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2011年数学文(北京)


2011 年普通高等学校招生全国统一考试

数学(文) (北京卷)
本试卷共 5 页,150 分.考试时间长 120 分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.

第一部分(选择题

共 40 分)

一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一 项. 1.已知全集 U=R,集合 P={x︱x2≤1},那么 A.(-∞, -1] C.[-1,1] 2.复数 B.[1, +∞) D.(-∞,-1] ∪[1,+∞)

i?2 ? 1 ? 2i
B.-i C. ?

A.i

4 3 ? i 5 5

D. ?

4 3 ? i 5 5

3.如果 log1 x ? log1 y ? 0, 那么
2 2

A.y< x<1 C.1< x<y

B.x< y<1 D.1<y<x

4.若 p 是真命题,q 是假命题,则 A.p∧ 是真命题 q B.p∨ 是假命题 q C.﹁p 是真命题 D.﹁q 是真命题 5.某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的表面积是 A.32 B.16+16 2 C.48 D.16+32 2 6.执行如图所示的程序框图,若输入 A 的值为 2,则输入的 P 值为 A.2 B.3 C.4 D.5 7. 某车间分批生产某种产品, 每批的生产准备费用为 800 元.若每批生产
1

x 件,则平均仓储时间为

x 天,且每件产品每天的仓储费用为 1 元.为使平均没见产品的生产准 8

备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品 A.60 件 B.80 件 C.100 件 D.120 件 8.已知点 A(0,2) ,B(2,0) .若点 C 在函数 y = x 的图像上,则使得 ΔABC 的面积为 2 的点 C 的 个数为 A.4 B.3 C.2 D.1

第二部分

(非选择题 共 110 分)

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.在 ?ABC 中.若 b=5, ?B ? 10.已知双曲线 x ?
2

?
4

,sinA=

1 ,则 a=___________________. 3
.

y2 ? 1( b >0)的一条渐近线的方程为 y ? 2 x ,则 b = b2

11.已知向量 a=( 3 ,1) ,b=(0,-1) ,c=(k, 3 ).若 a-2b 与 c 共线,则 k=________________. 12.在等比数列{an}中,a1=

1 ,a4=4,则公比 q=______________;a1+a2+…+an= _________________. 2

?2 x?2 ? , 13.已知函数 f ( x) ? ? x 若关于 x 的方程 f(x)=k 有两个不同的实根,则实数 k 的取 3 ?( x ? 1) , x ? 2 ?
值范围是_______ 14.设 A(0,0),B(4,0),C(t+4,3) ,D(t,3) ? R).记 N(t)为平行四边形 ABCD 内部(不含 (t 边界)的整点的个数,其中整点是指横、纵坐标都是整数的点,则 N(0)= N(t) 的所有可能取值为 三、解答题 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? 4 cos x sin( x ? (Ⅰ )求 f ( x ) 的最小正周期: (Ⅱ )求 f ( x ) 在区间 ? ?

?
6

) ?1 .

? ? ?? 上的最大值和最小值. , ? 6 4? ?

16. (本小题共 13 分) 以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树.乙组记录中有一个数据模糊,无法确认,
2

在图中以 X 表示.

(1)如果 X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差; (2)如果 X=9,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,求这两名同学的植树总棵数为 19 的 概率. (注:方差 s ?
2

1 [( x1 ? x) 2 ? ( x 2 ? x) 2 ? ? ( x n ? x) 2 ], 其中 x 为 x1 , x2 ,?, xn 的平均数) n

17. (本小题共 14 分) 如图,在四面体 PABC 中,PC⊥ AB,PA⊥ BC,点 D,E,F,G 分别是棱 AP,AC,BC,PB 的中点. (Ⅰ )求证:DE∥ 平面 BCP; (Ⅱ )求证:四边形 DEFG 为矩形; (Ⅲ )是否存在点 Q,到四面体 PABC 六条棱的中点的距离相等?说明理由.

18. (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? ( x ? k )e .
x

(Ⅰ )求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ )求 f ( x ) 在区间[0,1]上的最小值.

19. (本小题共 14 分)

3

已知椭圆 G :

x2 y 2 6 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 , 右焦点为 2 2 ,0) 斜率为 I 的直线 l 与 ( , 2 a b 3

椭圆 G 交与 A、B 两点,以 AB 为底边作等腰三角形,顶点为 P(-3,2). (I)求椭圆 G 的方程; (II)求 ?PAB 的面积.

