 y + 2 = 0 ,

\ 直线 AB 过点 F(0,1)
(ii)由题意知直线 AB 的斜率存在。

ì y = kx +1 ? 2 2 设 AB: y = kx +1 ,由 í y 2 x 2 得 3k + 4 x + 6kx - 9 = 0 ? + =1 ? ? 4 3

(

)

易知 D> 0 恒成立,设 M x3 , y3 N x4 , y4 ,则:

(

) (

)

x3 ? x4 ? ? S ?

6k 9 , x3 ? x4 ? ? 2 , 2 3k ? 4 3k ? 4
2

MNF

6k ? 36 12 k 2 ? 1 1 ? FF ? ? x3 ? x4 ? x3 ? x4 ? ? ? 2 ? ? ? 2 2 3k 2 ? 4 ? 3k ? 4 ? 3k ? 4

令u ?

k 2 ? 1, u ? 1 ,\ k 2 ? u 2 ? 1
? 12 3u ?


1 u 1 令 f ? u ? ? 3u ? ? u ? 1? , u

\ S

MNF

? 3 ?? 3? 3 u ? u ? ? ?? ? 3 ?? 3 ? 3u 2 ? 1 ? f ? ?u ? ? ? ?0 u2 u2

\ 当 u ? 1 即 k ? 0 时, ? S
故 k ? 0 时, ? S
MNF max

MNF max

?

?3

?

?3

【思路点拨】 (1)利用已知条件求出基本量,进而写出标准方程; (2) (i)结合已知条件求 出直线方程的解析式,然后作出判断即可; (ii)把直线与椭圆方程联立,利用还原法转化 成S
MNF

?

12 1 3u ? u

,在利用导数求出最值即可。

【【名校精品解析系列】数学文卷·2015 届黑龙江省佳木斯一中等重点中学高三第一次模拟考

x2 y 2 1 试(201504)】20.(本小题满分 12 分)已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 的离心率为 , a b 2
椭圆的短轴端点与双曲线

y2 ? x 2 ? 1 的焦点重合,过点 P(4, 0) 且不垂直于 x 轴的直线 l 与椭圆 2

ziye

C 相交于 A, B 两点。
(1)求椭圆 C 的方程; (2)求 OA ? OB 的取值范围。 【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程.H5 H8

13 [?4, ) x2 y 2 4 【答案】 【解析】 (1) (2) ? ? 1; 4 3
解析: (1)由题意知 e ?

c 1 c2 a 2 ? b2 1 ? ,? e 2 ? 2 ? ? , a 2 a a2 4

4 a 2 ? b 2 。又双曲线的焦点坐标为 (0, ? 3), b ? 3 ,? a 2 ? 4, b 2 ? 3 , 3
? 椭圆的方程为

x2 y 2 ? ? 1。 4 3

(2)若直线 l 的倾斜角为 0 ,则 A(?2, 0), B (2, 0), OA ? OB ? ?4 , 当直线 l 的倾斜角不为 0 时,直线 l 可设为 x ? my ? 4 ,

? x ? my ? 4 ? (3m 2 ? 4) y 2 ? 24my ? 36 ? 0 ,由 ? 2 2 ?3 x ? 4 y ? 12
? ? 0 ? (24m) 2 ? 4 ? (3m 2 ? 4) ? 36 ? 0 ? m 2 ? 4
设 A(my1 ? 4, y1 ), B (my2 ? 4, y2 ) , y1 ? y2 ? ?

24m 36 , , y1 y2 ? 2 3m ? 4 3m 2 ? 4

OA ? OB ? (my1 ? 4)(my2 ? 4) ? y1 y2 ? m 2 y1 y2 ? 4my1 y2 ? 16 ? y1 y2
? 116 ?4 13 13 3m 2 ? 4 , m 2 ? 4,? OA ? OB ? (?4, ) ,综上所述:范围为 [?4, ) , 4 4
=1 得焦点 , 得 b= . 又 , a =b +c ,
2 2 2

【思路点拨】 (1) 由双曲线

联立解得即可; (2)由题意可知直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y=k(x﹣4) ,与椭圆 方程联立得到, (4k +3)x ﹣32k x+64k ﹣12=0,由△>0 得 y 2) ,利用根与系数的关系可得
2 2 2 2

.设 A(x1,y1) ,B(x2,

=x1x2+y1y2,进而得到取值范围.

【 【名校精品解析系列】 数学文卷· 2015 届重庆市巴蜀中学高三下学期第二次模拟考试 (201504) 】

ziye

21.(本小题满分 12 分) 已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )过 M (2, 2)、N ( 6,1) 两点, a 2 b2

O 为坐标原点.
(1)求椭圆的标准方程; (2)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点 A、B 且

OA ? OB ?若存在,求出该圆的方程;若不存在,说明理由.
【知识点】椭圆的标准方程;直线与椭圆的位置关系 H5 H8

x2 y 2 8 【答案】 【解析】 (1) (2)存在这样的圆,且圆的方程为 x 2 ? y 2 ? . ? ? 1; 8 4 3
解析: (1)将 M 、N 两点代入椭圆方程,解之得: a ? 8, b ? 4 ,则椭圆的标准方程为:
2 2

x2 y 2 ? ?1 8 4
(2)存在这样的圆.(理由如下: ) 设圆的半径为 r ,圆的方程为 x ? y ? r ,圆的切线与椭圆的交点为:
2 2 2

A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ?
①当圆的切线斜率 k 存在时,设切线方程为: y ? kx ? b , 则圆心到直线的距离为 d ?

b 1? k
2

? r , 即b 2 ? r 2 (1 ? k 2 )

? y ? kx ? b ? 又切线与椭圆相交于两点 A、B ,则有 ? x 2 y 2 ,消去 y 即可得: ? ? 1 ? 4 ?8

(2k 2 ? 1) x 2 ? 4kbx ? 2b 2 ? 8 ? 0 ,
4kb ? x1 ? x2 ? ? 2 ? ? 2k ? 1 由韦达定理有: ? , 2 ? x ? x ? 2b ? 8 ? 1 2 2k 2 ? 1 ?
又 OA ? OB ,则 x1 x2 ? y1 y2 ? (k 2 ? 1) x1 x2 ? kb( x1 ? x2 ) ? b 2

(2b 2 ? 8)(k 2 ? 1) 4b 2 k 2 b 2 (2k 2 ? 1) ? 2 ? 2k 2 ? 1 2k ? 1 2k 2 ? 1 3b 2 ? 8k 2 ? 8 3r 2 (k 2 ? 1) ? 8(k 2 ? 1) ? ? ?0 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1 ?

ziye

?r2 ?

8 3 8 3

② 当斜率 k 不存在时,切线方程为 x ? ? r ,由 OA ? OB 可知 r 2 ? 综上所述,存在这样的圆,且圆的方程为 x 2 ? y 2 ?

8 . 3
2 2

【思路点拨】 (1)将 M 、N 两点代入椭圆方程,解之得: a ? 8, b ? 4 ,即可得椭圆的标 准方程; (2)设圆的半径为 r ,圆的方程为 x ? y ? r ,圆的切线与椭圆的交点为:
2 2 2

A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,然后对圆的切线斜率 k 分类讨论即可。

ziye

18.解: (1)

f ?( x) ? 1 ?

2 a x 2 ? ax ? 2 ( x ? ? 0, ?? ? ) ? ? x2 x x2

? f ?(1) ? 3 ? a ? 0,? a ? ?3
(2)由(1)知, f ?( x) ?

x 2 ? 3 x ? 2 ( x ? 1)( x ? 2) ( x ? ? 0, ?? ? ) ? x2 x2

则 f ?( x) ? 0 的两根为 x1 ? 1, x2 ? 2 在 ? 0,1? 和 ? 2, ?? ? 上 f ?( x) ? 0 ;在 ?1, 2 ? 上 f ?( x) ? 0 . 所以, f ( x) 的单调增区间为 ? 0,1? 和 ? 2, ?? ? ;单调减区间为 ?1, 2 ? .

f ( x) 在 x1 ? 1 处取得极大值 f ( x)极大 ? f (1) ? ?1 ; f ( x) 在 x2 ? 2 处取得极小值 f ( x)极小 ? f (2) ? 1 ? 3ln 2 .

19.解: (1) f ( x) ? sin x ? sin( x ?

?
3

)

ziye

? 3 sin( x ? ) 6 ? 2 k? ?

?

?

2

? x?

?

6

? 2 k? ?

?
2

即2k? ?

2? ? ? x ? 2k? ? , k ? Z 3 3

2? ?? ? ? f ( x) 的单调增区间为 ? 2k? ? , 2 k? ? ? , k ? Z . 3 3? ?
(2)

0 ? B ? 2 A ? ? ,? 0 ? A ?

?
2

又 f (A ?

?
6

) ? 3 sin A ?

3 1 1 ? ,? sin A ? ? ? sin 3 3 2 6
2 2 4 2 , ,sin B ? sin 2 A ? 2sin A cos A ? 3 9

?0 ? A ?

?
6

,0 ? B ?

?
3

, cos A ?

7 23 , ? cos B ? 1 ? sin 2 B ? ,sin C ? sin( A ? B) ? 9 27
则由正弦定理知: b ? a 20.解: (1)

sin B 8 2 sin C 46 . ? ,c ? a ? sin A 3 sin A 9

PA ? 面ABCD, BC ? 面ABCD,? PA ? BC
连接 AC ,

AD ? CD, AD ? CD,? AC ? 2 ,

又 BC ?

2,AB ? 2,即AB 2 ? AC 2 ? BC 2, ? BC ? AC

? BC ? 面PAC , 又PC ? 面PAC ,? PC ? BC .
(2)由题可知 PC ?

6,BC ? 2,S EFCP ?

3 3 3 1 S PBC ? , ?VD ? EFCP ? 4 4 4
2 2

21.解: (1)将 M 、N 两点代入椭圆方程,解之得: a ? 8, b ? 4 ,则椭圆的标准方程为:

x2 y 2 ? ?1 8 4
(2)存在这样的圆.(理由如下: ) 设圆的半径为 r ,圆的方程为 x ? y ? r ,圆的切线与椭圆的交点为:
2 2 2

A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ?
①当圆的切线斜率 k 存在时,设切线方程为: y ? kx ? b ,

ziye

则圆心到直线的距离为 d ?

b 1? k
2

? r , 即b 2 ? r 2 (1 ? k 2 )

? y ? kx ? b ? 又切线与椭圆相交于两点 A、B ,则有 ? x 2 y 2 ,消去 y 即可得: ?1 ? ? 4 ?8

(2k 2 ? 1) x 2 ? 4kbx ? 2b 2 ? 8 ? 0 ,
4kb ? x1 ? x2 ? ? 2 ? ? 2k ? 1 由韦达定理有: ? , 2 2 b ? 8 ?x ? x ? 1 2 ? 2k 2 ? 1 ?
又 OA ? OB ,则 x1 x2 ? y1 y2 ? (k 2 ? 1) x1 x2 ? kb( x1 ? x2 ) ? b 2

(2b 2 ? 8)(k 2 ? 1) 4b 2 k 2 b 2 (2k 2 ? 1) ? ? 2 ? 2k 2 ? 1 2k ? 1 2k 2 ? 1 3b 2 ? 8k 2 ? 8 3r 2 (k 2 ? 1) ? 8(k 2 ? 1) ? ? ?0 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1
?r2 ? 8 3 8 3

② 当斜率 k 不存在时,切线方程为 x ? ? r ,由 OA ? OB 可知 r 2 ? 综上所述,存在这样的圆,且圆的方程为 x 2 ? y 2 ?

8 . 3

?

PA ? 面ABCD, BC ? 面ABCD

? PA ? BC
连接 AC ,

AD ? CD, AD ? CD

? AC ? 2,又BC ? 2,AB ? 2,即AB 2 ? AC 2 ? BC 2

ziye

? BC ? AC ? BC ? 面PAC , 又PC ? 面PAC ? PC ? BC
(2) PC ?

6, BC ? 2, S EFCP ?

