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安徽省合肥八中2015届高三第四次段考数学理试题


合肥八中 2015 届高三第四次段考 数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.已知

a 1? i ? 是实数,其中 i 为虚数单位,则实数 a 等于 1? i 2 1 A.1 B. 2 1 1 C. D. ? 5 5

2.已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 A. 2? ? 8 B. 8? ? 8 C. 4? ? 8 D. 6? ? 8 3.运行如图所示的程序框图后,输出的结果是

1 2 3 C. 4
A.
2

B.

2 3 4 D. 5
2

4.下列有关命题的说法正确的是 A.命题“若 x ? 1 ,则 x ? 1 ”的否命题为“若 x ? 1 ,则 x ? 1 ” B.“ x ? 1 ”是“ x ? 5 x ? 6 ? 0 ”的必要而不充分条件
2 2 C. 命 题 “ ?x ? R , 使 得 x ? x ? 1 ? 0 ” 的 否 定 是 “ ?x ? R , 均 有

x2 ? x ? 1 ? 0 ” D.命题“若 x ? y ,则 sin x ? sin y ”的逆否命题为真命题
5. 已 知 点 A( 3 ,

3O ) , 为 坐 标 原 点 , 点 P( x, y) 的 坐 标 x, y 满 足

? 3x ? y ? 0 ? ? ? x ? 3 y ? 2 ? 0 ,则向量 OA 在向量 OP 方向上的投影的取值范围是 ?y ? 0 ? ? A. [? 3, 3] B. [?3,3] C. [? 3,3] D. [?3, 3] 2 2 6.已知点 M 是直线 3x ? 4 y ? 2 ? 0 上的动点,点 N 为圆 ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 1 上的动点 ,则 | MN | 的
最小值是 A.

9 5

B. 1

C.

7.函数 f ( x) ? cos(? x ? 函数 g ( x) ? sin(? x ? A.向左平移

?
3

4 5

D.

13 5

)( x ? R, ? ? 0) 的最小正周期为 ? ,为了得到函数 y ? f ( x) 的图象,只需将

?
3

) 的图象

? 个单位长度 2 ? C.向左平移 个单位长度 4

? 个单位长度 2 ? D.向右平移 个单位长度 4
B.向右平移

1

8. 已 知 椭 圆

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0) ? ? 1(m ? 0, n ? 0) 有 相 同 的 焦 点 与 双 曲 线 a 2 b2 m2 n 2 F1 (?c,0), F2 (c,0) ,若 c 是 a, m 的等比中项, n2 是 2m2 与 c2 的等差中项,则椭圆的离心率是
A.

1 1 2 C. D. 4 2 2 9. 已知向量 OA, OB 满足 | OA |? | OB |? 1,OA? OB? 0 , 向量 OC 满足 OC ? ? OA? ? OB ( ?, ? ? R )

3 3

B.

若 M 为 AB 的中点,且 | MC |? 1 ,则点 (? , ? ) 在

1 1 1 1 , ) 为圆心,半径为 1 的圆上 B.以 ( , ? ) 为圆心,半径为 1 的圆上 2 2 2 2 1 1 1 1 C.以 ( ? , ? ) 为圆心,半径为 1 的圆上 D.以 ( , ) 为圆心,半径为 1 的圆上 2 2 2 2 10.函数 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,且满足 f ( x) ? f ( x ? 2) ,当 x ? [0,1] 时, f ( x) ? 2 x ,若方程 f ( x) ? ax ? a ? 0(a ? 0) 恰有三个不相等的实数根,则实数 a 的取值范围是 1 A. ( ,1) B. [0, 2] C. (1, 2) D. [1, ??) 2
A.以 ( ? 二、本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,请将答案填在答题卷的指定位置. 11.在航天员进行的一项太空实验中,要先后实施 6 个程序,其中程序 A 只能出现在第一步或最后一步, 程序 B 和 C 实施时必须相邻,则实验顺序的编排方法共有 种(请用数字作答) 12.若斜 ?ABC 的内角 A, B, C 成等差数列,则 tan A ? tan C ? tan A tan B tan C ? 13.已知两个向量 AB, AC 的夹角为 120 ,且 AB ? AC ? ?2 ,设两点 B, C 的中点为点 D ,则 | AD | 的最 小值为
2 14. 设 二 次 函 数 f ( x) ? ax ? bx ? ( c a , b ,为 c 常 数 ) 的 导 函 数 为 f '(x ) , 且 对 任 意 x ? R , 不 等 式

