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河南省豫南九校2013届高三下学期第一次(2月)联考数学(文)试题(扫描版)


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河南省豫南九校 2013 届高三下学期第一次(2 月)联考数学 (文)试题(扫描版)

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河南省豫南九校 2013 届高三下学期第一次(2 月)联考数学 (文)试题(扫描版)参考答案
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分

(Ⅱ bn ? nan ,所以 bn ? n(2 n ? 1) ? n ? 2 n ? n ) 所以 Tn ? (1? 21 ? 1) ? (2 ? 22 ? 2) ? (3 ? 23 ? 3) ? ? ? (n ? 2n ? n)

Tn ? (1? 21 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? n ? 2n ) ? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n) ……9 分
令 S n ? 1? 21 ? 2 ? 2 2 ? 3 ? 23 ? ? ? n ? 2 n ① ②

2S n ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? ? ? (n ? 1) ? 2n ? n ? 2n?1
① -② 得

? S n ? 21 ? 22 ? 23 ? ? ? 2n ? n ? 2n?1
? Sn ? 2(1 ? 2 n ) ? n ? 2 n?1 1? 2

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……………11 分

S n ? 2(1 ? 2n ) ? n ? 2 n?1 ? 2 ? (n ? 1) ? 2n?1
n ?1 所以 Tn ? 2 ? (n ? 1) ? 2 ?

n(n ? 1) 2

……12 分

19. (本题满分 12 分) 解:解: )∵AB⊥平面 BCD,∴AB⊥BC,AB⊥BD. (Ⅰ ∵△BCD 是正三角形,且 AB=BC=a,∴AD=AC= 2a .………2 分

设 G 为 CD 的中点,则 CG=

1 7 a ,AG= a. 2 2

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∴ S ?ABC ? S ?ABD ?

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1 2 3 2 7 2 a , S ?BCD ? a , S ?ACD ? a .………5 分 2 4 4

三棱锥 D-ABC 的表面积为

S D ? ABC ?

4? 3? 7 2 a .………6 分 4

(Ⅱ)取 AC 的中点 H,∵AB=BC,∴BH⊥AC. ∵AF=3FC,∴F 为 CH 的中点. ∵E 为 BC 的中点,∴EF∥BH.则 EF⊥AC.……8 分 ∵△BCD 是正三角形,∴DE⊥BC. ∵AB⊥平面 BCD,∴AB⊥DE. ∵AB∩BC=B,∴DE⊥平面 ABC.∴DE⊥AC ∵DE∩EF=E,∴AC⊥平面 DEF. ?12 分 20. (本题满分 12 分) 解: ) 设椭圆方程为 (Ⅰ

x2 y 2 =1(a>b>0),由焦点坐标可得 c=1………1 分 ? a 2 b2

2b 2 =3,……………………………………………2 分 a 解得 a=2,b= 3 ,…………………………………………………3分 x2 y 2 故椭圆方程为 ? =1……………………………………………4 分 4 3 (Ⅱ) 设 M ( x1 , y1 ) ,N ( x2 , y2 ) ,不妨 y1 >0, y2 <0,设△ F1 MN 的内切圆的半
由 | PQ | =3,可得 径为 R, 则△ F1 MN 的周长=4a=8, S ?F1MN ?

1 (MN+ F1 M+ F1 N)R=4R 2

因此 S?F1MN 最大,R 就最大,………………………………………6 分

S?F1MN ?

1 F1 F2 ( y1 ? y2 ) ? y1 ? y2 , 2

由题知,直线 l 的斜率不为零,可设直线 l 的方程为 x=my+1,

? x ? my ? 1 ? 2 2 由 ? x2 y 2 得 (3m ? 4) y +6my-9=0,………………………8分 ?1 ? ? 3 ?4
得 y1 ?

?3m ? 6 m 2 ? 1 ?3m ? 6 m 2 ? 1 y2 ? , , 3m 2 ? 4 3m 2 ? 4 12 m 2 ? 1 1 F1 F2 ( y1 ? y2 )= y1 ? y2 = ,……………9 分 2 3m 2 ? 4
12 m2 ? 1 12t 12 ? 2 ? ,………………………10 分 2 3m ? 4 3t ? 1 3t ? 1 t

则 S ?F1MN ?
2

令 t= m ? 1 ,则 t≥1, 则 S?F1MN ?