20. (本小题共 13 分) 若 数列 An : a1 , a2 , ???, an (n ? 2) 满 足 ak ?1 ? ak ? 1(k ? 1, 2, n ? 1) 则称 An 为 E 数 列 ,记 , ??? ,

S ( An ) ? a1 ? a2 ???? ? an .
(Ⅰ )写出一个 E 数列 A5 满足 a1 ? a3 ? 0 ; (Ⅱ )若 a1 ? 12 ,n=2000,证明:E 数列 An 是递增数列的充要条件是 an =2011; (Ⅲ )在 a1 ? 4 的 E 数列 An 中,求使得 S ? An ? =0 成立得 n 的最小值.

参考答案

4

一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) (1)D (2)A (3)D (4)D (5)B (6)C (7)B (8)A 二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) (9)

5 2 3

(10)2

(11)1

(12)2

2 n ?1 ?

1 2

(13) (0,1) (14)6 三、解答题(共 6 小题,共 80 分) (15) (共 13 分) 解: )因为 f ( x) ? 4 cos x sin( x ? (Ⅰ

6,7,8,

?
6

) ?1

? 4 cos x(

3 1 sin x ? cos x) ? 1 2 2

? 3 sin 2 x ? 2 cos2 x ? 1
? 3 sin 2x ? cos2x
? 2 sin( 2 x ?

?
6

)

所以 f (x) 的最小正周期为 ? (Ⅱ )因为 ?

?
6

?x? ?

?
4

, 所以 ?

?
6

? 2x ?

?
6

?

于是,当 2 x ? 当 2x ?

?
6

?
2

, 即x ?

?
6

2? . 3

时, f (x) 取得最大值 2;

?
6

??

?

, 即x ? ? 时, f ( x) 取得最小值—1. 6 6

?

(16) (共 13 分) 解(1)当 X=8 时,由茎叶图可知,乙组同学的植树棵数是:8,8,9,10, 所以平均数为

x?

8 ? 8 ? 9 ? 10 35 ? ; 4 4

方差为

1 35 35 35 11 s 2 ? [(8 ? ) 2 ? (9 ? ) 2 ? (10 ? ) 2 ] ? . 4 4 4 4 16
(Ⅱ )记甲组四名同学为 A1,A2,A3,A4,他们植树的棵数依次为 9,9,11,11;乙组 四名同学为 B1,B2,B3,B4,他们植树的棵数依次为 9,8,9,10,分别从甲、乙两组中 随机选取一名同学,所有可能的结果有 16 个,它们是: (A1,B1)(A1,B2)(A1,B3)(A1,B4) , , , , (A2,B1)(A2,B2)(A2,B3)(A2,B4) , , , , (A3,B1)(A2,B2)(A3,B3)(A1,B4) , , , ,
5

(A4,B1)(A4,B2)(A4,B3)(A4,B4) , , , , 用 C 表示: “选出的两名同学的植树总棵数为 19”这一事件, C 中的结果有 4 个, 则 它们是: 1, (A B4)(A2,B4)(A3,B2)(A4,B2) , , , ,故所求概率为 P (C ) ? (17) (共 14 分) 证明: )因为 D,E 分别为 AP,AC 的中点, (Ⅰ 所以 DE//PC。 又因为 DE ? 平面 BCP, 所以 DE//平面 BCP。 (Ⅱ )因为 D,E,F,G 分别为 AP,AC,BC,PB 的中点, 所以 DE//PC//FG,DG//AB//EF。 所以四边形 DEFG 为平行四边形, 又因为 PC⊥ AB, 所以 DE⊥ DG, 所以四边形 DEFG 为矩形。 (Ⅲ )存在点 Q 满足条件,理由如下: 连接 DF,EG,设 Q 为 EG 的中点 由(Ⅱ )知,DF∩EG=Q,且 QD=QE=QF=QG=

4 1 ? . 16 4

1 EG. 2

分别取 PC,AB 的中点 M,N,连接 ME,EN,NG,MG,MN。 与(Ⅱ )同理,可证四边形 MENG 为矩形,其对角线点为 EG 的中点 Q, 且 QM=QN=

