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2.2.1综合法和分析法(2)


2.2直接证明与间接证明 2.2.1 综合法和分析法(2)

复习
一般地,利用已知条件和某些已经学 过的定义、定理、公理等,经过一系列 的推理、论证,最后推导出所要证明的 结论成立,这种证明方法叫做综合法。

特点:“由因导果”

a+b ? 回顾基本不等式: 2

ab
<

br />(a>0,b>0)的证明.
证明: 因为;( a ? b ) ? 0
2

a+b ? ab 证明:要证; 2 只需证;a + b ? 2 ab

所以 a + b ? 2 ab ? 0 所以 a + b ? 2 ab
a+b ? ab 成立 所以 2

只需证;a + b ? 2 ab ? 0
2 ( a ? b ) ?0 只需证;

因为;( a ? b )2 ? 0 成立

a+b 所以 ? 2

ab成立

一般地,从要证明的结论出发,逐步 寻求推证过程中,使每一步结论成立的充 分条件,直至最后,把要证明的结论归结 为判定一个明显成立的条件(已知条件、 定理、定义、公理等)为止,这种证明的 方法叫做分析法.

特点:执果索因.
用框图表示分析法的思考过程、特点.
Q ? P1
P1 ? P2

P2 ? P3



得到一个明显 成立的结论

例:设a,b,c为一个三角形的三
边,且s2=2ab,s 试证s<2a
1 = (a + b + c), 2

例:如图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过A作SB 的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂足 S 为F,求证 AF⊥SC
证明:要证AF⊥SC 只需证:SC⊥平面AEF 只需证:AE⊥SC 只需证:AE⊥平面SBC 只需证:AE⊥BC 只需证:BC⊥平面SAB 只需证:BC⊥SA 只需证:SA⊥平面ABC
F E

A
B

C

因为:SA⊥平面ABC成立 所以. AF⊥SC成立

π 例. 已知α, β≠ kπ+ (k ? Z),且 2 sinθ+ cosθ= 2sinα sinθcosθ= ? sin β 1 - tan α 1 - tan β 证: 求 = . 2 2 1 + tan α 2(1 + tan β)
Q ? P1
P1 ? P2
2 2 2

P2 ? P3



得到一个明显 成立的结论

也可以是经过 证明的结论

例:已知数列{an}的通项an>0,(n∈N*),它 的前n项的和记为sn,数列{s2n}是首项为3, 公差为1的等差数列. (1)求an与sn的解析式; (2)试比较sn与3nan(n∈N*),的大小.

作业:P102

A组4,B组3

思考题:甲、乙、丙三箱共有小球384个,先 由甲箱取出若干放进乙、丙两箱内,所放个 数分别为乙、丙箱内原有个数,继而由乙箱 取出若干个球放进甲、丙两箱内,最后由丙 箱取出若干个球放进甲、乙两箱内,方法同 前.结果三箱内的小球数恰好相等.求甲、 乙、丙三箱原有小球数 甲:208个,乙:112个,丙:64个


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