3 3 3 1 , VD ? EFCP ? S PBC ? 4 4 4

21.解: (1)将 M 、N 两点,解之 a ? 8, b ? 4 ,则椭圆的方程为:
2 2

x2 y 2 ? ?1 8 4

(2)当圆的切线斜率 k 存在时,设切线方程为 y ? kx ? b ,圆的半径为 r ,切线与椭 圆的交点为 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则圆心到直线的距离为 d ?

b 1? k 2

? r ,即

b 2 ? r 2 (k 2 ? 1)
? y ? kx ? b ? 又切线与椭圆相交于两点,则有: ? x 2 y 2 ,消去 y 即为 ?1 ? ? 4 ?8

(2k 2 ? 1) x 2 ? 4kbx ? 2b 2 ? 8 ? 0 ,由韦达定理有:
4kb ? x1 ? x2 ? ? 2 ? ? 2k ? 1 ? 2 ? x ? x ? 2b ? 8 1 2 ? 2k 2 ? 1 ?

ziye

又 OA ? OB ,则 x1 x2 ? y1 y2 ? (k 2 ? 1) x1 x2 ? kb( x1 ? x2 ) ? b 2

?

(2b 2 ? 8)(k 2 ? 1) 4b 2 k 2 b 2 (2k 2 ? 1) ? 2 ? 2k 2 ? 1 2k ? 1 2k 2 ? 1 3b 2 ? 8k 2 ? 8 3r 2 (k 2 ? 1) ? 8(k 2 ? 1) ? ?0 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1

?
?r2 ? 8 3

当斜率 k 不存在时,切线方程为 x ? r ,由 OA ? OB ? 0 可知 r 2 ? 综上所述,存在这样的圆,且圆的方程为 x 2 ? y 2 =

8 3

8 3

【 【名校精品解析系列】数学文卷·2015 届江西省南昌市十所省重点中学高三二模突破冲刺 (一) ( 201504 ) 】 7. 已知离心率为 e 的双曲线和离心率为

2 2

的椭圆有相同的焦点

F1 , F2 , P 是两曲线的一个公共点,若 ?F1 PF2 ?

?
3

,则 e 等于(

)

A. B. C. D.3 【知识点】双曲线的简单性质;椭圆的简单性质.H5 H6 【答案】 【解析】C 解析:设椭圆的长半轴长为 a1,双曲线的实半轴长为 a2,焦距为 2c, |PF1|=m,|PF2|=n,且不妨设 m>n,由 m+n=2a1,m﹣n=2a2 得 m=a1+a2,n=a1﹣a2. 又 ,∴ ,



,即

,解得

,故选:C.

【思路点拨】利用椭圆、双曲线的定义,求出|PF1|,|PF2|,结合∠F1PF2= 理,建立方程,即可求出 e.

,利用余弦定

【 【名校精品解析系列】数学文卷·2015 届四川省德阳市高三“二诊”考试(201503)word

x2 y2 1 版】20. (本题满分 13 分)已知椭圆 2 ? 2 =1(a>b>0)的离心率为 ,右焦点与 2 a b

ziye

抛物线 y2 = 4x 的焦点 F 重合. (1)求椭圆的方程; (2)过 F 的直线 l 交椭圆于 A、B 两点,椭圆的左焦点力 F ? ,求△AF'B 的面积的最 大值. 【知识点】椭圆的标准方程;直线与椭圆的位置关系 H5 H8 【答案】 【解析】 (1)

x2 y 2 ? ? 1; (2)3 4 3

解析: (1)抛物线的焦点 F(0,1)

1 e = , \ a = 2 ,\ b 2 = a 2 - c 2 = 3 2

x2 y 2 \ 椭圆方程为 ? ? 1 4 3
(2)显然 l 的斜率不为 0,设 l:x=my+1

? x ? my ? 1 ? 2 2 由 ? x2 y 2 得 ? 3m ? 4 ? y ? 6my ? 9 ? 0 , ?1 ? ? 3 ?4
设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , D> 0 恒成立,

y1 ? y2 ? ? S ?

6m 9 , y1 ? y2 ? ? 2 , 2 3m ? 4 3m ? 4
2

AFB

6m ? 36 12 m 2 ? 1 1 ? FF ? ? y1 ? y2 ? y1 ? y2 ? ? ? 2 ? ? , ? 2 2 3m 2 ? 4 ? 3m ? 4 ? 3m ? 4

2 2 令 t ? m2 ? 1, t ? 1 ,则 m ? t ? 1

则S

1 t 1 令 u ? t ? ? 3t ? ? t ? 1? t 3t ?

AFB

?

12

? 3 ?? 3? 3 t ? t ? ? ?? ? 3 ?? 3 ? 3t 2 ? 1 ? u? ? t ? ? 2 ? ?0, t t2

\ 当 t ? 1 即 m ? 0 时, ? S

AFB max

?

?3

【思路点拨】 (1)利用已知条件求出基本量,进而写出标准方程; (2) (i)结合已知条件求 出直线方程的解析式,然后作出判断即可; (ii)把直线与椭圆方程联立,利用还原法转化

ziye

成S

AFB

?

12 1 3t ? t

,在利用导数求出最值即可。

【 【名校精品解析系列】 数学卷· 2015 届江苏省南通市高三第二次调研测试 (201504) 】 18. (本 小题满分 16 分)
2 y2 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 x 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 ) 的左顶点为 A ,右焦点为 a b

F (c , 0) . P( x0 ,y0 ) 为椭圆上一点,且 PA ? PF .

(1)若 a ? 3 , b ? 5 ,求 x0 的值; (2)若 x0 ? 0 ,求椭圆的离心率; (3)求证:以 F 为圆心, FP 为半径的圆与椭圆的右准线 x ? a 相切. c
2

【知识点】椭圆的性质;直线与椭圆的位置关系 H5 H8 【答案】 【解析】 (1) x0 ? 3 ; (2) e ? 5 ? 1 ; (3)见解析 4 2 解析: (1)因为 a ? 3 , b ? 5 ,所以 c 2 ? a 2 ? b2 ? 4 ,即 c ? 2 , 由 PA ? PF 得, 又

y0 y 2 2 ? ? x0 ? x0 ? 6 , ?? 3 分 ? 0 ? ?1 ,即 y0 x0 ? 3 x0 ? 2

2 x0 y2 2 ? 9 x0 ? 9 ? 0 ,解得 x0 ? 3 或 x0 ? ?3 (舍去) . ?? 5 分 ? 0 ? 1 ,所以 4x0 4 9 5

(2)当 x0 ? 0 时, y0 2 ? b2 , 由 PA ? PF 得,

y0 y0 ? ? ?1 ,即 b 2 ? ac ,故 a 2 ? c 2 ? ac , a ?c

?? 8 分 ?? 10 分

所以 e2 ? e ? 1 ? 0 ,解得 e ? 5 ? 1 (负值已舍) . 2

2 2 x2 y2 (3)依题意,椭圆右焦点到直线 x ? a 的距离为 a ? c ,且 02 ? 02 ? 1 ,① c c a b

ziye

由 PA ? PF 得,

y0 y 2 2 ? ? x0 ? (c ? a) x0 ? ca , ? 0 ? ?1 ,即 y0 x0 ? a x0 ? c



? a ? b 2 ? ac ? ? ? ? 0, 由①②得, ( x0 ? a) ? x0 ? c2 ? ? ? ?

解得 x0 ? ? 所以 PF ?

a ? a 2 ? ac ? c 2 ? c2
2 2 ? y0 ?

或 x0 ? ?a (舍去).

?? 13 分

? x0 ? c ?

? x0 ? c ?

2

2 ? x0 ? (c ? a) x0 ? ca ? a ? c x0 a

a ? a 2 ? ac ? c 2 ? a 2 ? ? c, ?a? c? a c c2

所以以 F 为圆心, FP 为半径的圆与右准线 x ? a 相切. ?? 16 分 c 【思路点拨】 (1)根据 a ? 3 , b ? 5 ,即 c ? 2 ,由 PA ? PF 得方程,解得 x0 ? 3 ; (2)当 4 (3) x0 ? 0 时, y0 2 ? b2 ,由 PA ? PF 得, a 2 ? c 2 ? ac ,所以 e2 ? e ? 1 ? 0 ,解得 e ? 5 ? 1 ; 2
2 2 x2 y2 依题意,椭圆右焦点到直线 x ? a 的距离为 a ? c ,且 02 ? 02 ? 1 ,由 PA ? PF 得 c c a b

2

2 2 y0 ? ? x0 ? (c ? a) x0 ? ca 联立即可。

【数学理卷·2015 届广东省广州市高三调研测试(201501)word 版】20. (本小题满分 14 分) 已 知 椭 圆 C:

x2 y 2 3 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的 离 心 率 为 , 且 经 过 点 ? 0,1? . 圆 2 a b 2

2 2 2 2 C1 : x ? y ? a ? .b

(1)求椭圆 C 的方程; (2) 若直线 l : y ? kx ? m ? k ? 0? 与椭圆 C 有且只有一个公共点 M , 且 l 与圆 C1 相交于 A, B 两点,问 AM ? BM ? 0 是否成立?请说明理由. 【知识点】椭圆的标准方程;直线与圆锥曲线的综合问题.H5 H8 【答案】 【解析】 (1)

x2 ? y 2 ? 1;(2)见解析 4

ziye

解析: (1)∵ 椭圆 C : ∴ b2 ? 1 .

x2 y 2 ? ? 1 过点 ? 0,1? , a 2 b2
?????????????1 分



c 3 2 ? , a ? b2 ? c 2 , a 2

?????????????2 分

∴ a2 ? 4 . ∴椭圆 C 的方程为

????????????3 分

x2 ? y 2 ? 1. 4
2

????????????4 分
2

(2)解法 1:由(1)知,圆 C1 的方程为 x ? y ? 5 ,其圆心为原点 O . ?????5 分 ∵直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点 M ,

? y ? kx ? m, ? ∴方程组 ? x 2 (*) 有且只有一组解. 2 ? y ? 1 ? ?4
2 2 2 由(*)得 1 ? 4k x ? 8kmx ? 4m ? 4 ? 0 . ??????????6 分

?

?

从而 ? ? ? 8km ? ? 4 1 ? 4k
2

?

2

?? 4m

2

? 4 ? ? 0 ,化简得 m2 ? 1 ? 4k 2 .① ????7 分

xM ? ?

8km 4km , ?? 2 1 ? 4k 2 2 ?1 ? 4k ?

4k 2 m m yM ? kxM ? m ? ? ?m? . ?????9 分 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2
∴ 点 M 的坐标为 ? ?

m ? ? 4km . , 2 2 ? ? 1 ? 4k 1 ? 4 k ?

???????????10 分

由于 k ? 0 ,结合①式知 m ? 0 ,

m 2 1 ∴ kOM ? k ? 1 ? 4k ? k ? ? ? ?1 . 4km 4 ? 2 1 ? 4k
∴ OM 与 AB 不垂直. ∴ 点 M 不是线段 AB 的中点.

?????????????11 分

?????????12 分 ????????13 分

ziye

∴ AM ? BM ? 0 不成立.

?????????14 分 ?????5 分

解法 2:由(1)知,圆 C1 的方程为 x 2 ? y 2 ? 5 ,其圆心为原点 O . ∵直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点 M ,

? y ? kx ? m, ? ∴方程组 ? x 2 (*) 有且只有一组解. 2 ? y ? 1 ? ?4
2 2 2 由(*)得 1 ? 4k x ? 8kmx ? 4m ? 4 ? 0 .?????????6 分

?

?

从而 ? ? ? 8km ? ? 4 1 ? 4k
2

?

2

?? 4m

2

? 4 ? ? 0 ,化简得 m2 ? 1 ? 4k 2 .① ????7 分
???????????????8 分

xM ? ?

8km 4km , ?? 2 1 ? 4k 2 2 ?1 ? 4k ?

由于 k ? 0 ,结合①式知 m ? 0 , 设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,线段 AB 的中点为 N ? xN , yN ? , 由?

