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高中数学必修3(人教A版)第二章统计2.3知识点总结含同步练习及答案


高中数学必修3(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案
第二章 统计 2.3 变量间的相关关系

一、学习任务 1. 能通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图,并利用散点图直观认识变量间的相关 关系. 2. 了解线性回归的方法,了解用最小二乘法研究两个变量的线性相关问题的思想方法,会根据给出 的线性回归方程系数公式建立线性回归方程(不要求记

忆系数公式).

二、知识清单
相关关系 线性相关

三、知识讲解
1.相关关系 描述: 变量与变量之间的关系 一类是确定性的函数关系,像正方形的边长 a 和面积 S 的关系 .另一类是变量间确实存在关系,但 又不具备函数关系所要求的确定性,它们的关系是带有随机性的.例如,人的身高不能确定体重,但一 般说来“身高者,体也重”.我们说身高与体重这两个变量具有相关关系. 函数关系与相关关系的异同点 相同点:是两者均是指两个变量的关系; 不同点:①函数关系是一种确定性的关系,相关关系是一种非确定性的关系.②函数关系式一种因果关 系,而相关关系不一定是因果关系,其也可能是伴随关系. 例题: 给出下列关系: ①正方形的边长与面积之间的关系;②水稻产量与施肥量之间的关系;③降雪量与交通事故的发生率之 间的关系.其中具有相关关系的是______. 解:②③ 两个变量之间的关系有两种:函数关系与相关关系.①正方形的边长和面积之间的关系是函数关系.② 水稻产量与施肥量之间的关系不是严格的函数关系,但是具有相关性,因而是相关关系.③降雪量与交 通事故的发生率具有相关关系. 下图中的两个变量是相关关系的是( )

A.①② B.①③ C.②④ D.②③ 解:D ①属于函数关系,因为每个 x 值对应一个 y 值,这是确定性的关系;②中散点图中各点分布的区域 大致为从左下角到右上角,没有确定的函数关系,但是具有相关关系;③中散点图分布的区域大致在一 条曲线附近,对于每个 x ,其对应的 y 呈现出一定的规律性,因此这两个变量具有相关关系;④ 中 各点的分布比较均匀,但对于每个 x,y 的分布没有规律,因此不属于相关关系.

2.线性相关 描述: 两个变量的线性关系 对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析. 将样本中的n个数据点(xi , y i )(i = 1 ,2 ,?,n)描在平面直角坐标系中,就得到了散点图.如果两

个变量的散点图中的点散步在左下角到右上角的区域,即一个变量的值由小变大时,另一个变量的值也 由小变大,我们将这种相关称为正相关.如果两个变量的散点图中的点散步的位置是从左上角到右下角 的区域,即一个变量的值由小变大是,另一个变量的值由大变小,我们将这种相关称为负相关.

如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近,我们就称这两个变量具有线性相关关系. 回归直线方程 “最贴近”已知的数据点的直线方程称之为回归直线方程,简称回归方程,方程为y ^ = a + bx,b 叫 做回归系数.y i ? y ^ i 刻画了实际观察值y i 与回归直线上相应点纵坐标之间的偏离程度,n个离差构成的 总离差越小越好,总离差通常是用离差的平方和来表示,即Q = ∑ (y i ? a ? bx i )2 作为总离差,并使
i=1 n

之达到最小.回归直线就是所有直线中Q取最小的那一条.由于平方又叫二乘方,所以这种使“离差平 方和最小”的方法,叫做最小二乘法.

其中^ b=

i=1 n

?y ? ∑ xi y i ? nx
i=1

n

?2 ∑ x2 i ? nx

,a ^=y ??^ ? ,其中a ,b 的上方加“^ ”,表示是由观察值按最小二乘法求得 bx

的估计值,^ b 也叫回归系数. 例题: 对变量x ,y 有观测数据(x i , y i )(i = 1 ,2 ,?,10),得散点如下图1;对变量uv 有观测数据 ) (ui , v i )(i = 12?10),得散点图2.由这两个散点图可以判断(

