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福建省达标校2014-2015学年高二暑期集训营(四)数学理试题


福建省达标校 2014—2015 学年高二暑期集训营(四)

数学(理)试题
一、选择题本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中只有一个选 项是符合题意的,把正确选项的代号涂在答题卡上。 1.若 a ? b ? 0, c ? d ,则一定有 A.

a?c ?b?d

B. a

? c ? b ? d

C. ac ? bd

D.

a b ? c d
D.5

2. 在△ ABC 中,已知 a=5, b=4, ∠C=60° ,则 C 边长为 A. 21 ` B. 61 C. 41

3.抛物线 y =4x 2 上的一点 M 到焦点的距离为 1,则点 M 的纵坐标为 A.

17 16

B.

15 16

C.

7 8

D.0

4.已知空间直角坐标系中点 A(1,0,0),B(2,0,1),C(0,1,2),则平面 的一个 法向量为 A.(-1,-3,2) B. (1,3,-1) C.(1,3,1) D.(-1,3,1) 5.设椭圆

x2 y 2 x2 ? ? 1 和双曲线 ? y 2 ? 1有公共焦点为 F1、 F2,P 是两曲线的一 6 2 3
1 3 1 9 1 10

个公共点,则 cos∠F1PF2= A.

1 4

B.

C.

D.

321 2n ? 1 6.数列 ?an ? 的通项公式是 an ? ,其前 n 项和 S n ? ,则项数 n= 64 2
A.13 B.10 C .9 D.6 7.在△ ABC 中,若 acos B= c ,则△ ABC 的形状一定是 A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形

?x ? 0 4 ? 8.若不等式组 ? x ? 3 y ? 4, 所表示的平面区域被直线 y ? kx ? 分为面积相等的两部分,则 k 3 ?3 x ? y ? 4 ?
的值是

4 A. 3

B.

3 4

C.

7 3

D.

3 7

二.填空题(每小题 5 分,共 25 分. 把正确答案填入答题卡中相应的横线上) 9.命题“若 ab=0,则 a=0,或 b=0”的否命题是 .

10. 一船以每小时 15km 的速度向东航行,船在 A 处看到一个灯塔 B 在北偏东 60° , 行驶4h 后, 船到达 C 处,看到这个灯塔在北偏东 15° ,这时船与灯塔的距离为 km. 11.焦点在 轴上且焦距为 10,一条渐近线方程为 y ?

3 x 的双曲线的标准方程为 4



12. 正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, M, N 分别是棱 A1D1、 C1C 中点, 则异面直线 A1D 与 MN 所成角的余弦值为 . 13、 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn, , 令 Tn ?

S1 ? S 2 ? ? ? S n ? ? ? , 称 Tn 为数列 a1, a2, …, n

an 的“理想数”,已知数列 a1,a2,a3,…,a100 的“理想数”为 101,那么数列 2,a1,a2, a3,…,a100 的“理想数”为___________. 三、解答题(本大题共 3 小题,满分 35 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 14.(本题满分 11 分)已知:等差数列 ?an ? 中,a4=14,前 10 项和 S10=185。 (1)求 an; (2)?an ? 中的第 2 项,第 4 项,…,第 2x 项按原来的顺序排成一个新数列,求此数列的 前 n 项和 Gn。

15、(本题满分 12 分)已知命题 p:方程

x2 y2 ? ? 1 ?表示焦点在 y 轴上的椭圆,命 2m m ? 1

题 q :双曲线

y 2 x2 ? ? 1 的 离 心 率 e ? (1,2),若 “p 或 q ”为真,且“ p 且 q ”为 5 m

假。求实数 m 的取值范围.

16、(本题满分 12 分)在△ ABC 中,角 A,B ,C 的对边分别为 a ,b, c, B=

? , 6

3 cos A ? , b ? 2 5
(1)求 sinC 的值; (2)求△ ABC ?的面积.

第二部分 能力测试(50 分) 四、解答题(本大题共 4 小题,共 50 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) . 17、(本题满分 13 分)如图,四边形 ABCD 与 A?ABB ?都是边长为 a 的正方形,点 E 是 A? A 的中点,A? A⊥平面 ABCD ? ' (1) 求证: C A' //平面 BDE; (2) 求证:平面 A?AC ⊥平面 BDE

(3) 求平面 BDE 与平面 ABCD 所成锐二面角的正切值。

18. (本题满分 11 分) 如图, 某单位准备修建一个面积为 600 平方米的矩形场地(图中 ABCD) 的围墙,且要求中间用围墙 EF 隔开,使得 ABEF 为矩形,EFDC 为正方形,设 AB= x 米,已知围墙(包括 EF)的修建费用均为 800 元每平方米,设围墙(包括 EF)的修建总 费用为 y 元. (1)求出 y 关于 x 的函数解析式; (2)当 x 为何值时,围墙(包括 EF)的修建总费用 y 最小?并求出 y 的最小值.

19. (本题满分 12 分) 已知椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

的一个焦点是 F(1,0),且离心率为

1 . 2

(1)求椭圆 C 的方程; (2)设经过点 F 的直线交椭圆 C 于 M,N 两点,线段 MN 的垂直平分线交 y 轴于点 P(0, y0),求 y0 的取值范围.

20.(本题满分 14 分)对于函数 f ( x ) ,若存在 x0 ? R 使 f ( x0 ) ? x0 成立,则称 x0 为 f ( x ) 的

1 x2 ? a (b, c ? N ) 有且只有两个不动点 0,2,且 f ( ?2) ? ? 不动点.如果函数 f ( x) ? 2 bx ? c
(1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)已知各项不为零的数列 ?an ? 满足 4Sn . f ( 项 an; (3)如果数列 ?an ? 满足 a1 ? 4, an?1 ? f (an ) ,求证:当 n ? 2 时,恒有 an ? 3 成立

1 ) ? 1( Sn 为 ?an ? 的前 n 项的和),求数列通 an


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