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3-2导函数


课时作业(十四) 1.函数 y=x -3x 的单调递减区间是( A.(-∞,0) B.(0,+∞)
3

) C.(-1,1) D.(-∞,-1),(1,+∞) )

2.若函数 y=a(x3-x)的递减区间为(- A.a>0

3 3 , ),则 a 的取值范围是( 3 3 C.a>1 ) 1 C.(-∞, ) a

B.-1<a<0

D.0<a<1

3.函数 f(x)=lnx-ax(a>0)的单调递增区间为( 1 A.(0, ) a 1 B.( ,+∞) a

D.(-∞,a) ) D.(1,2)

4.若函数 f(x)=x+asinx 在 R 上递增,则实数 a 的取值范围为( A.(-∞,0) B.(0,+∞) C.[-1,1]

5.已知函数 f(x)(x∈R)的图像上任一点(x0,y0)处的切线方程为 y-y0=(x0-2)(x2 0-1)(x-x0),那么函数 f(x) 的单调减区间是( A.[-1,+∞) ) B.(-∞,2] C.(-∞,-1)和(1,2) ) D.f(x)+g(b)>g(x)+f(b) D.[2,+∞)

6.设 f(x),g(x)在[a,b]上可导,且 f′(x)>g′(x),则当 a<x<b 时,有( A.f(x)>g(x) B.f(x)<g(x) C.f(x)+g(a)>g(x)+f(a)

1 7.函数 f(x)在定义域 R 内可导,若 f(x)=f(2-x),且当 x∈(-∞,1)时,(x-1)f′(x)<0,设 a=f(0),b=f( ), 2 c=f(3),则( A.a<b<c ) B.c<a<b C.c<b<a D.b<c<a

8. 设 f(x)、 g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数, 当 x<0 时, f′(x)· g(x)+f(x)· g′(x)>0, 且 f(-3)· g (- 3)=0,则不等式 f(x)· g(x)<0 的解集是( ) C.(-∞,-3)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(0,3) )

A.(-3,0)∪(3,+∞) B.(-3,0)∪(0,3)
2

9.若函数 f(x)的导函数 f′(x)=x -4x+3,则函数 f(x+1)的单调递减区间是( A.(2,4)
2

B.(-3,-1)

C.(1,3)

D.(0,2) )

10.设曲线 y=x +1 在其任一点(x,y)处切线斜率为 g(x),则函数 y=g(x)· cosx 的部分图像可以为(

4 11.设 p:f(x)=x3+2x2+mx+1 在(-∞,+∞)内单调递增,q:m≥ ,则 p 是 q 的( 3 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件

)

D.既不充分也不必要条件

12.若函数 y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是先增后减的函数,则函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图像可能是 ( )

13.f(x)为定义在 R 上的可导函数,且 f′(x)>f(x),对任意正实数 a,则下列式子成立的是( A.f(a)<eaf(0) B.f(a)>eaf(0) f ?0 ? C.f(a)< a e f ?0 ? D.f(a)> a e

)

1

14.函数 y=x-2sinx 在(0,2π)内的单调增区间为________. 1 15.已知 y= x3+bx2+(b+2)x+3 在 R 上不是单调递增函数,则 b 的范围是________. 3 16.函数 f(x)的定义域为 R,且满足 f(2)=2,f′(x)>1,则不等式 f(x)-x>0 的解集为________ 4π 5π 17.已知函数 f(x)=xsinx,x∈R,f(-4),f( ),f(- )的大小关系为______(用“<”连接). 3 4 x2 18.求函数 f(x)=x(ex-1)- 的单调区间. 2

19.已知函数 f(x)=4x3+3tx2-6t2x+t-1,x∈R,其中 t∈R. 当 t≠0 时,求 f(x)的单调区间.

20.已知 f(x)=ex-ax-1. (1)求 f(x)的单调增区间; (2)若 f(x)在定义域 R 内单调递增,求 a 的取值范围; (3)是否存在 a,使 f(x)在(-∞,0]上单调递减,在[0,+∞)上单调递增?若存在,求出 a 的值;若不 存在,说明理由.

2

a 21.设函数 f(x)= x2-1+cosx(a>0). 2 (1)当 a=1 时,证明:函数 y=f(x)在(0,+∞)上是增函数; (2)若 y=f(x)在(0,+∞)上是单调增函数,求正数 a 的范围.

