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广东省增城市2013届高三毕业班调研测试数学理试题


增城市 2013 届高中毕业班调研测试理科试题





试题分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。 共 150 分,考试时间 120 分钟。 注意事项: 1.第 I 卷(选择题)每小题选出答案后,用铅笔把答卷上对应题目的答案标号涂黑,如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题上; 2

.第 II 卷(非选择题)答案写在答卷上。
2 参考公式: S 球 ? 4?R , V柱 ? Sh, V锥 ?

1 1 4 Sh,V台 ? ( S ? ? S ?S ? S )h,V球 ? ? R 3 3 3 3 如果事件 A 、 B 互斥,那么 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) .
如果事件 A 、 B 相互独立,那么 P( A ? B) ? P( A) P( B) .

第 I 卷(选择题,共 40 分)
一、选择题:本大题共有 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1. 设 集 合

U ? { x x 的正整数 集合 ,? 是小于 9 }
(B) {7,8} (C){4,5,6,7,8}

A

集合1 , {

2 B 3 则} , ,

= {

Cu A ? Cu B ?
(A) {3} 2.复数 (D){1,2,7,8}

5 的共轭复数是 -2+i (A) 2+i (B) ?2 ? i (C) ?2 ? i (D) 2 ? i ?2 3.已知函数 f ( x) ? x ,则 (A) f ( x) 为偶函数且在 (0,??) 上单调增 (B) f ( x) 为奇函数且在 (0,??) 上单调增 (C) f ( x) 为偶函数且在 (0,??) 上单调减 (D) f ( x) 为奇函数且在 (0,??) 上单调增
4.函数 f ( x) ? log3 x 的定义域是 (A)

(0,1]

(B)

[1,??)
?1
2

(C)
?2

(3,??)

(D)

[3,??)

5.已知实数 x 满足 x ? x

? 3, 则 x ? x ?

(A) 3 5 (B) 5 (C) ? 3 5 (D) ? 5 6.给出三个命题: (1)若两直线和第三条直线所成的角相等,则这两直线互相平行. (2)若两直线和第三条直线垂直,则这两直线互相平行. (3)若两直线和第三条直线平行,则这两直线互相平行. 其中正确命题的个数是 (A)0 (B) 1 (C) 2 (D)3 Ks5u 7.有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶 10 次,每次命中的环数如下: 甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 Ks5u 则下列判断正确的是 (A) 甲射击的平均成绩比乙好 (B) 乙射击的平均成绩比甲好 (C) 甲比乙的射击成绩稳定 (D) 乙比甲的射击成绩稳定 8.设 M 是平行四边形 ABCD 的对角线的交点, O 为任意一点,则 OA ? OB ? OC ? OD ? (A) OM (B) 2OM (C) 3OM (D) 4OM

第 II 卷(非选择题,共 110 分)
二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 30 分.其中 14~15 题是选做题,只能做一 题,两题全答的,只计算前一题得分. (一)必做题(9~13 题)
2 9.已知非空集合 A ? {x x ? a, x ? R} ,则实数 a 的取值范围是

.

10.有一问题的算法程序是

i ?1

S ?0

WHILE i ?? 100

S ? S ?i i ? i ?1

WEND PRINT S END 则输出的结果是

.
3

Ks5u .

11.二项式 ( x ? )9 的展开式中 x 的系数是
2 2

1 x

12.曲线 y ? x 与 y ? x 所围成的图形的面积是 . 13.一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,生产 1 车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐 4 吨, 硝酸盐 18 吨;生产 1 车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐 1 吨,硝酸盐 15 吨.现库存磷 酸盐 10 吨,硝酸盐 66 吨,在此基础上生产这两种混合肥料.如果生产 1 车皮甲种肥料产生 的利润为 10000 元,生产 1 车皮乙种肥料产生的利润为 5000 元,那么如何安排生产,可产 生的最大利润是 . (二)选做题(14、15 题) 14(几何证明选讲选做题)已知圆 O 割线 PAB交圆 O 于 A, B ( PA ? PB) 两点,割线 PCD 经过圆心 O ( PC ? PD) ,已知 PA ? 6 , AB ? 7 , PO ? 10 ;则圆 O 的半径是 15 (坐标系与参数方程选做题) 曲线 ? 为参数)的交点坐标是

1 3

.