b2 的最大值为 a2 ? c2 1 1 ? 1 ? x ? , x ? [0, ] ? ? 3? ? 2 4 2 , g ( x) ? a sin( x ? ) ? 2a ? 2( a ? 0) ,给出下列结论: 15.已知函数 f ( x) ? ? 2 3 2 ? 2 x , x ? ( 1 ,1] ? 2 ?x?2 2 ①函数 f ( x ) 的值域为 [0, ] ; 3 ②函数 g ( x) 在[0,1]上是增函数; ③对任意 a ? 0 ,方程 f ( x) ? g ( x) 在[0,1]内恒有解; 4 4 ④若存在 x1 , x2 ?[0,1] 使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,则实数 a 的取值范围是 [ , ] . 9 5
f ( x) ? f '( x ) 恒成立,则
其中正确命题是 (填上你认为正确的所有命题的序号) 三、本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16(本小题满分 12 分)

?x ? 已知函数 f ( x ) ? sin(
两交点的距离为 ? . (Ⅰ )求 ? 的值;

?

6

2 )? 2 cos

?x
2

? 1( ? ? 0) , 直线 y ? 3 与函数 y ? f ( x) 的图象的相邻

(Ⅱ )在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,若点 ( 且 b ? 3 ,求 ?ABC 面积的最大值.

B , 0) 是函数 y ? f ( x) 图象的一个对称中心, 2

2

17(本小题满分 12 分) 乒乓球赛规定一局比赛,双方比分在 10 平前,一方连续发球 2 次后,对方再连续发球 2 次,依次轮换,每 次发球,胜方得 1 分,负方得 0 分.设在甲,乙的比赛中,每次发球,发球方得 1 分的概率为 胜负结果相互独立,在甲,乙的一局比赛中,甲先发球. (Ⅰ )求开始第 4 次发球时,甲,乙的比分为 1 比 2 的概率; (Ⅱ )设 ? 表示第 4 次开始发球时乙的得分,求 ? 的概率分布列与数学期望.

3 ,各次发球的 5

18(本小题满分 12 分) 如图 1,在直角梯形 ABCP

1 AP ? 2, D 是 AP 的 中 2 点 , E, F , G 分别是 PC , PD, CB 的中点 , 将 ?PCD 沿 CD 折起 , 使得 PD ? 平面 ABCD ,如图 2. (Ⅰ )求三棱锥 D ? PAB 的体积; (Ⅱ )求证: AP // 平面 EFG ; (Ⅲ )求二面角 G ? EF ? D 的大小.
中 , AP // CP, AP ? AB, AB ? BC ?

3

19(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ln(e x ? a)(a 为常数)是 R 上的奇函数,函数 g ( x) ? ? f ( x) ? sin x 是区间 [?1,1] 上的 减函数. (Ⅰ )求实数 a 的值; (Ⅱ )若 g ( x) ? t 2 ? ?t ? 1 对任意 x ?[?1,1] 恒成立,求实数 t 的取值范围; (Ⅲ )讨论关于 x 的方程

ln x ? x 2 ? 2ex ? m 的根的个数. f ( x)

20(本小题满分 13 分)
2 已知数列 {dn } 满足 dn ? n ,等比数列 {an } 为递增数列,且满足 a5 ? a10 , 2(an ? an?2 ) ? 5an?1, n ? N *.

(Ⅰ )求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ ) 令 cn ? 1 ? (?1)n an , 不等式 ck ? 2015(1? k ? 100,k ? N* )的解集为 M , 求所有 dk ? ak (k ? M ) 的和.