1 EG, 2

所以 Q 为满足条件的点. (18) (共 13 分) 解: ) f ?( x) ? ( x ? k ? 1)e 3 . (Ⅰ 令 f ??x ? ? 0 ,得 x ? k ? 1 .

f (x) 与 f ?(x) 的情况如下:
x ( ? ?, k ? k ) —— ↗

k ?1
0

( (k ? 1,??) + ↗

f ?(x) f (x)

? e k ?1

所以, f (x) 的单调递减区间是( ? ?, k ? 1 ) ;单调递增区间是 (k ? 1,??) (Ⅱ )当 k ? 1 ? 0 ,即 k ? 1 时,函数 f (x) 在[0,1]上单调递增, 所以 f (x)在区间[0,1]上的最小值为 f (0) ? ?k ;

1 当 0 ? k ? 1 ? 1,即 ? k ? 2 时,
6

由(Ⅰ )知 f ( x)在[0, k ?1] 上单调递减,在 (k ? 1,1] 上单调递增,所以 f ( x ) 在区间[0,1]上的 最小值为 f (k ? 1) ? ?ek ?1 ; 当 k ? 1 ? t ,即k ? 2 时,函数 f ( x ) 在[0,1]上单调递减, 所以 f ( x ) 在区间[0,1]上的最小值为 f (1) ? (1 ? k )e. (19) (共 14 分) 解: )由已知得 c ? 2 2, (Ⅰ 解得 a ? 2 3. 又 b2 ? a2 ? c2 ? 4.

c 6 ? . a 3

所以椭圆 G 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 12 4

(Ⅱ )设直线 l 的方程为 y ? x ? m.

?y ? x ? m ? 由 ? x2 得 y2 ? ?1 ? ? 12 4

4x 2 ? 6mx ? 3m2 ? 12 ? 0.
设 A、B 的坐标分别为 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 )(x1 ? x2 ), AB 中点为 E ( x0 , y0 ) , 则 x0 ?

x1 ? x 2 3m ?? , 2 4
m 4

y 0 ? x0 ? m ?

因为 AB 是等腰△PAB 的底边, 所以 PE⊥ AB.

m 4 ? ?1. 所以 PE 的斜率 k ? 3m ?3? 4 2?
解得 m=2。 此时方程① 4x ? 12x ? 0. 为
2

解得 x1 ? ?3, x2 ? 0. 所以 y1 ? ?1, y 2 ? 2.
7

所以|AB|= 3 2 . 此时,点 P(—3,2)到直线 AB: x ? y ? 2 ? 0 的距离 d ?

| ?3 ? 2 ? 2 | 2

?

3 2 , 2

所以△PAB 的面积 S=

1 9 | AB | ?d ? . 2 2

(20) (共 13 分) 解: )0,1,0,1,0 是一具满足条件的 E 数列 A5. (Ⅰ (答案不唯一,0,—1,0,1,0;0,± 1,0,1,2;0,± 1,0,—1,—2;0,± 1,0,—1, —2,0,± 1,0,—1,0 都是满足条件的 E 的数列 A5) (Ⅱ )必要性:因为 E 数列 A5 是递增数列, 所以 ak ?1 ? ak ? 1(k ? 1,2,?,1999 . ) 所以 A5 是首项为 12,公差为 1 的等差数列. 所以 a2000=12+(2000—1)× 1=2011. 充分性,由于 a2000—a1000≤1, a2000—a1000≤1 …… a2—a1≤1 所以 a2000—at≤19999,即 a2000≤a1+1999. 又因为 a1=12,a2000=2011, 所以 a2000=a1+1999. 故 an?1 ? an ? 1 ? 0(k ? 1,2,?,1999 即An 是递增数列. ), 综上,结论得证. (Ⅲ )对首项为 4 的 E 数列 Ak,由于

a2 ? a1 ? 1 ? 3,

a3 ? a2 ? 1 ? 2,
……

a5 ? a7 ? 1 ? ?3.
…… 所以 a1 ? a2 ? ? ? ak ? 0(k ? 2,3,?,8) 所以对任意的首项为 4 的 E 数列 Am,若 S ( Am ) ? 0, 则必有 n ? 9 . 又 a1 ? 4 的 E 数列 A1 : 4,3,2,1,0,?1,?2,?3,?4满足S ( A1 ) ? 0, 所以 n 是最小值是 9.

8

9


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