? x?t ? x ? cos? ( t 为参数且 t ? 0 ) 与曲线 ? (? ?y ? t ?1 ? y ? cos 2? ? 1
. Ks5u

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16(12 分)已知函数 f ( x) ? 2 sin x(sin x ? cos x) (1)求 f ( x) 的最小正周期及最大值; (2)用五点法画出 f (x) 在一个周期上的图像. 17(12 分)某种饮料每箱 6 听,如果其中有两听不合格产品. (1)质检人员从中随机抽出 1 听,检测出不合格的概率多大?; (2)质检人员从中随机抽出 2 听,设 ? 为检测出不合格产品的听数,求 ? 的分布列及数 学期望. V

B

A

18(14 分)如图,在三棱锥 V ? ABC 中, VA ? 平面 ABC , ?ABC ? 90 ? ,且 AC ? 2 BC ? 2VA ? 4 . (1)求证:平面 VBA ? 平面 VBC ; (2)求二面角 A ? VC ? B 的平面角的余弦值.

19(14 分)在等比数列 {an } 中,已知 a3 ? (1)求 {an } 的通项公式;Ks5u (2)求和 Sn ? a1 ? 2a2 ? ? ? nan .

3 9 , S3 ? . 2 2

20(14 分)已知点 P 是圆 ( x ? 1) ? y ? 16 上的动点,圆心为 B , A(1,0) 是圆内的定点;
2 2

PA 的中垂线交 BP 于点 Q . (1)求点 Q 的轨迹 C 的方程; (2)若直线 l 交轨迹 C 于 M , N ( MN 与 x 轴、 y 轴都不平行) 两点,G 为 MN 的中点, 求 k MN ? kOG 的值( O 为坐标系原点).
21(14 分)圆 x ? y ? 1内接等腰梯形 ABCD ,其中 AB 为圆的直径(如图).
2 2

(1)设 C ( x, y )( x ? 0) ,记梯形 ABCD 的周长为 D

y
C B O

f ( x) ,求 f ( x) 的解析式及最大值;
A (2)求梯形 ABCD 面积的最大值. Ks5u

x

增城市 2013 届高中毕业班调研测试 理科数学试题参考答案及评分标准
8.选择题:BBCBC BDD 9.填空题:9. [0,??) 14. 2 5 10. 5050 11. -84 12.
1 3

13.30000 元

15. (1,2)

三、解答题:
16.) (1) f ( x) ? 2 sin x ? 2 sin x cos x
2

1分 3分

? 1 ? cos 2 x ? sin 2 x

= 1 ? 2 (sin 2 x cos = 1 ? 2 sin( 2 x ?

?
4
)

? sin

?
4

cos 2 x)

Ks5u

4分 5分 Ks5u 7 分 9分 10 分 11 分 12 分 1分 2分 4分 5分 6分

?
4

? f (x) 的最小正周期是 ? ,最小值是 2 ? 1
7.列表 画图 特征点 坐标系 三、(1)在 6 听中随机抽出 1 听有 6 种方法 在 2 听中随机抽出 1 听有 2 种方法 所以 P ? 答: (4) ? ? 0,1,2 当 ? ? 0 时, P(? ? 0) ?
2 C4 2 ? 2 C6 5

2 1 ? 6 3

Ks5u

7分

当 ? ? 1 时, P(? ? 1) ?

1 1 C2 ? C4 8 ? 2 C6 15

8分

2 C2 1 当 ? ? 2 时, P(? ? 2) ? 2 ? C6 15

9分 10 分 11 分 12 分 1分 2分 4分 5分 7分

分布列为:

2 8 1 E (? ) ? 0 ? ? 1? ? 2 ? 5 15 15 2 = 3 18.(1)? VA ? 平面 ABC ?VA ? BC ? ?ABC ? 90? ? BC ? AC ? BC ? 平面 VBA ? 平面 VBA ? 平面 VBC 四、 过点 B 作 MB ? VC 于 M ,过点 A 作 AN ? VC 于 N , 过点 M 作 MD ? VC 交 CA 于 D ,则 MD // NA

? ?ABC ? 90?, AC ? 2BC ? 2VA ? 4 ?VA ? VB ? 2

? AB ? 2 3

Ks5u

8分 9分

? VA ? 平面 ABC?VA ? AC,VA ? AB,?VC ? 2 5,VB ? 4

? BM ? 2 5 ? 8,2 5 NA ? 8,? BM ? AN ?

4 5 5

10 分

?CM ? VN ? 4 ? (

4 5 2 2 5 2 5 8 5 ) ? ,?CN ? 2 5 ? ? 5 5 5 5
Ks5u 12 分

11 分

?