? y ? kx ? m, 2 2 2 消去 y ,得 ?1 ? k ? x ? 2kmx ? m ? 5 ? 0 .?????????9 分 2 2 x ? y ? 5, ?

x1 ? x2 km ?? . ?????10 分 2 1? k 2 km 4km ?? 若 xN ? xM ,得 ? ,化简得 3 ? 0 ,矛盾. ????????11 分 2 1? k 1 ? 4k 2
∴ xN ? ∴ 点 N 与点 M 不重合. ∴ 点 M 不是线段 AB 的中点. ∴ AM ? BM ? 0 不成立. 【思路点拨】 (1)把椭圆 C : ????????12 分 ????????13 分 ??????????14 分

x2 y 2 ? ? 1 过点 ? 0,1? ,以及离心率联立解之即可; (2)把直 a 2 b2

线 l 与椭圆方程联立,根据有且只有一组解得判别式为 0,然后再表示出

xM ? ?
?

x ? x2 km 8km 4km ?? ,同理得到 xN ? 1 ,利用 xN ? xM ,得 ?? 2 2 2 1? k 2 1 ? 4k 2 ?1 ? 4k ?

km 4km ?? ,化简得 3 ? 0 ,由此矛盾可判断出原结论不成立. 2 1? k 1 ? 4k 2

【数学文卷·2015 届广东省深圳市高三年级第一次调研考试(201501) 】20、 (本小题满分

ziye

14 分) 如图 5, A, B 分别是椭圆 C:

x2 y2 F 为其右焦点, 2 是|AF| ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右顶点, a2 b2

与|FB|的等差中项, 3 是|AF|与|FB|的等比中项。 (1)求椭圆 C 的方程; (2)已知点 P 是椭圆 C 上异于 A, B 的动点, 直线 l 过点 A 且垂直于 x 轴, 若过 F 作直线 FQ 垂直于 AP,并交直线 l 于点 Q。证明:Q,P,B 三点共线。

【知识点】椭圆及其几何性质 H5

x2 y 2 ? ? 1 (2)略 【答案】 (1) 4 3
【解析】 (1)设椭圆 C 的右焦点为 F(c,0)

(a-c) ? 2a ? 4 ? ( a ? c) ? 解得 a=2,c=1,b= 3 ? AF ? a ? c , BF ? a ? c 由题意得 ? ) a-c)=a 2 ? c 2 ? 3 ?(a ? c(
? 所求椭圆方程为

x2 y 2 ? ?1 4 3

(1)由(1)知直线 l 的方程为 x=-2, 点 P 异于 A,B,所以直线 AP 的斜率存在且不为 0, 设 AP 的方程为 y=k(k+2)(k ? 0 )

? x2 y 2 ?1 16k 2 ? ? 2 2 2 2 联立 ? 4 得(3+4 k ) x +16 k x+16 k -12=0, x p ? x A ? 3 3 ? 4k 2 ?y ? k ? k ? 2? ?
? xp ?


6 ? 8k 2 12k , yp ? 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k
1 1 ,? 直线 QF 的方程为 y ? ? ( x ? 1) , K K

QF ? AP , KQF ? ?

ziye

3 1 2 k 3 1 ? ?0 ? 2 3 3 3 ? y ? ? ( x ? 1) 联立 ? 解得交点 Q (-2, ) , , k PQ ? 3 ? 4k 2 k = ? kBQ ? k ?? K k 4k 6 ? 8k ?2 ? 2 4k ? x ? ?2 ?2 ? 2 3 ? 4k
即 kBQ ? k PQ ,有公共点 Q,所以 Q,P,B 三点共线。

(a-c) ? 2a ? 4 ? ( a ? c) ? x2 y 2 ? ? 1。 【思路点拨】由题意得 ? 解得 a=2,c=1,b= 3 得 2 2 4 3 ( a ? c ( ) a-c)=a ? c ? 3 ?

3 1 2 k 3 1 ? ?0 ? 2 3 3 3 ? y ? ? ( x ? 1) k 3 ? 4k k =? 解得交点 Q ( -2 , ) , , k ? k ? ?? K ? PQ BQ 2 k 4k 6 ? 8k ?2 ? 2 4k ? x ? ?2 ?2 ? 2 3 ? 4k
即 kBQ ? k PQ ,有公共点 Q,所以 Q,P,B 三点共线。

【数学文卷·2015 届广东省广州市高三调研测试(201501)WORD 版(修改) 】20. (本小 题满分 14 分) 已 知 椭 圆 C:

x2 y 2 3 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的 离 心 率 为 , 且 经 过 点 ? 0,1? . 圆 2 a b 2

2 2 2 2 C1 : x ? y ? a ? .b

(1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 l : y ? kx ? m ? k ? 0? 与椭圆 C 有且只有一个公共点 M ,且 l 与圆 C1 相交于

A, B 两点,问 AM ? BM ? 0 是否成立?请说明理由.
【知识点】椭圆的标准方程;直线与圆锥曲线的综合问题.H5 H8 【答案】 【解析】 (1)

x2 ? y 2 ? 1;(2)见解析 4 x2 y 2 ? ? 1 过点 ? 0,1? , a 2 b2
?????????????1 分

解析: (1)∵ 椭圆 C :
2 ∴ b ? 1.



c 3 2 ? , a ? b2 ? c 2 , a 2

?????????????2 分

2 ∴a ? 4.

????????????3 分

ziye

∴椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 4

????????????4 分

(2)解法 1:由(1)知,圆 C1 的方程为 x 2 ? y 2 ? 5 ,其圆心为原点 O . ?????5 分 ∵直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点 M ,

? y ? kx ? m, ? ∴方程组 ? x 2 (*) 有且只有一组解. 2 ? y ? 1 ? ?4
2 2 2 由(*)得 1 ? 4k x ? 8kmx ? 4m ? 4 ? 0 . ??????????6 分

?

?

从而 ? ? ? 8km ? ? 4 1 ? 4k
2

?

2

?? 4m

2

? 4 ? ? 0 ,化简得 m2 ? 1 ? 4k 2 .① ????7 分


xM ? ?

8km 4km ?? 2 1 ? 4k 2 2 ?1 ? 4k ?

4k 2 m m yM ? kxM ? m ? ? ?m? . ?????9 分 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2
∴ 点 M 的坐标为 ? ?

m ? ? 4km . , 2 2 ? ? 1 ? 4k 1 ? 4 k ?

???????????10 分

由于 k ? 0 ,结合①式知 m ? 0 ,

m 2 1 ∴ kOM ? k ? 1 ? 4k ? k ? ? ? ?1 . 4km 4 ? 2 1 ? 4k
∴ OM 与 AB 不垂直. ∴ 点 M 不是线段 AB 的中点. ∴ AM ? BM ? 0 不成立.
2 2

?????????????11 分

?????????12 分 ????????13 分 ?????????14 分 ?????5 分

解法 2:由(1)知,圆 C1 的方程为 x ? y ? 5 ,其圆心为原点 O . ∵直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点 M ,

? y ? kx ? m, ? ∴方程组 ? x 2 (*) 有且只有一组解. 2 ? y ? 1 ? ?4
2 2 2 由(*)得 1 ? 4k x ? 8kmx ? 4m ? 4 ? 0 .

?

?

?????????6 分

ziye

从而 ? ? ? 8km ? ? 4 1 ? 4k
2

?

2

?? 4m

2

? 4 ? ? 0 ,化简得 m2 ? 1 ? 4k 2 .① ????7 分
???????????????8 分

xM ? ?

8km 4km , ? ? 1 ? 4k 2 2 ?1 ? 4k 2 ?

由于 k ? 0 ,结合①式知 m ? 0 , 设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,线段 AB 的中点为 N ? xN , yN ? , 由?

? y ? kx ? m, 2 2 2 消去 y ,得 ?1 ? k ? x ? 2kmx ? m ? 5 ? 0 .?????????9 分 2 2 ? x ? y ? 5,

x1 ? x2 km ?? . ?????10 分 2 1? k 2 km 4km ?? 若 xN ? xM ,得 ? ,化简得 3 ? 0 ,矛盾. ????????11 分 2 1? k 1 ? 4k 2
∴ xN ? ∴ 点 N 与点 M 不重合. ∴ 点 M 不是线段 AB 的中点. ∴ AM ? BM ? 0 不成立. 【思路点拨】 (1)把椭圆 C : ????????12 分 ????????13 分 ??????????14 分

x2 y 2 ? ? 1 过点 ? 0,1? ,以及离心率联立解之即可; (2)把直 a 2 b2

线 l 与椭圆方程联立,根据有且只有一组解得判别式为 0,然后再表示出

xM ? ?
?

x ? x2 km 8km 4km ?? ,同理得到 xN ? 1 ,利用 xN ? xM ,得 ?? 2 2 2 1? k 2 1 ? 4k 2 ?1 ? 4k ?

km 4km ?? ,化简得 3 ? 0 ,由此矛盾可判断出原结论不成立. 2 1? k 1 ? 4k 2

H6

双曲线及其几何性质

【【名校精品解析系列】数学理卷·2015 届黑龙江省佳木斯一中等重点中学高三第一次模拟考 试(201504)】4.已知双曲线的一个焦点与抛物线 x
2

? 20 y 的焦点重合,且其渐近线的方程为

3 x ? 4 y ? 0 ,则该双曲线的标准方程为(

)

ziye

A.

x2 y 2 ? ?1 9 16

B.

x2 y 2 ? ?1 16 9

C.

y 2 x2 ? ?1 9 16

D.

y 2 x2 ? ?1 16 9

【知识点】双曲线的标准方程 H6 【答案】 【解析】C 解析:∵抛物线 x2=20y 中,2p=20, =5,

∴抛物线的焦点为 F(0,5) ,设双曲线的方程为 ∵双曲线的一个焦点为 F(0,5) ,且渐近线的方程为 3x±4y=0 即







,解得

(舍负) ,可得该双曲线的标准方程为



故选:C 【思路点拨】根据抛物线方程,算出其焦点为 F(0,5).由此设双曲线的 ,根

据基本量的平方关系与渐近线方程的公式,建立关于 a、b 的方程组解出 a、b 的值,即可得 到该双曲线的标准方程.

【 【名校精品解析系列】数学理卷· 2015 届重庆市巴蜀中学高三下学期第二次模拟考试 (201504) 】 4. 若双曲线 t y ? x ? t (t ? 0) 经过点 ( (2,2) ,则该双曲线的离心率为
2 2 2 2



A. 2

B.

3

C.

2

D.

5

【知识点】双曲线的几何性质 H6 【答案】 【解析】D 解析:因为双曲线 t y ? x ? t (t ? 0) 经过点 (2,2) ,所以有
2 2 2 2

t2

? 2?

2

2 2 解得 t ? 4 , 所以双曲线方程为 y ? ? 22 ? t 2 ,

x2 ? 1, 则 a2 ? 1 , b2 ?4 , c2 ? 5 , 4

则e ?

c ? 5 ,故选 D. a

2 2 2 【思路点拨】 根据题意把 进而求出 a ? 1, b ? 4, c ? 5 , (2,2) 代入表达式可解得 t 2 ? 4 ,

最后得到离心率即可。

【 【名校精品解析系列】数学理卷·2015 届江西省南昌市十所省重点中学高三二模突破冲刺

ziye

(一) ( 201504 ) 】 7. 已知离心率为 e 的双曲线和离心率为

2 2

的椭圆有相同的焦点

F1 , F2 , P 是两曲线的一个公共点,若 ?F1 PF2 ?

?
3

,则 e 等于(

)

A. B. C. D.3 【知识点】双曲线的简单性质;椭圆的简单性质.H5 H6 【答案】 【解析】C 解析:设椭圆的长半轴长为 a1,双曲线的实半轴长为 a2,焦距为 2c, |PF1|=m,|PF2|=n,且不妨设 m>n,由 m+n=2a1,m﹣n=2a2 得 m=a1+a2,n=a1﹣a2. 又 ,∴ ,



,即

,解得

,故选:C.

【思路点拨】利用椭圆、双曲线的定义,求出|PF1|,|PF2|,结合∠F1PF2= 理,建立方程,即可求出 e.

,利用余弦定

【【名校精品解析系列】数学理卷·2015 届山西省康杰中学等四校高三第三次联考(201503)】

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点 F1 作曲线 C2 : x2 ? y 2 ? a2 的切线,设切 a 2 b2 2 点为 M,延长 F1M 交曲线 C3 : y ? 2 px( p ? 0) 于点 N,其中 C1、C3 有一个共同的焦点,
12. 过曲线 C1 : 若

MF1 ? MN ,则曲线 C1 的离心率为
B. 5 ? 1 C. 5 ? 1 D.