22.已知函数 f(x)=alnx-ax-3(a∈R). (1)求函数 f(x)的单调区间; 3 1 m (2)函数 y=f(x)的图像在 x=4 处的切线的斜率为 ,若函数 g(x)= x3+x2[f′(x)+ ]在区间(1,3)上不是 2 3 2 单调函数,求 m 的取值范围.

23.已知函数 f(x)=ln(ex+a)(a 为常数)是实数集 R 上的奇函数,函数 g(x)=λf(x)+sinx 是区间[-1,1]上的减 函数.求实数 λ 取值的集合 A.

1 24.已知函数 f(x)= ax2-(2a+1)x+2lnx.求 f(x)的单调区间. 2

3

25.已知 a,b 是实数,函数 f(x)=x3+ax,g(x)=x2+bx,f′(x)和 g′(x)分别是 f(x)和 g(x)的导函数,若 f′(x)g′(x)≥0 在区间Ⅰ上恒成立,则称 f(x)和 g(x)在区间Ⅰ上单调性一致. (1)设 a>0.若 f(x)和 g(x)在区间[-1,+∞)上单调性一致,求 b 的取值范围; (2)设 a<0 且 a≠b.若 f(x)和 g(x)在以 a,b 为端点的开区间上单调性一致,求|a-b|的最大值.

26.设 a>0,讨论函数 f(x)=lnx+a(1-a)x2-2(1-a)x 的单调性.

4

1.函数 y=x3-3x 的单调递减区间是( A.(-∞,0) 答案 C B.(0,+∞)
2

) C.(-1,1)
2

D.(-∞,-1),(1,+∞)

解析 ∵y′=3x -3,∴由 3x -3<0 得-1<x<1. 故选 C. 3 3 , ),则 a 的取值范围是( 3 3 C.a>1 - )

2.若函数 y=a(x3-x)的递减区间为(- A.a>0 答案 A 解析

B.-1<a<0 y′=a(3x2-1)解 3x2-1<0 得

D.0<a<1

3 3 <x< 3 3

∴f(x)=x3-x 在(-

3 3 3 3 , )上为减函数又 y=a· (x3-x)的递减区间为(- , ).∴a>0 3 3 3 3 ) 1 C.(-∞, ) a D.(-∞,a)

3.函数 f(x)=lnx-ax(a>0)的单调递增区间为( 1 A.(0, ) a 答案 A 解析 1 B.( ,+∞) a

1 1 1 由 f′(x)= -a>0,得 0<x< ,∴f(x)的单调递增区间为(0, ). x a a ) D.(1,2)

4.若函数 f(x)=x+asinx 在 R 上递增,则实数 a 的取值范围为( A.(-∞,0) 答案 C B.(0,+∞) C.[-1,1]

解析 ∵f′(x)=1+acosx,∴要使函数 f(x)=x+asinx

在 R 上递增,则 1+acosx≥0 对任意实数 x 都成立.∵-1≤cosx≤1, ①当 a>0 时,-a≤acosx≤a,∴-a≥-1,∴0<a≤1; ②当 a=0 时适合; ③当 a<0 时,a≤acosx≤-a,∴a≥-1,∴-1≤a<0.综上,-1≤a≤1. 5.已知函数 f(x)(x∈R)的图像上任一点(x0,y0)处的切线方程为 y-y0=(x0-2)(x2 0-1)(x-x0),那么函数 f(x) 的单调减区间是( 答案 C 解析 ) A.[-1,+∞) B.(-∞,2] C.(-∞,-1)和(1,2) D.[2,+∞)

根据函数 f(x)(x∈R)的图像上任一点(x0,y0)处的切线方程为 y-y0=(x0-2)(x2 0-1)(x

-x0),可知其导数 f′(x)=(x-2)(x2-1)=(x+1)(x-1)(x-2),令 f′(x)<0 得 x<-1 或 1<x<2.因此 f(x)的单 调减区间是(-∞,-1)和(1,2). 6.设 f(x),g(x)在[a,b]上可导,且 f′(x)>g′(x),则当 a<x<b 时,有( A.f(x)>g(x) 答案 C B.f(x)<g(x) C.f(x)+g(a)>g(x)+f(a) ) D.f(x)+g(b)>g(x)+f(b)

解析 ∵f′(x)>g′(x),∴[f(x)-g(x)]′>0,∴f(x)-g(x)在[a,b]上是增函数.