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1 t

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1 , t2

令 f(t)=3t+ ,则 f′(t) =3-

当 t≥1 时,f′(t)≥0,f(t)在[1,+∞)上单调递增,

12 =3, 4 12 3 即当 t=1,m=0 时, S?F1MN ≤ =3, S?F1MN =4R,∴Rmax = , 4 4 9 这时所求内切圆面积的最大值为 π. 16 9 故直线 l 方程为 x=1,△ F1MN 内切圆面积的最大值为 π…………12 分 16
有 f(t)≥f(1)=4, S?F1MN ≤ 21. (本题满分 12 分)

b ( x ? 1) ? (a ? b ln x) a ? b ln x f ( x) ? ? f ?( x) ? x 解: )由 (Ⅰ x ?1 ( x ? 1) 2 而点 (1, f (1)) 在直线 x ? y ? 2 上 ? f (1) ? 1 ,又直线 x ? y ? 2 的斜率为 ?1 ? f ?(1) ? ?1

? a ? 2 ?1 ?a ?2 故有 ? ……………5 分 ?? 2b ? a ? ? ?1 ?b ? ?1 ? 4 2 ? ln x ( x ? 0) (Ⅱ )由(Ⅰ )得 f ( x ) ? x ?1 2 x ? x ln x ?m 由 xf ( x) ? m ? x ?1 2 x ? x ln x (1 ? ln x)(x ? 1) ? (2 x ? x ln x) 1 ? x ? ln x 令 g ( x) ? ……7 分 ? g / ( x) ? ? x ?1 ( x ? 1) 2 ( x ? 1) 2 1 令 h( x) ? 1 ? x ? ln x ? h?( x) ? ?1 ? ? 0( x ? 0) ,故 h(x) 在区间 (0,??) 上是减函数,故 x 当 0 ? x ? 1 时, h( x) ? h(1) ? 0 ,当 x ? 1 时, h( x) ? h(1) ? 0 / 从而当 0 ? x ? 1 时, g ?( x) ? 0 ,当 x ? 1 时, g ( x) ? 0
? g (x) 在 (0,1) 是增函数,在 (1,??) 是减函数,故 g ( x) max ? g (1) ? 1 ……………11 分
要使

2 x ? x ln x ? m 成立,只需 m ? 1 x ?1
2 1 AB ,? BE ? AB . 3 3

………………12 分

22. (本小题满分 10 分) 【选修 4—1:几何证明选讲】 (Ⅰ)证明:? AE ?

1 ? 在正△ ABC 中, AD ? AC ,? AD ? BE , 3
又? AB ? BC , ?BAD ? ?CBE ,

? △BAD≌△CBE,? ?ADB ? ?BEC ,

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即 ?ADF ? ?AEF ? π ,所以 A , E , F , D 四点共圆. …………………………(5 分)

(Ⅱ)解:取 AE 的中点 G ,连结 GD ,则 AG ? GE ?

1 AE . 2

? AE ?

2 1 2 AB ,? AG ? GE ? AB ? , 3 3 3

1 2 ? AD ? AC ? , ?DAE ? 60? , 3 3

? △AGD 为正三角形, ? GD ? AG ? AD ?
2 2 ,即 GA ? GE ? GD ? , 3 3 2 . 3 2 .…(10 分) 3

所以点 G 是△AED 外接圆的圆心,且圆 G 的半径为

由于 A , E , F , D 四点共圆,即 A , E , F , D 四点共圆 G ,其半径为 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

π 解: (I)当 α= 时,C1 的普通方程为 y= 3(x-1),C2 的普通方程为 x2+y2=1. 3 1 3 y= 3(x-1)与 x2+y2=1 联立解得 C1 与 C2 的交点为(1,0),( ,- ).…(5 分) 2 2 (II)C1 的普通方程为 xsinα-ycosα-sinα=0. A 点坐标为(sin2α,-cosαsinα), 故当 α 变化时,P 点轨迹的参数方程为

?x=2sin α, ? 1 ?y=-2sinαcosα,
1
2

1 1 (α 为参数). P 点轨迹的普通方程为(x- )2+y2= . 4 16

1 1 故 P 点轨迹是圆心为( ,0),半径为 的圆. 4 4 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲

…………(10 分)

解: ? 2m ? n | ? | 2m ? n |?| 2m ? n ? 2m ? n |? 4 | m | 对于任意非零实数 m 和 n 恒成立, (I) | 当且仅当 (2m ? n)(2m ? n) ? 0 时取等号,

?
(II)

| 2m ? n | ? | 2m ? n | 的最小值等于 4. |m| |m? 2 ? m?n | n | | ?| 2? x ? | ? x ? | | 2 恒成立, |m| | m ? 2n | ? | m ? n | 的最小值. |m|

…………5 分

故 | 2 ? x | ? | 2 ? x | 不大于

…………7 分

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3 | m ? 2n | ? | m ? n | n n ?|1 ? 2 | ? |1 ? | 的最小值等于 , 2 |m| m m 3 的解. 2

实数 x 的取值范围即为不等式 | 2 ? x | ? | 2 ? x |? 解不等式得 x ?

3 4

所以实数 x 的取值范围 ? ??, ? 4

? ?

3? ?

…………10 分

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