A. 5

5 ?1 2

【知识点】双曲线的简单性质.H6 【答案】 【解析】D 解析:设双曲线的右焦点为 F2,则 F2 的坐标为(c,0) 2 因为曲线 C1 与 C3 有一个共同的焦点, 所以 y =4cx , 因为 O 为 F1F2 的中点, M 为 F1N 的中点, 所以 OM 为△NF1F2 的中位线,所以 OM∥PF2,因为|OM|=a,所以|NF2|=2a 又 NF2⊥NF1, |FF2|=2c 所以|NF1|=2b 设 N (x, y) , 则由抛物线的定义可得 x+c=2a, ∴x=2a-c , 2 2 2 过点 F 作 x 轴的垂线,点 N 到该垂线的距离为 2a ,由勾股定理 y +4a =4b ,即 4c(2a-c) +4a =4(c -a ),得 e -e-1=0,∴e= 故选:D 【思路点拨】双曲线的右焦点的坐标为(c,0) ,利用 O 为 F1F2 的中点,M 为 F1N 的中点,可 得 OM 为△NF1F2 的中位线,从而可求|NF1|,再设 N(x,y) 过点 F 作 x 轴的垂线,由勾股 定理得出关于 a,c 的关系式,最后即可求得离心率.
2 2 2 2

5 ?1 . 2

ziye

【 【名校精品解析系列】数学理卷·2015 届四川省德阳市高三“二诊”考试(201503)word 版】11.双曲线

x2 y2 ? ? 1 的焦点到渐近线的距离为 4 3



【知识点】双曲线的简单性质.H6 【答案】 【解析】 3 ∴c= 解析:∵双曲线

x2 y2 ? ? 1 中,a=2,b= 3 , 4 3

= 7 ,可得双曲线的焦点坐标为(± 7 ,0) .

双曲线

x2 y2 ? ? 1 的渐近线方程为 y ? ? 3 x ,化简得 3x ? 2 y ? 0 , 2 4 3

∴根据双曲线的对称性,以右焦点与渐近线 3x ? 2 y ? 0 为例,
3? 7 ?0 7

算出焦点到渐近线的距离 d ?

? 3 ,因此可得双曲线的焦点到渐近线的距离为

3 ,故答案为: 3 。

【思路点拨】根据双曲线的标准方程与基本概念,算出它的焦点坐标与渐近线方程,再利用 点到直线的距离公式,即可算出焦点到渐近线的距离.

【【名校精品解析系列】数学文卷·2015 届黑龙江省佳木斯一中等重点中学高三第一次模拟考 试(201504)】4.已知双曲线的一个焦点与抛物线 x
2

? 20 y 的焦点重合,且其渐近线的方程为

3 x ? 4 y ? 0 ,则该双曲线的标准方程为(

)

x y A. ? ?1 9 16

2

2

x2 y 2 ? ?1 B. 16 9

y 2 x2 ? ?1 C. 9 16

y 2 x2 D. ? ?1 16 9

【知识点】双曲线的标准方程 H6 【答案】 【解析】C 解析:∵抛物线 x2=20y 中,2p=20, =5,

∴抛物线的焦点为 F(0,5) ,设双曲线的方程为 ∵双曲线的一个焦点为 F(0,5) ,且渐近线的方程为 3x±4y=0 即





ziye



,解得

(舍负) ,可得该双曲线的标准方程为



故选:C 【思路点拨】根据抛物线方程,算出其焦点为 F(0,5).由此设双曲线的 ,根

据基本量的平方关系与渐近线方程的公式,建立关于 a、b 的方程组解出 a、b 的值,即可得 到该双曲线的标准方程.

【 【名校精品解析系列】 数学文卷· 2015 届重庆市巴蜀中学高三下学期第二次模拟考试 (201504) 】 8.已知双曲线

x2 y2 右焦点为 F , 过 F 作一条渐近线的垂线, 垂足为 M , ? ? 1 ?a ? 0, b ? 0 ? , a2 b2
3 2 , 则该双曲线离心率可能为 ( c (其中 c 为半焦距) 8
C、 3 D、 2 3


O 为坐标原点, 若 ?OMF 面积为

A、 3

B、

2 3 3

【知识点】双曲线的性质 H6 【答案】 【解析】B 解析:不妨设双曲线的一条渐近线为 y =

b x ,所以过 F 的一条渐近 a

线的垂线为 y = -

a ab 1 ab x - c) , 则交点的纵坐标 y = , 所以 ?OMF 面积为 c ? ( b c 2 c

3 2 c , 8

c2 4b 4 3 2 3 2 2 2 即 ab = = , c = a + b ,解得 a = 3b ,所以 e = 2 = 4 4 a 3a 3

(

)

又由 e > 1 ,所以 e =

2 3 ,故选 B. 3
b x ,所以过 F 的一条渐近线的垂线为 a

【思路点拨】妨设双曲线的一条渐近线为 y =

y =-

a ( x - c) ,则可求交点的纵坐标,然后得到 ?OMF 面积的表达式以及 a、b 的关系, b

进而求出离心率。

【 【名校精品解析系列】数学文卷·2015 届江西省南昌市十所省重点中学高三二模突破冲刺

ziye

(一) ( 201504 ) 】 7. 已知离心率为 e 的双曲线和离心率为

2 2

的椭圆有相同的焦点

F1 , F2 , P 是两曲线的一个公共点,若 ?F1 PF2 ?

?
3

,则 e 等于(

)

A. B. C. D.3 【知识点】双曲线的简单性质;椭圆的简单性质.H5 H6 【答案】 【解析】C 解析:设椭圆的长半轴长为 a1,双曲线的实半轴长为 a2,焦距为 2c, |PF1|=m,|PF2|=n,且不妨设 m>n,由 m+n=2a1,m﹣n=2a2 得 m=a1+a2,n=a1﹣a2. 又 ,∴ ,



,即

,解得

,故选:C.

【思路点拨】利用椭圆、双曲线的定义,求出|PF1|,|PF2|,结合∠F1PF2= 理,建立方程,即可求出 e.

,利用余弦定

【 【名校精品解析系列】数学文卷·2015 届四川省德阳市高三“二诊”考试(201503)word 版】11.双曲线

x2 y2 ? ? 1 的焦点到渐近线的距离为 4 3



【知识点】双曲线的简单性质.H6 【答案】 【解析】 3 ∴c= 解析:∵双曲线

x2 y2 ? ? 1 中,a=2,b= 3 , 4 3

= 7 ,可得双曲线的焦点坐标为(± 7 ,0) .

x2 y2 ? ? 1 的渐近线方程为 y ? ? 3 x ,化简得 3x ? 2 y ? 0 , 双曲线 2 4 3
∴根据双曲线的对称性,以右焦点与渐近线 3x ? 2 y ? 0 为例,
3? 7 ?0 7

算出焦点到渐近线的距离 d ?

? 3 ,因此可得双曲线的焦点到渐近线的距离为

3 ,故答案为: 3 。

【思路点拨】根据双曲线的标准方程与基本概念,算出它的焦点坐标与渐近线方程,再利用 点到直线的距离公式,即可算出焦点到渐近线的距离.

ziye

【数学理卷· 2015 届广东省广州市高三调研测试( 201501 ) word 版】 7. 已知双曲线

C:

x2 ? y 2 ? 1 的左, 右焦点分别为 F1 , 过点 F2 的直线与双曲线 C 的右支相交于 P , F2 , 3 Q 两点,且点 P 的横坐标为 2 ,则△ PF1Q 的周长为
A.

16 3 3

B. 5 3

C.

14 3 3

D. 4 3

【知识点】双曲线的简单性质.H6 【答案】 【解析】A 解析:双曲线 C :

x2 ? y 2 ? 1 的 a ? 3 , b ? 1 , c ? a2 ? b2 ? 2 , 3
2 轴, 令 x ? 2 则有 y ?

则F 由于点 P 的横坐标为 2, 则P Q ? x 1 ? ?2,0? F 2 ? 2,0 ? , 即y??

4 1 ?1 ? , 3 3

3 3 7 3 .即 PF2 ? , PF1 ? . 3 3 3 7 3 7 3 2 3 16 3 . ? ? ? 3 3 3 3

则三角形 PF1Q 的周长为 PF1 ? QF1 ? PQ ? 故选:A.

【思路点拨】 求出双曲线的 a, b, c , 求得焦点, 判断三角形 PF1Q 为等腰三角形, PQ ? x 轴, 令 x ? 2 ,求得 PQ ,再由勾股定理,求得 PF1 ,即可求得周长.

【数学文卷·2015 届广东省深圳市高三年级第一次调研考试(201501) 】8 已知 F1 , F2 分别 是双曲线 C :

x2 y 2 ? ?1 ( a, b ? 0 ) 的左、 右焦点, 点 P 在 C 上, 若 PF 且 PF 1 ? F 1 F2 , 1 ? F 1 F2 , a 2 b2
) B。

则 C 的离心率是( A. 2 ? 1

5 ?1 2

C。 2 ? 1

D。 5 ? 1

【知识点】双曲线及其几何性质 H6 【答案】C 【解析】由 PF 1 ? F 1 F2 , PF 1 ? F 1 F2 ,则 P F2 = 2 2c ,又 PF 2 ? PF 1 ? 2a ,

PF2 ? 2a ? 2c , 2a ? 2c = 2 2c ,则 e= 2 ? 1 .

ziye

【思路点拨】根据勾股定理和双曲线的定义找出关系求出 e.

【数学文卷·2015 届广东省广州市高三调研测试(201501)WORD 版(修改) 】9. 已知双

x2 ? y 2 ? 1 的左,右焦点分别为 F1 , F2 ,过点 F2 的直线与双曲线 C 的右支相 3 交于 P , Q 两点,且点 P 的横坐标为 2 ,则△ PF1Q 的周长为
曲线 C : A.

16 3 3

B. 5 3

C.

14 3 3

D. 4 3

【知识点】双曲线的简单性质.H6 解析:双曲线 C :

【答案】 【解析】A

x2 ? y 2 ? 1 的 a ? 3 , b ? 1 , c ? a2 ? b2 ? 2 , 3
2 轴, 令 x ? 2 则有 y ?

则F 由于点 P 的横坐标为 2, 则P Q ? x 1 ? ?2,0? F 2 ? 2,0 ? , 即y??

4 1 ?1 ? , 3 3

3 3 7 3 .即 PF2 ? , PF1 ? . 3 3 3 7 3 7 3 2 3 16 3 . ? ? ? 3 3 3 3

则三角形 PF1Q 的周长为 PF1 ? QF1 ? PQ ? 故选:A.

【思路点拨】 求出双曲线的 a, b, c , 求得焦点, 判断三角形 PF1Q 为等腰三角形, PQ ? x 轴, 令 x ? 2 ,求得 PQ ,再由勾股定理,求得 PF1 ,即可求得周长.

H7

抛物线及其几何性质

【 【名校精品解析系列】 数学 (文) 卷· 2015 届湖北省黄冈中学等八校高三第二次模拟考试 (201504) WORD 版】 14 .已知抛物线

y 2 ? 4x 的焦点为 F ,准线为直线 l ,过抛物线上一点 P 作


PE ? l 于 E ,若直线 EF 的倾斜角为 150o ,则 | PF |?
【知识点】抛物线的简单性质.H7 【答案】 【解析】

4 3

解析:令 2 =

x

1 1 1 或 log2 x = 或 log 2 x = - . 2 2 2

ziye

P 点只能在抛物线上半部分, 设 P 点为 ( x, 2 x ) ,EG = PH = 2 x ,FG = 2 3x = 2 ,
解得 x =

1 4 1 4 , PF ? ? 1 ? .故答案为 。 3 3 3 3

【思路点拨】利用抛物线的定义即可得出结论.

【 【名校精品解析系列】数学理卷·2015 届江西省南昌市十所省重点中学高三二模突破冲刺 (一) (201504) 】20.(本小题满分 12 分)已知点 E(m,0)为抛物线 y ? 4x 内的一个定点,
2

过 E 作斜率分别为 k1、k2 的两条直线交抛物线于点 A、B、C、D,且 M、N 分别是 AB、CD 的 中点 (1)若 m = 1,k1k2 = -1,求三角形 EMN 面积的最小值; (2) 若 k1 + k2 = 1,求证:直线 MN 过定点.