A.变量x与y 正相关,u 与v 正相关 B.变量x与y 正相关,u 与v 负相关 C.变量x与y 负相关,u 与v 正相关 D.变量x与y 负相关,u 与v 负相关 每立方米混凝土的水泥用量x(单位:kg )与28天后混凝土的抗压强度y (单位:kg/cm 2 )之间的关系 如下:

i xi yi xi y i

1 150 56.9 8535

2 160 58.3 9328

? = 205,y ? = 72.6 , ∑ x2 x i = 518600 , ∑ x i y i = 182943 .
于是有^ b=
i=1

12

3 4 170 180 61.6 64.6 10472 11628

5 190 68.1 12939
12 i=1

6 200 71.3 14260

7 210 74.1 15561

8 220 77.4 17028

9 10 230 240 80.2 82.6 18446 19824

11 250 86.4 21600

12 260 89.7 23322

?y ? ∑ xi y i ? nx
i=1

12

i=1

^ ??^ ? = 72.6 ? 0.304 × 205 = 10.280. a=y bx 故所求的回归方程是y ^ = 0.304x + 10.280.
为了了解儿子身高与其父亲身高的关系,随机抽取5 对父子的身高数据如下: 儿子身高y(cm) 则y 对x的线性回归方程为( A.y ^ = x?1 B.y ^ = x+1 C.y ^ = 88 + D.y ^ = 176 解:因为x ?= 父亲身高x(cm)

?2 ∑ x2 i ? nx

12

=

182943 ? 12 × 205 × 72.6 518600 ? 12 × 205
2

=

4347 ≈ 0.304 , 14300

174 175

176 176 175 176


176 177

178 177

1 x 2

174 + 176 + 176 + 176 + 178 175 + 175 + 176 + 177 + 177 ?= = 176 ,y = 176 ,又 5 5 ?, y ? ),所以讲(176, 176)代入A、B、C、D中检验可知选C项. y 对x的线性回归方程表示的直线恒过点(x

四、课后作业

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1. 下列两个变量之间是相关关系的是 ( A.圆的面积与半径 C.角度与它的正弦值
答案: D 解析: 相关关系不是确定的函数关系.

)
B.球的体积与半径 D.一个考生的数学成绩与物理成绩

2. 在一组样本数据 (x 1 , y 1 ) , (x 2 , y 2 ) , ? , (xn , y n ) ( n ? 2, x1 , x2 , ? , xn 不全相等)的散点图中,若所有样 本点 (x i , y i ) (i = 1, 2, ? , n) 都在直线 y = A.?1
答案: D

B.0

1 x + 1 上,则这组样本数据的样本相关系数为 ( 2 1 C. D.1 2 1.

)

解析: 有题设知,这组样本数据完全正相关,故其相关系数为

3. 某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表:

26 39 54 ?x + a ? 为 9.4,据此模型预报广告费用为 6 万元时,销售额为 ( 根据上表可得回归方程 y ?=b ? 中的 b
销售额y (万元) A.63.6 万元
答案: B 解析: 由数据统计表可得

广告费用x (万元)

49

4

2

3

5

)

B.65.5 万元

C.67.7 万元

D.72.0 万元

? = 3.5 ,y ? = 42 .据回归直线的性质得,点 (3.5, 42) 在回归直线上,代入方程 x ? ? ,可得 ? .故回归直线方程为 ? = 9.4x + 9.1 ,因此当 x = 6 时,估计销售额 y = 9.4x + a a = 9.1 y ? = 9.4 × 6 + 9.1 = 65.5 万元. y

4. 变量 X 与 Y 相对应的一组数据为 (10, 1),(11.3, 2),(11.8, 3),(12.5, 4),(13, 5);变量 U 与 V 相对应 的一组数据为 (10, 5),(11.3, 4),(11.8, 3),(12.5, 2),(13, 1).r1 表示变量 Y 与 X 之间的线性相关系 数,r2 表示变量 V 与 U 之间的线性相关系数,则 ( A.r2 < r1 < 0
答案: C 解析: 分别画出两组数据的散点图,观察可得变量

)
C.r2 < 0 < r1 D.r2 = r1

B.0 < r2 < r1

∴ r1 > 0, r2 < 0 .

Y 与 X 正相关,变量 V 与 U 负相关,

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