21(本小题满分 13 分)

x2 y 2 如图 , 已知椭圆 E : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) , 以该椭圆上的异于长轴端点的点和椭圆的左 , 右焦点 a b F1 , F2 为 顶 点 的 三 角 形 的 周 长 为 8 2 , 以 椭 圆 的 四 个 顶 点 组 成 的 菱 形 的 面 积 为 8 2 , 双 曲 线

G : x2 ? y 2 ? m(m ? 0) 的顶点是该椭圆的焦点 ,设 P 为该双曲线上异于顶点的任一点 ,直线 PF1 和 PF2 与椭圆的交点分别为 A, B 和 C , D .
(Ⅰ )求椭圆和双曲线的标准方程; (Ⅱ )设直线 PF1 , PF2 的斜率分别为 k1 , k2 ,探求 k1 与 k2 的关系;

(Ⅲ )是否存在常数 ? ,使得 | AB | ? | CD |? ? | AB || CD | 恒成立? 若存在,求出 ? 的值;若不存在,请说明 理由.

4

合肥八中第四次段考数学(理科)参考答案
一、选择题 AACDB 二、填空题
11. 96 12. ? 3

CCDDA
13.1 14.

2 2 ?2
?
6 ? 2? 1 ? cos ? x ?1 2

15.(1)(2)(4)

16.解:(1)

f ( x) ? sin ? x cos

?
6

? cos ? x sin

?

3 3 ? sin ? x ? cos ? x ? 3 sin(? x ? ) 2 2 3

f ( x) 的最大值为 3 ,? f ( x) 的最小正周期为 ? , ?? ? 2 ??????????6 分

f ( x) ? 3 sin(2 x ? ) 3 , (2)由(1)知

?

?B ? ? ,0? 因为点 ? 2 ? 是函数 y ? f ( x) 图像的一个对称中心
? 3 sin( B ? ) ? 0 ? B ? 3 3 ,?????8 分

?

?

? cos B ?

a 2 ? c2 ? b2 a 2 ? c2 ? 9 1 ? ? 2ac 2ac 2 , ac ? a 2 ? c 2 ? 9 ? 2ac ? 9 , ac ? 9
1 3 9 3 9 3 ac sin B ? ac ? 2 4 4 , ?ABC 面积的最大值为 4 .?????12 分



S ?ABC ?

17.解记 Ai 为事件“第 i 次发球,甲胜”, i ? 1,2,3 , 则 P( A1 ) ? P( A2 ) ?

3 2 , P( A3 ) ? 5 5

(1)“开始第 4 次发球时,甲、乙的比分为 1 比 2 ”为事件

A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 ,其概率为
3 2 3 2 2 2 44 P ? ( A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 ) ? 2 ? ? ? ? ? ? ? 5 5 5 5 5 5 125
即开始第 4 次发球时,甲、乙的比分为 1 比 2 的概率为 (2)由题意 ? ? 0,1, 2,3 .
5

44 ?????5 分 125

P(? ? 0) ?

3 3 2 18 ? ? ? 5 5 5 125

2 3 2 3 51 P(? ? 1) ? 2 ? ? ? ? ( ) 3 ? 5 5 5 5 125 2 2 3 12 ? ? ? ????????10 分 5 5 5 125

P(? ? 2) ?

44 125

P(? ? 3) ?

所以 E? ? 0 ?