【知识点】抛物线的简单性质.H7 【答案】 【解析】(1) k1 ? ?1 时,△EMN 的面积取最小值 4; (2) 见解析 解析: (Ⅰ)当 m ? 1 时,E 为抛物线 y ? 4 x 的焦点,
2

∵ k1k2 ? ?1 ,∴AB⊥CD 设 AB 方程为 y ? k1 ( x ? 1) , A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 )

ziye

4 ? y ? k1 ( x ? 1) 由? ,得 k1 y 2 ? 4 y ? 4k1 ? 0 , y1 ? y2 ? , y1 y2 ? ?4 2 k1 ? y ? 4x
AB 中点 M (

x1 ? x2 y1 ? y2 2 2 , ) ,∴ M ( 2 ? 1, ) , 2 2 k1 k1

同理,点 N (2k12 ? 1, ?2k1 ) ??2 分 ∴S
1 1 2 2 1 ? | EM | ? | EN |? ( 2 ) 2 ? ( ) 2 ? (2k12 ) 2 ? (?2k1 ) 2 ? 2 k12 ? 2 ? 2 ??4 分 2 2 k1 k1 k1

?EMN

? 2 2?2 ? 4
当且仅当 k12 ?

1 ,即 k1 ? ?1 时,△EMN 的面积取最小值 4. k12

?6 分

(Ⅱ)证明:设 AB 方程为 y ? k1 ( x ? m) , A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) 由?

? y ? k1 ( x ? m) ? y ? 4x
2

,得 k1 y 2 ? 4 y ? 4k1m ? 0 , y1 ? y2 ?

4 , y1 y2 ? ?4m k1

AB 中点 M (

x1 ? x2 y1 ? y2 2 2 , ) ,∴ M ( 2 ? m, ) , 2 2 k1 k1

同理,点 N (

2 2 ? m, ) ??8 分 2 k2 k2
?10 分

∴ k MN ?

yM ? y N kk ? 1 2 ? k1k2 xM ? xN k1 ? k2

∴MN: y ?

2 2 ? k1k2 [ x ? ( 2 ? m)] ,即 y ? k1k2 ( x ? m) ? 2 k1 k1
?12 分 <0,利用点斜式方程

∴直线 MN 恒过定点 (m, 2) .

【思路点拨】 (1)不妨设 AB 的斜率 k1=k>0,求出 CD 的斜率 k2=

求出直线 AB、CD 的方程,与抛物线方程联立消 x 得关于 y 的一元二次方程,根据韦达定理 即可求得中点 M、N 的坐标,利用点斜式方程求出直线 MN 的方程,再求出直线 MN 与 x 轴的 交点坐标,可得△EMN 的面积,利用基本不等式求△MCD 面积的最小值; (2)不妨设 AB 的斜率 k1=k,求出 CD 的斜率 k2=1﹣m,利用点斜式方程求出直线 AB、CD 的 方程,与抛物线方程联立消 x 得关于 y 的一元二次方程,根据韦达定理即可求得中点 M、N 的坐标,利用点斜式方程求出直线 MN 的方程,化简后求出直线过的定点坐标.

ziye

【 【名校精品解析系列】数学文卷·2015 届江西省南昌市十所省重点中学高三二模突破冲刺 (一) (201504) 】20.(本小题满分 12 分)已知点 E(m,0)为抛物线 y ? 4x 内的一个定点,
2

过 E 作斜率分别为 k1、k2 的两条直线交抛物线于点 A、B、C、D,且 M、N 分别是 AB、CD 的中点 (1)若 m = 1,k1k2 = -1,求三角形 EMN 面积的最小值; (2)若 k1 + k2 = 1,求证:直线 MN 过定点.

【知识点】抛物线的简单性质.H7 【答案】 【解析】(1) k1 ? ?1 时,△EMN 的面积取最小值 4; (2) 见解析 解析: (Ⅰ)当 m ? 1 时,E 为抛物线 y ? 4 x 的焦点,
2

∵ k1k2 ? ?1 ,∴AB⊥CD 设 AB 方程为 y ? k1 ( x ? 1) , A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 )

4 ? y ? k1 ( x ? 1) 由? ,得 k1 y 2 ? 4 y ? 4k1 ? 0 , y1 ? y2 ? , y1 y2 ? ?4 2 k1 ? y ? 4x
AB 中点 M (

x1 ? x2 y1 ? y2 2 2 , ) ,∴ M ( 2 ? 1, ) , 2 2 k1 k1

同理,点 N (2k12 ? 1, ?2k1 ) ??2 分 ∴ S?EMN ? 1 | EM | ? | EN |? 1 ( 2 ) 2 ? ( 2 ) 2 ? (2k12 ) 2 ? (?2k1 ) 2 ? 2 k12 ? 1 ? 2 ??4 分 2 2
2 2 k1 k1 k1

? 2 2?2 ? 4
当且仅当 k12 ?

1 ,即 k1 ? ?1 时,△EMN 的面积取最小值 4. k12

?6 分

(Ⅱ)证明:设 AB 方程为 y ? k1 ( x ? m) , A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 )

ziye

由?

? y ? k1 ( x ? m) ? y ? 4x
2

,得 k1 y 2 ? 4 y ? 4k1m ? 0 , y1 ? y2 ?

4 , y1 y2 ? ?4m k1

AB 中点 M (

x1 ? x2 y1 ? y2 2 2 , ) ,∴ M ( 2 ? m, ) , 2 2 k1 k1

同理,点 N (

2 2 ? m, ) ??8 分 2 k2 k2
?10 分

∴ k MN ?

yM ? y N kk ? 1 2 ? k1k2 xM ? xN k1 ? k2

∴MN: y ?

2 2 ? k1k2 [ x ? ( 2 ? m)] ,即 y ? k1k2 ( x ? m) ? 2 k1 k1
?12 分 <0,利用点斜式方程

∴直线 MN 恒过定点 (m, 2) .

【思路点拨】 (1)不妨设 AB 的斜率 k1=k>0,求出 CD 的斜率 k2=

求出直线 AB、CD 的方程,与抛物线方程联立消 x 得关于 y 的一元二次方程,根据韦达定理 即可求得中点 M、N 的坐标,利用点斜式方程求出直线 MN 的方程,再求出直线 MN 与 x 轴的 交点坐标,可得△EMN 的面积,利用基本不等式求△MCD 面积的最小值; (2)不妨设 AB 的斜率 k1=k,求出 CD 的斜率 k2=1﹣m,利用点斜式方程求出直线 AB、CD 的 方程,与抛物线方程联立消 x 得关于 y 的一元二次方程,根据韦达定理即可求得中点 M、N 的坐标,利用点斜式方程求出直线 MN 的方程,化简后求出直线过的定点坐标.

【 【名校精品解析系列】 数学卷· 2015 届江苏省南通市高三第二次调研测试 (201504) 】 22. (本 小题满分 10 分)

如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(8 ,? 4) , P (2 ,t ) (t ? 0) 在抛物线

y 2 ? 2 px ( p ? 0) 上.
(1)求 p , t 的值; (2)过点 P 作 PM 垂直于 x 轴, M 为垂足,直线 AM 与抛物线的另一交点为 B ,点 C 在直线 AM 上.若 PA , PB , PC 的斜率分别为 k1 , k 2 , k 3 ,且 k1 ? k2 ? 2k3 ,求点 C 的坐 标.

ziye

【知识点】抛物线的性质;直线与抛物线的位置关系 H7 H8 【答案】 【解析】 (1) t ? ? 2 ;2) ?2 ,8 3

?

?

解析: (1)将点 A(8 ,? 4) 代入 y 2 ? 2 px , 得 p ?1, ?? 2 分

将点 P (2 ,t ) 代入 y 2 ? 2 x ,得 t ? ? 2 , 因为 t ? 0 ,所以 t ? ? 2 . ?? 4 分
0) , (2)依题意, M 的坐标为 (2 ,

直线 AM 的方程为 y ? ? 2 x ? 4 , 3 3
?y ? ? 2 x ? 4 , ? 3 3 并解得 B 1 , 联立 ? 1 , ?? 6 分 2 2 ? ? y ? 2x

? ?

所以 k1 ? ? 1 , k2 ? ?2 , 3 代入 k1 ? k2 ? 2k3 得, k3 ? ? 7 , ?? 8 分 6 从而直线 PC 的方程为 y ? ? 7 x ? 1 , 6 3
?y ? ? 2 x ? 4 , ? 3 3 联立 ? 并解得 C ?2 ,8 .?? 10 分 3 ?y ? ? 7 x ? 1 6 3 ?

?

?

【思路点拨】 (1)先点 A(8 ,? 4) 代入 y 2 ? 2 px ,得 p ? 1 ,再点 P (2 ,t ) 代入 y 2 ? 2 x 可得结 果; (2)把直线与抛物线联立并解得 B 1 , 1 ,可得直线 PC 的方程,然后解方程组即可。 2

? ?

ziye

H8

直线与圆锥曲线(AB 课时作业)

【 【名校精品解析系列】数学理卷· 2015 届重庆市巴蜀中学高三下学期第二次模拟考试 (201504) 】21.已知椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0) 的右顶点、上顶点分别为 A、B, 坐标 a 2 b2

原点到直线 AB 的距离为 (1)求椭圆 C 的方程;

4 3 且 a ? 2b. , 3

(2)过椭圆 C 的左焦点 F1 的直线 l 交椭圆于 M 、N 两点,且该椭圆上存在点 P ,使得四边 形 MONP ( 图形上的字母按此顺序排列)恰好为平行四边形,求直线 l 的方程.

【知识点】椭圆的标准方程;直线与椭圆的位置关系 H5 H8

x2 y2 ? ? 1 (2) x ? ? 2 y ? 2 2. 【答案】 【解析】 (1) 16 8
解析: (1)直线 AB 的方程为 bx ? ay ? ab ? 0, 坐标原点到直线 AB 的距离为

4 3 ab a 2b 2 16 = ? 2 ? , 又 a ? 2b, 解 得 a ? 4, b ? 2 2, 故 椭 圆 的 方 程 为 2 2 2 3 a ?b 3 a ?b

x2 y2 ? ?1 16 8
(2) 由( 1 )可求得椭圆的左焦点为 F1 ( ?2 2,0), 易知直线 l 的斜率不为 0, 故可设直线

l : x ? my ? 2 2, 点 M ( x1 , y1 )、N ( x2 , y2 ), 因 为 四 边 形 MONP 为 平 行 四 边 形 , 所 以

ziye

OP ? OM ? ON ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ? P ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ),
联立 ?

? ? x ? my ? 2 2 ? ? x ? 2 y ? 16 ? 0
2 2

? ( m 2 ? 2) y 2 ? 4 2my ? 8 ? 0 ?

?? ? 64( m 2 ? 1) ? 0 ? ?8 2 ? x1 ? x2 ? 2 ? 4 2m ? ? m ?2 ,因为点 P ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) 在椭圆上, ?? ? y1 ? y2 ? 2 m ? 2 4 2 m ? ?y ? y ? 1 2 ? x1 ? x2 ? m( y1 ? y2 ) ? 4 2 ? m2 ? 2 ? ?
所以 ( x1 ? x2 ) 2 ? 2( y1 ? y2 ) 2 ? 16 ? (

?8 2 2 4 2 2 ) ? 2( 2 ) ? 16 ? 2 m ?2 m ?2

m ? ? 2, 那么直线 l 的方程为 x ? ? 2 y ? 2 2.
【思路点拨】 (1)利用点到直线的距离公式求出

a 2b 2 16 ? , 结合 a ? 2b, 可得椭圆的标 2 2 a ?b 3

准方程; (2)由(1)可求得椭圆的左焦点为 F1 ( ?2 2,0), 易知直线 l 的斜率不为 0,故可设 直线 l : x ? my ? 2 2, 点 M ( x1 , y1 )、N ( x2 , y2 ), 再结合根与系数的关系即可。

【【名校精品解析系列】数学理卷·2015 届山西省康杰中学等四校高三第三次联考(201503)】 20. (本小题满分 12 分)

椭圆 C :

x2 y 2 4 b ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的上顶点为 A, P( , ) 是 C 上的一点,以 AP 为直径的圆经 2 3 3 a b

过椭圆 C 的右焦点 F . (1)求椭圆 C 的方程; (2)动直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点,问:在 x 轴上是否存在两个定点,它们到 直线 l 的距离之积等于 1?如果存在,求出这两个定点的坐标;如果不存在,说明理由. 【知识点】直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程.H5 H8 【答案】 【解析】 (1) 距离之积等于 1. 解析: (1) F (c,0), A(0, b) ,由题设可知 FA ? FP ? 0 ,得

x2 ? y 2 ? 1 (2)存在两个定点 M1 (1,0), M 2 (?1,0) ,使它们到直线 l 的 2

4 b2 c2 ? c ? ? 0 3 3

① ???1 分

ziye

又点 P 在椭圆 C 上,?

