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用 2.3.1离散型随机变量均值


引入:某商场为满足市场需求要将单价分别为18元 /kg ,24元/kg ,36元/kg 的3种糖果按3:2:1的 比例混合销售,其中混合糖果中每一颗糖果的质量 都相等,如何对混合糖果定价才合理? 定价为
18+24+36 ? 26 3

可以吗?

问题1.某商场要将单价为18元/kg,24元/kg,36元 /kg的3种糖果按

3:2:1的比例混合销售,如何对混合 糖果定价才合理? 18 ? 3 ? 24 ? 2 ? 36 ? 1 ? 23 6 6 6 (如果混合糖果中的每一颗质量都相等,你能解 释权数的实际意义吗?) 权数恰好就是概率 从混合糖果中任取一颗,它单价分别为 1 1 1 18元/kg,24元/kg,36元/kg的概率分别是 2 , 3 , 6 . 用X表示糖果价格,则它 是一个离散型随机变量, 其分布列为: X P 18
3 6

24
2 6

36
1 6

假如从这种混合糖果中随机选取一颗,记X为这颗 如果你买了1kg这种混合 糖果所属种类的单价(元 ),你能写出X的分布列吗? kg 糖果,你要付多少钱?

而你买的糖果的实际价值 解:随机变量X 可取值为 18 , 24和36 刚好是 23 元吗? 1 1

1 而P( X ? 18) ? , P( X ? 24) ? , P( 样本平均值 X ? 36) ? 2 3 6 所以X分布列为
x p 18 1/2 24 1/3 权数 36 1/6 加权平均

18×1/2+24×1/3+36×1/6 =23

=18×P(X=18)+24×P(X=24)+36×P(X=36)

1、离散型随机变量均值的定义
一般地,若离散型随机变量X的概率分布为 X P

x1 p1

x2 … p2 …

xi pi

… …

xn pn
xn pn 为随机变量

则称 E ? X ? ? x1 p1 ? x2 p2 ?

? xi pi ?

X的均值或数学期望,数学期望又简称为期望。
它反映了离散型随机变量取值的平均水平。

平均水平:反复队这个随机变量进行独立观测,
随着观测次数的增加,所得到的各个观测值的算术 平均值越来越接近于这个随机变量的均值

归纳求离散型随机变量的均值(期望)的步骤:
①、确定离散型随机变量可能的取值。 ②、写出分布列,并检查分布列的正确与否。

③、求出均值(期望)。

例1、随机抛掷一个均匀的骰子,求所得骰子 的点数X的均值 解:随机变量X的取值为1,2,3,4,5,6
其分布列为 X 1 2 3 4 5 6

P

1/6

1/6

1/6 你能理解 1/6 3.5 1/6
的含义吗?

1/6

所以随机变量X的均值为E(X)=1× 1/6+2× 1/6 +3×1/6+4× 1/6+5× 1/6+6× 1/6=3.5 变式:将所得点数的2倍加1作为得分数,即Y=2X+1, 试求Y的均值?

变式:将所得点数的2倍加1作为得分数,即Y=2X+1, 试求Y的均值?
解:随机变量Y的取值为3,5,7,9,11,13 其分布列为
Y 3 5 7 9 11 13

X P

1 1/6

2 1/6

3 1/6

4 1/6

5 1/6

6 1/6

所以随机变量Y的均值为E(Y) =3×1/6+5×1/6 +7×1/6+9×1/6+11×1/6+13×1/6=8

=2E(X)+1

2、随机变量的期望值(均值)的线性性质

设X为离散型随机变量,若Y=aX+b,其中a,b 为常数,则Y也是离散型随机变量
a

且E(Y)=E(aX+b)=

aE(X)+b

若Y=aX+b,则EY=aEX+b 特别地:E(c)=c(其中c为常数)

X P

x1

p1

p2

x2

· · · · · ·

pi

xi

· · · xn · · · pn

x2 x1 X Y ax1 ? b ax2 ? b p1 p2 P

· · · xi · · · xn · · · axi ? b · · · axn ? b · · · pi · · · pn

E ( (ax1)? (1b 2 p ) ? ( ?) b p ? ? axn ? b pn E (Y) )?? 2 ax
? a( x1 p1 ? x2 p2 ? ?? xn pn ) ? b( p1 ? p2 ? ?? pn )

? aE ( X ) ? b

(Y ? aX ? b, 其中 数 a,常 b为

)

练习: 1、随机变量ξ的分布列是
ξ 1 3 5

P

0.5

0.3

0.2

(1)则Eξ=

2.4

. 5.8 .

(2)若η=2ξ+1,则Eη=

2、随机变量ξ的分布列是
ξ P 4 0.3 7 a 9 b 10 0.2

Eξ=7.5,则a=

0.1 b= 0.4 .