18 51 44 12 7 ? 1? ? 2? ? 3? ? ?????12 分 125 125 125 125 5

1 1 1 4 S ?ABD ? PD ? ? ? 2 ? 2 ? 2 ? . ??4 分 3 3 2 3 (Ⅱ)证明:方法一) 连 AC,BD 交于 O 点,连 GO,FO,EO. 1 1 ∵E,F 分别为 PC,PD 的中点,∴ EF // CD ,同理 GO // CD , ? EF // GO 2 2 ? 四边形 EFOG 是平行四边形, ? EO ? 平面 EFOG. ??6 分 又在三角形 PAC 中,E,O 分别为 PC,AC 的中点,? PA//EO??7 分 EO ? 平面 EFOG,PA ? 平面 EFOG, ??8 分 ? PA//平面 EFOG,即 PA//平面 EFG. ??9 分 1 方法二) 连 AC,BD 交于 O 点,连 GO,FO,EO.∵E,F 分别为 PC,PD 的中点,∴ EF // CD , 2 1 同理 GE // PB 2 1 又 CD //AB,? EF // AB EG EF ? E, PB AB ? B,?平面 EFG//平面 PAB, ??7 2 分 又 PA ? 平面 PAB,? PA // 平面 EFG. ??9 分

18.解: (Ⅰ) VD ? PAB ? VP ? DAB ?

方法三)

如图以 D 为原点,以 DA, DC, DP 为方向向量建立空间直角坐标系 D ? xyz .
P?0,0,2?, C ?0,2,0?, G?1,2,0?, E ?0,1,1?, F ?0,0,1?, A?2,00?.

则有关点及向量的坐标为:

AP ? ?? 2,0,2?, EF ? ?0,?1,0?, EG ? ?1,1,?1???6 分
设平面 EFG 的法向量为 n ? ?x, y, z ?

? ?x ? z ?n ? EF ? 0 ?? y ? 0 ?? ?? ?? . x ? y ? z ? 0 ?y ? 0 ? ? n ? EG ? 0 ?

取 n ? ?1,0,1? .??7 分

∵ n ? AP ? 1? ?? 2? ? 0 ? 0 ? 1? 2 ? 0,? n ? AP ,??8 分 又 AP ? 平面 EFG.? AP//平面 EFG. ??9 分 (Ⅲ) 由已知底面 ABCD 是正方形
? AD ? DC ,又∵ PD ? 面 ABCD

? AD ? PD

又 PD CD ? D ? AD ? 平面 PCD, ? 向量 DA 是平面 PCD 的一个法向量, DA = ?2,0,0? ?
6

11 分 又由(Ⅰ)方法三)知平面 EFG 的法向量为 n ? ?1,0,1?

? cos DA, n ?

DA ? n DA ? n

?

2 2 2

?

2 . ?? 2

结合图知二面角 G ? EF ? D 的平面角为 450 . ??12 分
19.解:(I)? f ( x) ? ln(e x ? a) 是奇函数,

? ln(e ? x ? a) ? ? ln(e x ? a)
? (e ? x ? a)(e x ? a) ? 1,

???1 分

?1 ? ae? x ? aex ? a 2 ? 1,? a(e x ? e ? x ? a) ? 0 故 a=0
(II)由(I)知: f ( x) ? x,? g ( x) ? ?x ? sin x ,

????3 分

[

? g ( x)在[?1,1] 上单调递减,
? g ' ( x) ? ? ? cos x ? 0
? ? ? ? cos x 在[-1,1]上恒成立,? ? ? ?1
????5 分

[ g ( x)]max ? g (?1) ? ?? ? sin 1, ?只需 ? ? ? sin 1 ? t 2 ? ?t ? 1, ? (t ? 1)? ? t 2 ? sin ? 1 ? 0 (其中 ? ? ?1 ),恒成立,
令 h(? ) ? (t ? 1)? ? t 2 ? sin 1 ? 1 ? 0(? ? ?1) , 则?

?t ? 1 ? 0

, 2 ?? t ? 1 ? t ? sin 1 ? 1 ? 0

?t ? ?1 ?? 2 , 而t 2 ? t ? sin 1 ? 0 恒成立, ?t ? t ? sin 1 ? 0
? t ? ?1
(III)由 ????8 分

ln x ln x ? ? x 2 ? 2ex ? m. f ( x) x
ln x , f 2 ( x) ? x 2 ? 2ex ? m, x

????9 分

令 f1 ( x) ?

7

? f1' ( x) ?