16 b2 ? ? 1, ? a2 ? 2 9a2 9b2

② ③ ???3 分 ???4 分 ???5 分

b2 ? c 2 ? a 2 ? 2

①③联立解得, c ? 1, b2 ? 1 故所求椭圆的方程为

x2 ? y2 ? 1 2

(2)当直线 l 的斜率存在时,设其方程为 y ? kx ? m ,代入椭圆方程,消去 y, 整理得 (2k 2 ? 1) x2 ? 4kmx ? 2m2 ? 2 ? 0 (﹡)

方程(﹡)有且只有一个实根,又 2k 2 ? 1 ? 0 , 所以 ? ? 0, 得 m2 ? 2k 2 ? 1 假设存在 M1 (?1 ,0), M 2 (?2 ,0) 满足题设,则由
d1 ? d 2 ? ? (?1k ? m)(?2 k ? m) k2 ?1 ?

???8 分

?1?2 k 2 ? (?1 ? ?2 )km ? 2k 2 ? 1
k2 ?1

(?1?2 ? 2)k 2 ? (?1 ? ?2 )km ? 1 ? 1 对任意的实数 k 恒成立, k2 ?1 ?? ? 1 ?? ? ?1 解得, ? 1 或? 1 ??2 ? ?1 ??2 ? 1

?? ? ? 2 ? 1 所以, ? 1 2 ??1 ? ?2 ? 0

当直线 l 的斜率不存在时,经检验符合题意. 总上,存在两个定点 M1 (1,0), M 2 (?1,0) ,使它们到直线 l 的距离之积等于 1.?12 分

4 b2 【思路点拨】 (1) 由题设可得 c2 ? c ? ? 0 ① , 又点 P 在椭圆 C 上, 可得 3 3
又 b +c =a =2③ ,① ③ 联立解得 c,b ,即可得解. (2)设动直线 l 的方程为 y=kx+m,代入椭圆方程消去 y,整理得
2 2 2 2

?a =2② ,

2

(2k 2 ? 1) x2 ? 4kmx ? 2m2 ? 2 ? 0(﹡) , 由 ? ? 0, 得 m2 ? 2k 2 ? 1 , 假设存在 M1 (?1 ,0), M 2 (?2 ,0)
满足题设,则由
d1 ? d 2 ? (?1k ? m)(?2 k ? m) k2 ?1 ?

?1?2 k 2 ? (?1 ? ?2 )km ? 2k 2 ? 1
k2 ?1

?

(?1?2 ? 2)k 2 ? (?1 ? ?2 )km ? 1 ?1 k2 ?1

?? ? ? 2 ? 1 对任意的实数 k 恒成立.由 ? 1 2 即可求出这两个定点的坐标. ??1 ? ?2 ? 0

【 【名校精品解析系列】数学理卷·2015 届四川省德阳市高三“二诊”考试(201503)word

ziye

版】20. (本题满分 13 分)已知椭圆 C1: C2:x2= 4y 的焦点重合,离心率 e=

y2 x2 ? =1(a>b>0)的一个焦点与抛物线 a2 b2

1 . 2

(1)求椭圆 Cl 的方程; (2)设 P 是抛物线 C2 准线上的一个动点,过 P 作抛物线的切线 PA、PB,A、B 为切 点. (i)求证:直线 AB 经过一个定点; (ii)若直线 AB 与椭圆 C1 交予 M、N 两点,椭圆的下焦点为 F ? ,求△M F ? N 面积的 最大值. 【知识点】椭圆的标准方程;直线与椭圆的位置关系 H5 H8 【答案】 【解析】 (1)

y 2 x2 + =1 ; (2) (i)见解析; (ii)3 4 3

解析: (1)抛物线的焦点 F(0,1)

1 e = , \ a = 2 ,\ b 2 = a 2 - c 2 = 3 2

\ 椭圆方程为

y 2 x2 + =1 4 3

(2) (i)抛物线的准线方程为: y = - 1 ,设 P t, - 1 , A x1, y1 , B x2 , y2 , 则有 x12 = 4 y1 , x22 = 4 y2 ,

(

) (

) (

)

1 2 1 x 得: y?= x 4 2 1 \ k PA = y?|x =x1 = x1 , 2 1 1 1 \ PA: y - y1 = x1 ( x - x1 ) ,即 y = x1 x - x12 + y1 , 2 2 2 1 将 x12 = 4 y1 代入上式得:PA: y = x1 x - y1 , 2
由y= PA 过点 P t , - 1 代入得 tx1 - 2 y1 + 2 = 0 , 同理由 PB 过点 P t , - 1 代入得 tx2 - 2 y2 + 2 = 0 ,

(

)

(

)

\ 直线 AB 的方程为 tx - 2 y + 2 = 0 ,

\ 直线 AB 过点 F(0,1)
(ii)由题意知直线 AB 的斜率存在。

ziye

ì y = kx +1 ? 2 2 设 AB: y = kx +1 ,由 í y 2 x 2 得 3k + 4 x + 6kx - 9 = 0 ? + =1 ? ? 4 3

(

)

易知 D> 0 恒成立,设 M x3 , y3 N x4 , y4 ,则:

(

) (

)

x3 ? x4 ? ? S

6k 9 , x3 ? x4 ? ? 2 , 2 3k ? 4 3k ? 4
2

MNF

6k ? 36 12 k 2 ? 1 1 ? ? FF ? ? x3 ? x4 ? x3 ? x4 ? ? ? 2 ? ? ? 2 2 3k 2 ? 4 ? 3k ? 4 ? 3k ? 4

令u ?

k 2 ? 1, u ? 1 ,\ k 2 ? u 2 ? 1
? 12


1 3u ? u 1 令 f ? u ? ? 3u ? ? u ? 1? , u

\ S

MNF

? 3 ?? 3? 3 u ? u ? ? ?? ? 3 ?? 3 ? 3u 2 ? 1 ? f ? ?u ? ? ? ?0 u2 u2

\ 当 u ? 1 即 k ? 0 时, ? S
故 k ? 0 时, ? S
MNF max

MNF max

?

?3

?

?3

【思路点拨】 (1)利用已知条件求出基本量,进而写出标准方程; (2) (i)结合已知条件求 出直线方程的解析式,然后作出判断即可; (ii)把直线与椭圆方程联立,利用还原法转化 成S
MNF

?

12 1 3u ? u

,在利用导数求出最值即可。

【【名校精品解析系列】数学文卷·2015 届黑龙江省佳木斯一中等重点中学高三第一次模拟考 试(201504)】20.(本小题满分 12 分)已知椭圆 C :

x2 y 2 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 , 2 a b 2

y2 ? x 2 ? 1 的焦点重合,过点 P(4, 0) 且不垂直于 x 轴的直线 l 与椭圆 椭圆的短轴端点与双曲线 2

C 相交于 A, B 两点。
(1)求椭圆 C 的方程;

ziye

(2)求 OA ? OB 的取值范围。 【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程.H5 H8 【答案】 【解析】 (1)

x2 y 2 13 (2) [?4, ) ? ? 1; 4 3 4 c 1 c2 a 2 ? b2 1 ? ,? e 2 ? 2 ? ? , a 2 a a2 4

解析: (1)由题意知 e ?

4 a 2 ? b 2 。又双曲线的焦点坐标为 (0, ? 3), b ? 3 ,? a 2 ? 4, b 2 ? 3 , 3

x2 y 2 ? 1。 ? 椭圆的方程为 ? 4 3
(2)若直线 l 的倾斜角为 0 ,则 A(?2, 0), B (2, 0), OA ? OB ? ?4 , 当直线 l 的倾斜角不为 0 时,直线 l 可设为 x ? my ? 4 ,

? x ? my ? 4 ? (3m 2 ? 4) y 2 ? 24my ? 36 ? 0 ,由 ? 2 2 ?3 x ? 4 y ? 12
? ? 0 ? (24m) 2 ? 4 ? (3m 2 ? 4) ? 36 ? 0 ? m 2 ? 4
设 A(my1 ? 4, y1 ), B (my2 ? 4, y2 ) , y1 ? y2 ? ?

24m 36 , , y1 y2 ? 2 3m ? 4 3m 2 ? 4

OA ? OB ? (my1 ? 4)(my2 ? 4) ? y1 y2 ? m 2 y1 y2 ? 4my1 y2 ? 16 ? y1 y2
? 116 13 13 ? 4 , m 2 ? 4,? OA ? OB ? (?4, ) ,综上所述:范围为 [?4, ) , 2 3m ? 4 4 4
=1 得焦点 , 得 b= . 又 , a =b +c ,
2 2 2

【思路点拨】 (1) 由双曲线

联立解得即可; (2)由题意可知直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y=k(x﹣4) ,与椭圆 方程联立得到, (4k +3)x ﹣32k x+64k ﹣12=0,由△>0 得 y 2) ,利用根与系数的关系可得
2 2 2 2

.设 A(x1,y1) ,B(x2,

=x1x2+y1y2,进而得到取值范围.

【 【名校精品解析系列】 数学文卷· 2015 届重庆市巴蜀中学高三下学期第二次模拟考试 (201504) 】

x2 y 2 21.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )过 M (2, 2)、N ( 6,1) 两点, a b

O 为坐标原点.

ziye

(3)求椭圆的标准方程; (4)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点 A、B 且

OA ? OB ?若存在,求出该圆的方程;若不存在,说明理由.
【知识点】椭圆的标准方程;直线与椭圆的位置关系 H5 H8 【答案】 【解析】 (1)

x2 y 2 8 (2)存在这样的圆,且圆的方程为 x 2 ? y 2 ? . ? ? 1; 8 4 3
2 2

解析: (1)将 M 、N 两点代入椭圆方程,解之得: a ? 8, b ? 4 ,则椭圆的标准方程为:

x2 y 2 ? ?1 8 4
(2)存在这样的圆.(理由如下: ) 设圆的半径为 r ,圆的方程为 x ? y ? r ,圆的切线与椭圆的交点为:
2 2 2

A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ?
①当圆的切线斜率 k 存在时,设切线方程为: y ? kx ? b , 则圆心到直线的距离为 d ?

b 1? k
2

? r , 即b 2 ? r 2 (1 ? k 2 )

? y ? kx ? b ? 又切线与椭圆相交于两点 A、B ,则有 ? x 2 y 2 ,消去 y 即可得: ?1 ? ? 4 ?8

(2k 2 ? 1) x 2 ? 4kbx ? 2b 2 ? 8 ? 0 ,
4kb ? x1 ? x2 ? ? 2 ? ? 2k ? 1 由韦达定理有: ? , 2 2 b ? 8 ?x ? x ? 1 2 ? 2k 2 ? 1 ?
又 OA ? OB ,则 x1 x2 ? y1 y2 ? (k 2 ? 1) x1 x2 ? kb( x1 ? x2 ) ? b 2

(2b 2 ? 8)(k 2 ? 1) 4b 2 k 2 b 2 (2k 2 ? 1) ? ? 2 ? 2k 2 ? 1 2k ? 1 2k 2 ? 1 3b 2 ? 8k 2 ? 8 3r 2 (k 2 ? 1) ? 8(k 2 ? 1) ? ? ?0 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1
?r2 ? 8 3

ziye

② 当斜率 k 不存在时,切线方程为 x ? ? r ,由 OA ? OB 可知 r 2 ? 综上所述,存在这样的圆,且圆的方程为 x 2 ? y 2 ?