∴f(a)-g(a)<f(x)-g(x),即 f(x)+g(a)>g(x)+f(a). 1 7.函数 f(x)在定义域 R 内可导,若 f(x)=f(2-x),且当 x∈(-∞,1)时,(x-1)f′(x)<0,设 a=f(0),b=f( ), 2 c=f(3),则( 答案 B ) A.a<b<c B.c<a<b C.c<b<a D.b<c<a

解析 由 f(x)=f(2-x)可得对称轴为 x=1,故 f(3)=f(1+2)=f(1-2)=f(-1),

1 又 x∈(-∞, 1)时, (x-1)f′(x)<0, 可知 f′(x)>0, 即 f(x)在(-∞, 1)上单调递增, f(-1)<f(0)<f( ), 即 c<a<b. 2 8. 设 f(x)、 g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数, 当 x<0 时, f′(x)· g(x)+f(x)· g′(x)>0, 且 f(-3)· g (- 3)=0,则不等式 f(x)· g(x)<0 的解集是( ) C.(-∞,-3)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(0,3)

A.(-3,0)∪(3,+∞) B.(-3,0)∪(0,3) 答案 D 解析

f(x)、g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,

∴f(x)· g(x)为奇函数,x<0 时,f′(x)· g(x)+f(x)g′(x)>0,即 x<0 时,[f(x)· g(x)]′>0. ∴f(x)· g(x)为增函数,且 f(-3)· g(-3)=0.根据函数性质可知,f(x)· g(x)<0 的解集为(-∞,-3)∪(0,3).

5

9.若函数 f(x)的导函数 f′(x)=x2-4x+3,则函数 f(x+1)的单调递减区间是( A.(2,4) 答案 D 解析 B.(-3,-1)
2

)

C.(1,3)

D.(0,2)

由 f′(x)=x -4x+3=(x-1)(x-3)知,当 x∈(1,3)时,f′(x)<0.函数 f(x)在(1,3)上为减

函数,函数 f(x+1)的图像是由函数 y=f(x)图像向左平移 1 个单位长度得到的,所以(0,2)为函数 y=f(x+1) 的单调减区间. 10.设曲线 y=x2+1 在其任一点(x,y)处切线斜率为 g(x),则函数 y=g(x)· cosx 的部分图像可以为( )

答案

A

解析

g(x)=2x,∴y=2x· cosx 此函数为奇函数,排除 B、D,

π 当 x∈(0, )时,y>0,排除 C 选 A. 2 4 11.设 p:f(x)=x3+2x2+mx+1 在(-∞,+∞)内单调递增,q:m≥ ,则 p 是 q 的( 3 A.充分不必要条件 答案 C B.必要不充分条件 C.充分必要条件
3 2 2

)

D.既不充分也不必要条件

解析 ∵f(x)=x +2x +mx+1,∴f′(x)=3x +4x+m.

4 由 f(x)为增函数?f′(x)≥0 在 R 上恒成立?Δ≤0?16-12m≤0?m≥ .故为充分必要条件. 3 12.若函数 y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是先增后减的函数,则函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图像可能是

答案 C 解析

根据题意 f′(x)在[a,b]上是先增后减的函数,则在函数 f(x)的图像上,各点的切线斜率是

先随 x 的增大而增大,然后随 x 的增大而减小,由四个选项的图形对比可以看出,只有选项 C 满足题意. 13.f(x)为定义在 R 上的可导函数,且 f′(x)>f(x),对任意正实数 a,则下列式子成立的是( A.f(a)<eaf(0) 答案 B 解析 B.f(a)>eaf(0) 令 g(x)= f ?0 ? C.f(a)< a e f ?0 ? D.f(a)> a e )

f′?x?ex-f?x?ex f′?x?-f?x? f?x? = >0, x ,∴g′(x)= e ex ?ex?2 f ?a ? f ? 0 ? > ,即 f(a)>eaf(0). ea e0