3、几个特殊分布的期望

例2、篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分, 罚不中得0分.已知姚明目前罚球命中的概率为 0.85,求他罚球1次的得分ξ的均值?
解:ξ的分布列为
ξ P 0 0.15 1-P 1 0.85 P

所以

Eξ=0×P(ξ=0)+1×P(ξ=1)

=0×0.15 1-P +1×0.85 P =0.85 P .
结论1:两点分布的期望:若X~B(1,p),则EX=p

求证: 若ξ~B(n,p), 则Eξ= np
ξ 0 1 … k … n P Cn0p0qn Cn1p1qn-1 … Cnkpkqn-k … Cnnpnq0 证明:∵P(ξ=k)= Cnkpkqn-k (∵ k Cnk =n Cn-1k-1)

∴E ξ =0×Cn0p0qn+ 1×Cn1p1qn-1+ 2×Cn2p2qn-2 +
…+ k×Cnkpkqn-k+…+ n×Cnnpnq0

=np(Cn-10p0qn-1+ Cn-11p1qn-2+ … +
Cn-1k-1pk-1q(n-1)-(k-1) +…+ Cn-1n-1pn-1q0) = np(p+q)n-1=np

结论2:二项分布的期望:若ξ~B(n,p), Eξ= np



例3:篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分,罚不 中得0分.已知姚明目前罚球命中的概率为0.85,求 他罚球10次时进球个数ξ的均值? 由题ξ~B(10,0.85), 则Eξ=10×0.85=8.5
变式1:罚球10次的得分ξ的均值?

由题ξ~B(10,0.85), 则Eξ=10×0.85=8.5
变式2:若罚球命中得2分,罚不中得0分,罚球10次的得分 X的均值? 变式3:若罚球命中得3分,罚不中得-1分,罚球10次的得分 Y的均值?

练习: 一个袋子里装有大小相同的3 个红
球和2个黄球,从中有放回地取5次,则取到

红球次数的数学期望是 3

.

例3、一次英语单元测验由20个选择题构成,每个选 择题有4个选项,其中有且仅有一个选项是正确答案, 每题选择正确答案得5分,不作出选择或选错不得分, 满分100分。学生甲选对任一题的概率为0.9,学生乙 则在测验中对每题都从4个选项中随机地选择一个。 求学生甲和学生乙在这次英语单元测验中的成绩的均 值。

设学生甲和学生乙在这次英语测验中选择了正确 解:

答案的选择题个数分别是ξ和η,则 ξ~B(20,0.9), η~B(20,0.25),

Eξ=20×0.9=18, Eη=20×0.25=5.
由于答对每题得5分,学生甲和学生乙在这次英语测验 中的成绩分别是5ξ和5η。所以,他们在测验中的成 绩的均值分别是

E(5ξ)=5Eξ=5×18=90, E(5η)=5Eη=5×5=25.

? 例4:根据气象预报,某地区近期有小洪水的 概率为0.25,有大洪水的概率为0.01.该地区某 工地上有一台大型设备,遇到大洪水时损失 60000元,遇到小洪水损失10000元.为保护设 备,有以下3种方案: 方案1:运走设备,搬运费为3800元; 方案2:建保护围墙,建设费为2000元, 但围墙只能防小洪水; 方案3:不采取任何措施,希望不发生洪水. 试比较哪一种方案好?

例5、袋中有4个红球,3个黑球,从袋中随机取球,每取 到1个红球得2分,取到一个黑球得1分. (1) 今从袋中随机取4个球,求得分ξ的概率分布与期 望. (2)今从袋中每次摸1个球,看清颜色后放回再摸1个球, 求连续4次的得分η的期望.

练习:某商场的促销决策:
统计资料表明,每年国庆节商场内促销活 动可获利2万元;商场外促销活动如不遇下雨 可获利10万元;如遇下雨则损失4万元。9月 30日气象预报国庆节下雨的概率为40%,商 场应选择哪种促销方式?

作业:P68 A2,3,4 B 1

(2008湖北卷17题) 袋中有20个大小相同的球,其中记上0号的 有10个,记上n号的有n个(n=1,2,3,4).现 从袋中任取一球.X表示所取球的标号. (Ⅰ)求x的分布列,期望; (Ⅱ)若 Y ? aX ? 4, EY ? 1, 求a的值

解:(Ⅰ)X的分布列:
X P 0
1 2

1
1 20

2
1 10

3
3 20

4
1 5

1 1 1 3 1 3 X的期望: EX ? o ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 2 20 10 20 5 2

(Ⅱ) EY ? aEX ? 4 ? 1

3 又EX ? 2

3 则a ? ? 4 ? 1,? a ? ?2 2


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