8 3

8 . 3
2 2

【思路点拨】 (1)将 M 、N 两点代入椭圆方程,解之得: a ? 8, b ? 4 ,即可得椭圆的标 准方程; (2)设圆的半径为 r ,圆的方程为 x ? y ? r ,圆的切线与椭圆的交点为:
2 2 2

A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,然后对圆的切线斜率 k 分类讨论即可。

ziye

18.解: (1)

f ?( x) ? 1 ?

2 a x 2 ? ax ? 2 ( x ? ? 0, ?? ? ) ? ? x2 x x2

? f ?(1) ? 3 ? a ? 0,? a ? ?3
(2)由(1)知, f ?( x) ?

x 2 ? 3 x ? 2 ( x ? 1)( x ? 2) ( x ? ? 0, ?? ? ) ? x2 x2

则 f ?( x) ? 0 的两根为 x1 ? 1, x2 ? 2 在 ? 0,1? 和 ? 2, ?? ? 上 f ?( x) ? 0 ;在 ?1, 2 ? 上 f ?( x) ? 0 . 所以, f ( x) 的单调增区间为 ? 0,1? 和 ? 2, ?? ? ;单调减区间为 ?1, 2 ? .

f ( x) 在 x1 ? 1 处取得极大值 f ( x)极大 ? f (1) ? ?1 ; f ( x) 在 x2 ? 2 处取得极小值 f ( x)极小 ? f (2) ? 1 ? 3ln 2 .

19.解: (1) f ( x) ? sin x ? sin( x ?

?
3

)

ziye

? 3 sin( x ? ) 6 ? 2 k? ?

?

?

2

? x?

?

6

? 2 k? ?

?
2

即2k? ?

2? ? ? x ? 2k? ? , k ? Z 3 3

2? ?? ? ? f ( x) 的单调增区间为 ? 2k? ? , 2 k? ? ? , k ? Z . 3 3? ?
(2)

0 ? B ? 2 A ? ? ,? 0 ? A ?

?
2

又 f (A ?

?
6

) ? 3 sin A ?

3 1 1 ? ,? sin A ? ? ? sin 3 3 2 6
2 2 4 2 , ,sin B ? sin 2 A ? 2sin A cos A ? 3 9

?0 ? A ?

?
6

,0 ? B ?

?
3

, cos A ?

7 23 , ? cos B ? 1 ? sin 2 B ? ,sin C ? sin( A ? B) ? 9 27
则由正弦定理知: b ? a 20.解: (1)

sin B 8 2 sin C 46 . ? ,c ? a ? sin A 3 sin A 9

PA ? 面ABCD, BC ? 面ABCD,? PA ? BC
连接 AC ,

AD ? CD, AD ? CD,? AC ? 2 ,

又 BC ?

2,AB ? 2,即AB 2 ? AC 2 ? BC 2, ? BC ? AC

? BC ? 面PAC , 又PC ? 面PAC ,? PC ? BC .
(2)由题可知 PC ?

6,BC ? 2,S EFCP ?

3 3 3 1 S PBC ? , ?VD ? EFCP ? 4 4 4
2 2

21.解: (1)将 M 、N 两点代入椭圆方程,解之得: a ? 8, b ? 4 ,则椭圆的标准方程为:

x2 y 2 ? ?1 8 4
(2)存在这样的圆.(理由如下: ) 设圆的半径为 r ,圆的方程为 x ? y ? r ,圆的切线与椭圆的交点为:
2 2 2

A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ?
①当圆的切线斜率 k 存在时,设切线方程为: y ? kx ? b ,

ziye

则圆心到直线的距离为 d ?

b 1? k
2

? r , 即b 2 ? r 2 (1 ? k 2 )

? y ? kx ? b ? 又切线与椭圆相交于两点 A、B ,则有 ? x 2 y 2 ,消去 y 即可得: ?1 ? ? 4 ?8

(2k 2 ? 1) x 2 ? 4kbx ? 2b 2 ? 8 ? 0 ,
4kb ? x1 ? x2 ? ? 2 ? ? 2k ? 1 由韦达定理有: ? , 2 2 b ? 8 ?x ? x ? 1 2 ? 2k 2 ? 1 ?
又 OA ? OB ,则 x1 x2 ? y1 y2 ? (k 2 ? 1) x1 x2 ? kb( x1 ? x2 ) ? b 2

(2b 2 ? 8)(k 2 ? 1) 4b 2 k 2 b 2 (2k 2 ? 1) ? ? 2 ? 2k 2 ? 1 2k ? 1 2k 2 ? 1 3b 2 ? 8k 2 ? 8 3r 2 (k 2 ? 1) ? 8(k 2 ? 1) ? ? ?0 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1
?r2 ? 8 3 8 3

② 当斜率 k 不存在时,切线方程为 x ? ? r ,由 OA ? OB 可知 r 2 ? 综上所述,存在这样的圆,且圆的方程为 x 2 ? y 2 ?

8 . 3

?

PA ? 面ABCD, BC ? 面ABCD

? PA ? BC
连接 AC ,

AD ? CD, AD ? CD

? AC ? 2,又BC ? 2,AB ? 2,即AB 2 ? AC 2 ? BC 2

ziye

? BC ? AC ? BC ? 面PAC , 又PC ? 面PAC ? PC ? BC
(2) PC ?

6, BC ? 2, S EFCP ?

3 3 3 1 , VD ? EFCP ? S PBC ? 4 4 4

21.解: (1)将 M 、N 两点,解之 a ? 8, b ? 4 ,则椭圆的方程为:
2 2

x2 y 2 ? ?1 8 4

(2)当圆的切线斜率 k 存在时,设切线方程为 y ? kx ? b ,圆的半径为 r ,切线与椭 圆的交点为 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则圆心到直线的距离为 d ?

b 1? k 2

? r ,即

b 2 ? r 2 (k 2 ? 1)
? y ? kx ? b ? 又切线与椭圆相交于两点,则有: ? x 2 y 2 ,消去 y 即为 ?1 ? ? 4 ?8

(2k 2 ? 1) x 2 ? 4kbx ? 2b 2 ? 8 ? 0 ,由韦达定理有:
4kb ? x1 ? x2 ? ? 2 ? ? 2k ? 1 ? 2 ? x ? x ? 2b ? 8 1 2 ? 2k 2 ? 1 ?

ziye

又 OA ? OB ,则 x1 x2 ? y1 y2 ? (k 2 ? 1) x1 x2 ? kb( x1 ? x2 ) ? b 2

?

(2b 2 ? 8)(k 2 ? 1) 4b 2 k 2 b 2 (2k 2 ? 1) ? 2 ? 2k 2 ? 1 2k ? 1 2k 2 ? 1 3b 2 ? 8k 2 ? 8 3r 2 (k 2 ? 1) ? 8(k 2 ? 1) ? ?0 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1

?
?r2 ? 8 3

当斜率 k 不存在时,切线方程为 x ? r ,由 OA ? OB ? 0 可知 r 2 ? 综上所述,存在这样的圆,且圆的方程为 x 2 ? y 2 =

8 3

8 3

【 【名校精品解析系列】数学文卷·2015 届四川省德阳市高三“二诊”考试(201503)word

x2 y2 1 版】20. (本题满分 13 分)已知椭圆 2 ? 2 =1(a>b>0)的离心率为 ,右焦点与 2 a b
抛物线 y2 = 4x 的焦点 F 重合. (1)求椭圆的方程; (2)过 F 的直线 l 交椭圆于 A、B 两点,椭圆的左焦点力 F ? ,求△AF'B 的面积的最 大值. 【知识点】椭圆的标准方程;直线与椭圆的位置关系 H5 H8 【答案】 【解析】 (1)

x2 y 2 ? ? 1; (2)3 4 3

解析: (1)抛物线的焦点 F(0,1)

1 e = , \ a = 2 ,\ b 2 = a 2 - c 2 = 3 2

\

椭圆方程为

x2 y 2 ? ?1 4 3

(2)显然 l 的斜率不为 0,设 l:x=my+1

? x ? my ? 1 ? 2 2 由 ? x2 y 2 得 ? 3m ? 4 ? y ? 6my ? 9 ? 0 , ?1 ? ? 3 ?4
设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , D> 0 恒成立,

y1 ? y2 ? ?

6m 9 , y1 ? y2 ? ? 2 , 2 3m ? 4 3m ? 4

ziye

S

AFB

6m ? 36 12 m 2 ? 1 1 ? ? ? FF ? y1 ? y2 ? y1 ? y2 ? ? ? 2 ? , ? ? 2 2 3m 2 ? 4 ? 3m ? 4 ? 3m ? 4

2

令 t ? m2 ? 1, t ? 1 ,则 m2 ? t 2 ? 1 则S

1 t 1 令 u ? t ? ? 3t ? ? t ? 1? t 3t ?

AFB

?

12

? 3 ?? 3? 3 t ? t ? ? ?? ? 3 ?? 3 ? 3t 2 ? 1 ? u? ? t ? ? 2 ? ?0, t t2

\ 当 t ? 1 即 m ? 0 时, ? S

AFB max

?

?3

【思路点拨】 (1)利用已知条件求出基本量,进而写出标准方程; (2) (i)结合已知条件求 出直线方程的解析式,然后作出判断即可; (ii)把直线与椭圆方程联立,利用还原法转化 成S
AFB

?

12 1 3t ? t

,在利用导数求出最值即可。

【 【名校精品解析系列】 数学卷· 2015 届江苏省南通市高三第二次调研测试 (201504) 】 22. (本 小题满分 10 分)

如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(8 ,? 4) , P (2 ,t ) (t ? 0) 在抛物线

y 2 ? 2 px ( p ? 0) 上.
(1)求 p , t 的值; (2)过点 P 作 PM 垂直于 x 轴, M 为垂足,直线 AM 与抛物线的另一交点为 B ,点 C 在直线 AM 上.若 PA , PB , PC 的斜率分别为 k1 , k 2 , k 3 ,且 k1 ? k2 ? 2k3 ,求点 C 的坐 标.

ziye

【知识点】抛物线的性质;直线与抛物线的位置关系 H7 H8 【答案】 【解析】 (1) t ? ? 2 ;2) ?2 ,8 3

?

?

解析: (1)将点 A(8 ,? 4) 代入 y 2 ? 2 px , 得 p ?1, ?? 2 分

将点 P (2 ,t ) 代入 y 2 ? 2 x ,得 t ? ? 2 , 因为 t ? 0 ,所以 t ? ? 2 . ?? 4 分
0) , (2)依题意, M 的坐标为 (2 ,

直线 AM 的方程为 y ? ? 2 x ? 4 , 3 3
?y ? ? 2 x ? 4 , ? 3 3 并解得 B 1 , 联立 ? 1 , ?? 6 分 2 2 ? ? y ? 2x

? ?

所以 k1 ? ? 1 , k2 ? ?2 , 3 代入 k1 ? k2 ? 2k3 得, k3 ? ? 7 , ?? 8 分 6 从而直线 PC 的方程为 y ? ? 7 x ? 1 , 6 3
?y ? ? 2 x ? 4 , ? 3 3 联立 ? 并解得 C ?2 ,8 .?? 10 分 3 ?y ? ? 7 x ? 1 6 3 ?

?

?

【思路点拨】 (1)先点 A(8 ,? 4) 代入 y 2 ? 2 px ,得 p ? 1 ,再点 P (2 ,t ) 代入 y 2 ? 2 x 可得结 果; (2)把直线与抛物线联立并解得 B 1 , 1 ,可得直线 PC 的方程,然后解方程组即可。 2

? ?

【 【名校精品解析系列】 数学卷· 2015 届江苏省南通市高三第二次调研测试 (201504) 】 18. (本 小题满分 16 分)
2 y2 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 x 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 ) 的左顶点为 A ,右焦点为 a b

ziye

F (c , 0) . P( x0 ,y0 ) 为椭圆上一点,且 PA ? PF .