MD CM CD 1 5 ? ? ? ,? MD ? , CD ? 1 NA CN CA 4 5

在 ?ABC 中,? AC ? 2BC,? ?CAB ? 30?,? ?ACB ? 60?

?BD ? 4 ? 1 ? 2 ? 2 ?1? cos60? ? 3
16 1 ? ?3 1 在 ?BMD中, cos?BMD ? 5 5 ? 4 5 5 4 2? ? 5 5 1 所以所求二面角的平面角的余弦值是 4 ABC ,建立直角坐标系如图 或解:过点 B 作 BB? ? 平面
则 B(0,0,0), A(0,2 3,0),C(2,0,0),V (0,2 3,2)

13 分

14 分 6分 7分 8分 9分

? AV ? (0,0,2), AC ? (2,?2 3,0), BC ? (2,0,0), BV ? (0,2 3,2)
设 m ? (2, x, y), m ? AC, m ? AV

则?

?4 ? 2 3 x ? 0 ? x ? 2 3 2 3 ? ?? 3 ? m ? (2, 3 ,0) ? 2y ? 0 ? y?0 ?

Ks5u

10 分

同理设 n ? (t,2, s), n ? BC, n ? BV 则?

11 分 12 分

? 2t ? 0 ? t ?0 ?? ? n ? (0,2,?2 3 ) ?4 3 ? 2s ? 0 ?s ? ?2 3

设 m 与 n 的夹角为 ? ,则

cos? ?

m?n mn

?

4 3 1 3 ? 4 4 4 ? ? 4 ? 12 3

13 分

所以所求二面角的平面角的余弦值是

1 4

14 分

19.(1)解:由条件得: a1q ?
2

3 2 9 2
3分

1分 2分

a1 ? a1q ? a1q 2 ?

?

1? q ?2 q2

Ks5u

?q ? 1 或 q ? ?
当 q ? 1 时, a1 ? 当q ? ? 所以 或解:当 q ? 1 时由条件得:

1 2

4分 5分 6分 7分

3 3 , an ? 2 2

1 n ?1 1 时, a1 ? 6, an ? 6( ? ) 2 2

3 ? 2 ? a1q ? 2 ? ? a (1 ? q 3 ) 9 ? 1 ? ? 1? q 2 ?

2分

1 ? q3 ? 3 ,即 2q3 ? 3q 2 ? 1 ? 0 q 2 (1 ? q)

3分

?(2q ?1)(1 ? q)2 ? 0
?a1 ? 6
当 q ? 1 时, a1 ? 所以

?q ? ?

1 2

4分 5分

3 符合条件 2

6分 7分 8分 9分 10 分 11 分 12 分

3 (1 ? 2 ? ? ? n) 2 3n ( n ? 1) ? 4 1 0 1 1 2 1 n ?1 1 当 q ? ? 时, S n ? 6[( ? ) ? 2 ? (? ) ? 3 ? (? ) ? ? ? n(? ) ] 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 ? ? S n ? 6[( ? ) ? 2 ? (? ) 2 ? 3 ? (? )3 ? ? ? n(? ) n ] 2 2 2 2 2 3 1 1 2 1 n ?1 1 n ? S n ? 6[1 ? (? ) ? (? ) ? ? ? (? ) ? n(? ) ] 2 2 2 2 2
(2)当 q ? 1 时, S n ?

1 1 ? (? ) n 3 2 ? n( ? 1 ) n ] ? S n ? 6[ 1 2 2 1? 2 8 4 1 ? S n ? ? (3n ? 2)( ? ) n 3 3 2
一、 (1)解:由条件知: QA ? QP Ks5u 1分

13 分

14 分

? QB ? QP ? 4 ? QB ? QA ? 4

2分 3分 4分 5分 6分

? AB ? 2 ? 4
所以点 Q 的轨迹是以 B, A 为焦点的椭圆

? 2a ? 4,2c ? 2 ?b2 ? 3
x2 y2 ? ?1 所以点 Q 的轨迹 C 的方程是 4 3
(2)解:设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 )(x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ,则 G (

7分

x1 ? x2 y1 ? y2 , ) 2 2

8分

?

x12 y12 x2 y2 ? ? 1, 2 ? 2 ? 1 4 3 4 3

9分 10 分

1 1 2 2 ? ( x12 ? x2 ) ? ( y12 ? y2 ) ? 0 4 3

?

