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曲线与方程


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1.曲线与方程的定义
一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C上的点与一个 二元方程f(x,y)=0的实数解建立如下的对应关系:

那么,这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线.

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2.求动点的轨迹方程的基本步骤

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求轨迹方程的五个常用方法
直接法 直接利用条件建立x,y之间的关系F(x,y)=0; 待定系数法 已知所求曲线的类型,求曲线方程——先根据条件设出所求 曲线的方程,再由条件确定其待定系数;

定义法
代入法 (相关点法) 参数法

先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线,再由曲线的定 义直接写出动点的轨迹方程;
动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x0,y0)的变化而变化,并且 Q(x0,y0)又在某已知曲线上,则可先用x,y的代数式表示 x0,y0,再将x0,y0代入已知曲线得要求的轨迹方程; 当动点P(x,y)坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关 动点可用时,可考虑将x,y均用一中间变量(参数)表示,得 参数方程,再消去参数得普通方程.

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A.x2=4y

B.y2=3x

C.x2=2y

D.y2=4x
?建系设点 ?写集合 ?列方程 ?化简 ?证明

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建 系 设 点

列 式 化 简

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直接法求轨迹方程的解题策略 (1)题目给出等量关系,求轨迹方程.可直接代入即 可得出方程. (2)题中未明确给出等量关系,求轨迹方程.可利用 已知条件寻找等量关系,得出方程.

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定 义 法 求 轨 迹

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双曲线 定义

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定义法求轨迹方程:

(1)在利用圆锥曲线的定义法求轨迹方程时,若所求 的轨迹符合某种圆锥曲线的定义,则根据曲线的方程, 写出所求的轨迹方程. (2)利用定义法求轨迹方程时,还要看轨迹是否是完 整的圆、椭圆、双曲线、抛物线,如果不是完整的曲 线,则应对其中的变量x或y进行限制.

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y
F1

p
F2

A
M

O

x

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相 关 点 法

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代入法(相关点法)求轨迹方程的适用条件 动点所满足的条件不易得出,但形成轨迹的动点P(x,y)却 随另一动点Q(x′,y′)的运动而有规律地运动,而且动点Q 的轨迹方程为给定的或容易求得的,则可先将x′,y′表示 成x,y的式子,再代入Q的轨迹方程,整理化简即得动点P的 轨迹方程.

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