(1)若 a ? 3 , b ? 5 ,求 x0 的值; (2)若 x0 ? 0 ,求椭圆的离心率; (3)求证:以 F 为圆心, FP 为半径的圆与椭圆的右准线 x ? a 相切. c
2

【知识点】椭圆的性质;直线与椭圆的位置关系 H5 H8 【答案】 【解析】 (1) x0 ? 3 ; (2) e ? 5 ? 1 ; (3)见解析 4 2 解析: (1)因为 a ? 3 , b ? 5 ,所以 c 2 ? a 2 ? b2 ? 4 ,即 c ? 2 , 由 PA ? PF 得, 又

y0 y 2 2 ? ? x0 ? x0 ? 6 , ?? 3 分 ? 0 ? ?1 ,即 y0 x0 ? 3 x0 ? 2

2 x0 y2 2 ? 9 x0 ? 9 ? 0 ,解得 x0 ? 3 或 x0 ? ?3 (舍去) . ?? 5 分 ? 0 ? 1 ,所以 4x0 4 9 5

(2)当 x0 ? 0 时, y0 2 ? b2 , 由 PA ? PF 得,

y0 y0 ? ? ?1 ,即 b 2 ? ac ,故 a 2 ? c 2 ? ac , a ?c

?? 8 分 ?? 10 分

所以 e2 ? e ? 1 ? 0 ,解得 e ? 5 ? 1 (负值已舍) . 2

2 2 x2 y2 (3)依题意,椭圆右焦点到直线 x ? a 的距离为 a ? c ,且 02 ? 02 ? 1 ,① c c a b

由 PA ? PF 得,

y0 y 2 2 ? ? x0 ? (c ? a) x0 ? ca , ? 0 ? ?1 ,即 y0 x0 ? a x0 ? c



? a ? b 2 ? ac ? ? ? ? 0, 由①②得, ( x0 ? a) ? x0 ? c2 ? ? ? ?

解得 x0 ? ? 所以 PF ?

a ? a 2 ? ac ? c 2 ? c2
2 2 ? y0 ?

或 x0 ? ?a (舍去).

?? 13 分

? x0 ? c ?

? x0 ? c ?

2

2 ? x0 ? (c ? a) x0 ? ca ? a ? c x0 a

ziye

a ? a 2 ? ac ? c 2 ? a 2 ? ? c, ?a? c? a c c2

所以以 F 为圆心, FP 为半径的圆与右准线 x ? a 相切. ?? 16 分 c 【思路点拨】 (1)根据 a ? 3 , b ? 5 ,即 c ? 2 ,由 PA ? PF 得方程,解得 x0 ? 3 ; (2)当 4 (3) x0 ? 0 时, y0 2 ? b2 ,由 PA ? PF 得, a 2 ? c 2 ? ac ,所以 e2 ? e ? 1 ? 0 ,解得 e ? 5 ? 1 ; 2
2 2 x2 y2 依题意,椭圆右焦点到直线 x ? a 的距离为 a ? c ,且 02 ? 02 ? 1 ,由 PA ? PF 得 c c a b

2

2 2 y0 ? ? x0 ? (c ? a) x0 ? ca 联立即可。

【数学理卷·2015 届广东省广州市高三调研测试(201501)word 版】20. (本小题满分 14 分) 已 知 椭 圆 C:

x2 y 2 3 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的 离 心 率 为 , 且 经 过 点 ? 0,1? . 圆 2 a b 2

2 2 2 2 C1 : x ? y ? a ? .b

(1)求椭圆 C 的方程; (2) 若直线 l : y ? kx ? m ? k ? 0? 与椭圆 C 有且只有一个公共点 M , 且 l 与圆 C1 相交于 A, B 两点,问 AM ? BM ? 0 是否成立?请说明理由. 【知识点】椭圆的标准方程;直线与圆锥曲线的综合问题.H5 H8 【答案】 【解析】 (1)

x2 ? y 2 ? 1;(2)见解析 4

x2 y 2 解析: (1)∵ 椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 过点 ? 0,1? , a b
2 ∴ b ? 1.

?????????????1 分



c 3 2 ? , a ? b2 ? c 2 , a 2

?????????????2 分

2 ∴a ? 4.

????????????3 分

ziye

∴椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 4

????????????4 分

(2)解法 1:由(1)知,圆 C1 的方程为 x 2 ? y 2 ? 5 ,其圆心为原点 O . ?????5 分 ∵直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点 M ,

? y ? kx ? m, ? ∴方程组 ? x 2 (*) 有且只有一组解. 2 ? y ? 1 ? ?4
2 2 2 由(*)得 1 ? 4k x ? 8kmx ? 4m ? 4 ? 0 . ??????????6 分

?

?

从而 ? ? ? 8km ? ? 4 1 ? 4k
2

?

2

?? 4m

2

? 4 ? ? 0 ,化简得 m2 ? 1 ? 4k 2 .① ????7 分

xM ? ?

8km 4km , ?? 2 1 ? 4k 2 2 ?1 ? 4k ?

4k 2 m m yM ? kxM ? m ? ? ?m? . ?????9 分 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2
∴ 点 M 的坐标为 ? ?

m ? ? 4km . , 2 2 ? ? 1 ? 4k 1 ? 4 k ?

???????????10 分

由于 k ? 0 ,结合①式知 m ? 0 ,

m 2 1 ∴ kOM ? k ? 1 ? 4k ? k ? ? ? ?1 . 4km 4 ? 2 1 ? 4k
∴ OM 与 AB 不垂直. ∴ 点 M 不是线段 AB 的中点. ∴ AM ? BM ? 0 不成立.
2 2

?????????????11 分

?????????12 分 ????????13 分 ?????????14 分 ?????5 分

解法 2:由(1)知,圆 C1 的方程为 x ? y ? 5 ,其圆心为原点 O . ∵直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点 M ,

? y ? kx ? m, ? ∴方程组 ? x 2 (*) 有且只有一组解. 2 ? y ? 1 ? ?4
2 2 2 由(*)得 1 ? 4k x ? 8kmx ? 4m ? 4 ? 0 .?????????6 分

?

?

ziye

从而 ? ? ? 8km ? ? 4 1 ? 4k
2

?

2

?? 4m

2

? 4 ? ? 0 ,化简得 m2 ? 1 ? 4k 2 .① ????7 分
???????????????8 分

xM ? ?

8km 4km , ? ? 1 ? 4k 2 2 ?1 ? 4k 2 ?

由于 k ? 0 ,结合①式知 m ? 0 , 设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,线段 AB 的中点为 N ? xN , yN ? , 由?

? y ? kx ? m, 2 2 2 消去 y ,得 ?1 ? k ? x ? 2kmx ? m ? 5 ? 0 .?????????9 分 2 2 ? x ? y ? 5,

x1 ? x2 km ?? . ?????10 分 2 1? k 2 km 4km ?? 若 xN ? xM ,得 ? ,化简得 3 ? 0 ,矛盾. ????????11 分 2 1? k 1 ? 4k 2
∴ xN ? ∴ 点 N 与点 M 不重合. ∴ 点 M 不是线段 AB 的中点. ∴ AM ? BM ? 0 不成立. 【思路点拨】 (1)把椭圆 C : ????????12 分 ????????13 分 ??????????14 分

x2 y 2 ? ? 1 过点 ? 0,1? ,以及离心率联立解之即可; (2)把直 a 2 b2

线 l 与椭圆方程联立,根据有且只有一组解得判别式为 0,然后再表示出

xM ? ?
?

x ? x2 km 8km 4km ?? ,同理得到 xN ? 1 ,利用 xN ? xM ,得 ?? 2 2 2 1? k 2 1 ? 4k 2 ?1 ? 4k ?

km 4km ?? ,化简得 3 ? 0 ,由此矛盾可判断出原结论不成立. 2 1? k 1 ? 4k 2

【数学文卷·2015 届广东省广州市高三调研测试(201501)WORD 版(修改) 】20. (本小 题满分 14 分)

x2 y 2 3 已 知 椭 圆 C : 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的 离 心 率 为 , 且 经 过 点 ? 0,1? . 圆 a b 2
2 2 2 2 C1 : x ? y ? a ? .b

(1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 l : y ? kx ? m ? k ? 0? 与椭圆 C 有且只有一个公共点 M ,且 l 与圆 C1 相交于

A, B 两点,问 AM ? BM ? 0 是否成立?请说明理由.

ziye

【知识点】椭圆的标准方程;直线与圆锥曲线的综合问题.H5 H8 【答案】 【解析】 (1)

x2 ? y 2 ? 1;(2)见解析 4 x2 y 2 ? ? 1 过点 ? 0,1? , a 2 b2
?????????????1 分

解析: (1)∵ 椭圆 C : ∴ b2 ? 1 .



c 3 2 ? , a ? b2 ? c 2 , a 2

?????????????2 分

∴ a2 ? 4 . ∴椭圆 C 的方程为

????????????3 分

x2 ? y 2 ? 1. 4
2

????????????4 分
2

(2)解法 1:由(1)知,圆 C1 的方程为 x ? y ? 5 ,其圆心为原点 O . ?????5 分 ∵直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点 M ,

? y ? kx ? m, ? ∴方程组 ? x 2 (*) 有且只有一组解. 2 ? ? y ?1 ?4
2 2 2 由(*)得 1 ? 4k x ? 8kmx ? 4m ? 4 ? 0 . ??????????6 分

?

?

从而 ? ? ? 8km ? ? 4 1 ? 4k
2

?

2

?? 4m

2

? 4 ? ? 0 ,化简得 m2 ? 1 ? 4k 2 .① ????7 分


xM ? ?

8km 4km ?? 2 1 ? 4k 2 2 ?1 ? 4k ?
4k 2 m m ?m? . ?????9 分 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2
???????????10 分

yM ? kxM ? m ? ?

∴ 点 M 的坐标为 ? ?

m ? ? 4km . , 2 2 ? ? 1 ? 4k 1 ? 4 k ?

由于 k ? 0 ,结合①式知 m ? 0 ,

ziye

m 2 1 ∴ kOM ? k ? 1 ? 4k ? k ? ? ? ?1 . 4km 4 ? 2 1 ? 4k
∴ OM 与 AB 不垂直. ∴ 点 M 不是线段 AB 的中点. ∴ AM ? BM ? 0 不成立.

?????????????11 分

?????????12 分 ????????13 分 ?????????14 分 ?????5 分

解法 2:由(1)知,圆 C1 的方程为 x 2 ? y 2 ? 5 ,其圆心为原点 O . ∵直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点 M ,

? y ? kx ? m, ? ∴方程组 ? x 2 (*) 有且只有一组解. 2 ? ? y ?1 ?4
2 2 2 由(*)得 1 ? 4k x ? 8kmx ? 4m ? 4 ? 0 .

?

?

?????????6 分

从而 ? ? ? 8km ? ? 4 1 ? 4k
2

?

2

?? 4m

2

? 4 ? ? 0 ,化简得 m2 ? 1 ? 4k 2 .① ????7 分
???????????????8 分

xM ? ?

8km 4km , ?? 2 1 ? 4k 2 2 ?1 ? 4k ?

由于 k ? 0 ,结合①式知 m ? 0 , 设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,线段 AB 的中点为 N ? xN , yN ? , 由?

? y ? kx ? m, 2 2 2 消去 y ,得 ?1 ? k ? x ? 2kmx ? m ? 5 ? 0 .?????????9 分 2 2 ? x ? y ? 5,

x1 ? x2 km ?? . ?????10 分 2 1? k 2 km 4km ?? 若 xN ? xM ,得 ? ,化简得 3 ? 0 ,矛盾. ????????11 分 2 1? k 1 ? 4k 2
∴ xN ? ∴ 点 N 与点 M 不重合. ∴ 点 M 不是线段 AB 的中点. ∴ AM ? BM ? 0 不成立. ????????12 分 ????????13 分 ??????????14 分

x2 y 2 【思路点拨】 (1)把椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 过点 ? 0,1? ,以及离心率联立解之即可; (2)把直 a b
线 l 与椭圆方程联立,根据有且只有一组解得判别式为 0,然后再表示出

ziye

xM ? ?
?

x ? x2 km 8km 4km ?? ,同理得到 xN ? 1 ,利用 xN ? xM ,得 ?? 2 2 2 1? k 2 1 ? 4k 2 ?1 ? 4k ?

km 4km ?? ,化简得 3 ? 0 ,由此矛盾可判断出原结论不成立. 2 1? k 1 ? 4k 2

H9

曲线与方程

H10

单元综合


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