1 ? ln x , x2
[来

当 x ? (0, e)时, f1' ( x) ? 0,

? f1 ( x)在?0, e? 上为增函数;
当 x ? ?e,??? 时, f1' ( x) ? 0,

? f1 ( x)在?e,??? 为减函数;
当 x ? e时, [ f 1 ( x)] max ? f 1 (e) ? 而 f 2 ( x) ? ( x ? e) 2 ? m ? e 2 ,

1 , e

[来

????11 分

1 1 ?当m ? e 2 ? ,即m ? e 2 ? 时, 方程无解; e e 1 1 2 2 当 m ? e ? , 即m ? e ? 时,方程有一个根; e e 1 1 2 2 当 m ? e ? 时, m ? e ? 时,方程有两个根. e e

????13 分

20.解: (Ⅰ)设 {an } 的首项为 a1 ,公比为 q ,所以 (a1q4 )2 ? a1q9 ,解得 a1 ? q …2 分 又因为 2(an ? an?2 ) ? 5an?1 ,所以 2(an ? an q2 ) ? 5an q 则 2(1 ? q ) ? 5q , 2q ? 5q ? 2 ? 0 ,解得 q ?
2 2

1 (舍)或 q ? 2 2

…………4 分

所以 an ? 2 ? 2n?1 ? 2n

…………6 分

(Ⅱ)则 cn ? 1 ? (?1) n an ? 1 ? ( ?2) n , dn ? n 当 n 为偶数, cn ? 1 ? 2n ? 2014 ,即 2 ? ?2013 ,不成立
n

当 n 为奇数, cn ? 1+2n ? 2014 ,即 2 ? 2013 ,
n

2 =2048 ,所以 n ? 2m ? 1,5 ? m ? 49 因为 2 =1024,
10 11

…………9 分
11

则 {dk } 组成首项为 11,公差为 2 的等差数列; {ak }(k ? M ) 组成首项为 2 ,公比为 4 的等比数列则 所有 dk ? ak (k ? M ) 的和为

45(11+99) 211 (1 ? 445 ) 2101 ? 2048 2101 ? 5377 ? ? 2475 ? ? …………13 分 2 1? 4 3 3

8

21、(1)由题意知,椭圆中 4a ? 8 2, a ? 2 2, 2ab ? 8 2, b ? 2

所以椭圆的标准方程为

x2 y 2 ? ?1 8 4
2 2 2

…………2 分

又顶点与焦点重合,所以 m ? c ? a ? b ? 4 ;

所以该双曲线的标准方程为

x2 y 2 ? ?1。 4 4
k1 ?

…………4 分

(2)设点 P( x, y), x ? ?2

y y , k2 ? x?2 x?2

k1 ? k 2 ?

y2 x2 ? 4
…………8 分

P 在双曲线上,所以

x2 y 2 ? ?1 4 4

y2 ? x2 ? 4

所以 k1 ? k 2 ? 1

(3)设直线 AB: y ? k1 ( x ? 2) k1 ? 0

? y ? k1 ( x ? 2) ? 2 2 2 由方程组 ? x 2 得 (2k1 ? 1) x 2 ? 8k1 x ? 8k1 ? 8 ? 0 y2 ?1 ? ? 4 ?8
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) 所以 x1 ? x2 ?

………10 分

? 8k1
2

2

2k1 ? 1

, x1 x2 ?
2

8k1 ? 8 2k1 ? 1
4 2 (1 ? k1 ) 2 k1 ? 1
2 2 2

2

2

由弦长公式 | AB |? 1 ? k1

( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ?

同理 | CD |? 1 ? k 2

2

( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ?

4 2 (1 ? k 2 ) 2k 2 ? 1
2
2

………12 分

4 2 (1 ? k1 ) 1 由 k1 ? k 2 ? 1, k 2 ? 代入得 | CD |? 2 k1 k1 ? 2
| AB | ? | CD |? ? | AB | CD |, ? ? 1 1 3 2 ? ? | AB | | CD | 8
………13 分

所以存在 ? ?

3 2 使得 | AB | ? | CD |? ? | AB | CD | 成立。 8

9

10


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