2 y12 ? y2 3 ?? 2 2 x1 ? x2 4

11 分

? k MN ?

y1 ? y2 y ? y2 , kOG ? 1 x1 ? x2 x1 ? x2
2 y12 ? y2 3 ? 2 ?? 2 x1 ? x2 4

Ks5u

13 分

? kMN ? kOG

14 分

或解:设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 )(x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ,直线 MN 的方程为 y ? kx ? b(k ? 0) 则 G(

x1 ? x2 y1 ? y2 , ) 2 2

8分 9分

? y1 ? kx1 ? b, y2 ? kx2 ? b,? y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2b

? kOG ?

y1 ? y2 2b ?k? x1 ? x2 x1 ? x2

10 分

将 y ? kx ? b 代入椭圆方程得: (4k 2 ? 3) x 2 ? 8kbx ? 4b2 ?12 ? 0

11 分 12 分

? x1 ? x2 ? ?

8kb 4k 2 ? 3

? kOG ? k ?

2b 4k 2 ? 3 3 ?k? ?? ? 8kb 4k 4k 2 4k ? 3
3 3 )?? 4k 4
Ks5u 14 分

13 分

所以 k MN ? kOG ? k ? (?

21.解: (1)过点 C 作 CE ? AB 于 E 则 OE ? x(0 ? x ? 1)

? EB ? 1 ? x

1分 2分 3分 4分 5分 6分 7分 8分 9分 10 分

? x 2 ? y 2 ? 1,? CB ?

y 2 ? (1 ? x) 2

? 2 ? 2x

? f ( x) ? 2 ? 2x ? 2 2 ? 2x (0 ? x ? 1)
令 2 ? 2x ? t ,则 2x ? 2 ? t 2 (0 ? t ? 2 )

? f ( x) ? 4 ? t 2 ? 2t ? ?(t ?1)2 ? 5 ? 5
1 时 f (x) 有最大值 5 2 1 14.设 C ( x, y )(x ? 0) ,则 S ( x ) ? ( AB ? DC ) y 2 1 ? (2 ? 2 x) y ? ( x ? 1) 1 ? x 2 (0 ? x ? 1) 2
当 t ? 1 ,即 x ?

1 ? 2x ? S ?( x) ? 1 ? x 2 ? ( x ? 1) ? ? 2 1? x2

?

? 2x2 ? x ?1 1? x2

=0

11 分

? 2 x 2 ? x ? 1 ? 0, (2 x ? 1)( x ? 1) ? 0,? x ?
且当 0 ? x ?

1 2

12 分 13 分

1 1 时, S ?( x) ? 0 ,当 ? x ? 1 时, S ?( x) ? 0 2 2

所以当 x ?

1 3 3 时, S (x) 有最大值 ,即 2 4

14 分

或解:设 ?BAC ? ? (0 ? ? ? 90?) ,过点 C 作 CE ? AB 于 E Ks5u

? AB 是直径,? ?ACB ? 90? ? AC ? 2 cos ?
? AE ? AC ? c o ? ? 2 c o 2s? , CE ? AC ? s i n ? 2 s i n c o ? s ? ? s
? OE ? 2 s i n c o s ? 1 ? ? 1 3 S (? ) ? (2 ? 4 s i n c o s ? 2)2 s i n c o s ? 4 s i n ? c o s ? ? ? ? ? 2
2 3 ? S ?(? ) ? 4 ? 3s i n? c o ? c o ? ? 4 s i n? (? s i n ) s s ?

8分 9分 10 分 11 分

? 4 sin 2 ? (3 cos2 ? ? sin 2 ? ) ? 4 sin 2 ? cos2 ? (3 ? tan2 ? ) ? 0

12 分 13 分

? tan? ? 3,?? ? 60?
当 0 ? ? ? 60? 时, S ?(? ) ? 0 ,当 60? ? ? ? 90? 时, S ?(? ) ? 0 所以当 ? ? 60? 时 S (? ) 有最大值 或解:设 C ( x, y )(x ? 0) ,则 S ( x ) ?

3 3 4

14 分 8分 9分 10 分

1 ( AB ? DC ) y Ks5u 2 1 ? (2 ? 2 x) y ? ( x ? 1) 1 ? x 2 (0 ? x ? 1) 2
? ( x ? 1) 3 (1 ? x)

?

1 ( x ? 1)(x ? 1)(x ? 1)(3 ? 3x) 3 1 6 4 3 3 ( ) ? 3 2 4
Ks5u 12 分

11 分

?
当且仅当 x ? 1 ? 3 x ? 3 ,即 x ? 所以

1 时等号成立 2

13 分 14 分


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