∴g(x)在 R 上为增函数,又∵a>0.∴g(a)>g(0)即

14.函数 y=x-2sinx 在(0,2π)内的单调增区间为________. 答案 π 5π ( , )解析 3 3 ?y′>0 ∵y′=1-2cosx,∴由? ?0<x<2π,

?1-2cosx>0, π 5π π 5π 即? 得 <x< .∴函数 y=x-2sinx 在(0,2π)内的增区间为( , ). 3 3 3 3 ?0<x<2π, 1 15.已知 y= x3+bx2+(b+2)x+3 在 R 上不是单调递增函数,则 b 的范围是________. 3 1 答案 b<-1 或 b>2 解: 假设 y= x3+bx2+(b+2)x+3 在 R 上是单调递增函数, 则 f′(x)=y′≥0 恒成立. 即 3 x2+2bx+b+2≥0 恒成立,所以 Δ=4b2-4(b+2)≤0 成立,解得-1≤b≤2,故所求为 b>2 或 b<-1. 6

16.函数 f(x)的定义域为 R,且满足 f(2)=2,f′(x)>1,则不等式 f(x)-x>0 的解集为________ 答案 (2,+∞) 解析 令 g(x)=f(x)-x,∴g′(x)=f′(x)-1,由题意知 g′(x)>0,∴g(x)为增函数,

∵g(2)=f(2)-2=0,∴g(x)>0 的解集为(2,+∞). 4π 5π 17.已知函数 f(x)=xsinx,x∈R,f(-4),f( ),f(- )的大小关系为______(用“<”连接). 3 4 答案 f( 4π 5π )<f(-4)<f(- ).解析 3 4 f′(x)=sinx+xcosx,当 x∈[ 5π 4π , ]时,sinx<0,cosx<0, 4 3

∴f′(x)=sinx+xcosx<0,则函数 f(x)在 x∈[

5π 4π , ]时为减函数, 4 3

4π 5π 4π 5π ∴f( )<f(4)<f( ),又函数 f(x)为偶函数,∴f( )<f(-4)<f(- ). 3 4 3 4 x2 18.求函数 f(x)=x(ex-1)- 的单调区间. 2 答案 解析 在(-∞,-1],[0,+∞)上单调递增,在[-1,0]上单调递减. 1 f(x)=x(ex-1)- x2,f′(x)=ex-1+xex-x=(ex-1)(x+1). 2

当 x∈(-∞,-1)时,f′(x)>0;当 x∈(-1,0)时,f′(x)<0;当 x∈(0,+∞)时,f′(x)>0. 故 f(x)在(-∞,-1],[0,+∞)上单调递增,在[-1,0]上单调递减. 19.已知函数 f(x)=4x3+3tx2-6t2x+t-1,x∈R,其中 t∈R. 当 t≠0 时,求 f(x)的单调区间. 解析 t f′(x)=12x2+6tx-6t2.令 f′(x)=0,解得 x=-t 或 x= .因为 t≠0,以下分两种情况讨论: 2

t (1)若 t<0,则 <-t.当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: 2 x f′(x) f(x) t (-∞, ) 2 + ?? t ( ,-t) 2 - ?? (-t,+∞) + ??

t t 所以,f(x)的单调递增区间是(-∞, ),(-t,+∞);f(x)的单调递减区间是( ,-t). 2 2 t (2)若 t>0,则-t< .当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: 2 x f′(x) f(x) (-∞,-t) + ?? t (-t, ) 2 - ?? t ( ,+∞) 2 + ??

t t 所以,f(x)的单调递增区间是(-∞,-t),( ,+∞);f(x)的单调递减区间是(-t, ). 2 2

7

20.已知 f(x)=ex-ax-1. (1)求 f(x)的单调增区间; (2)若 f(x)在定义域 R 内单调递增,求 a 的取值范围;

(3)是否存在 a,使 f(x)在(-∞,0]上单调递减,在[0,+∞)上单调递增?若存在,求出 a 的值;若不 存在,说明理由. 解析 f′(x)=ex-a.

(1)若 a≤0,f′(x)=ex-a≥0 恒成立,即 f(x)在 R 上递增. 若 a>0,ex-a≥0,∴ex≥a,x≥lna.∴f(x)的单调递增区间为(lna,+∞). (2)∵f(x)在 R 内单调递增,∴f′(x)≥0 在 R 上恒成立, ∴ex-a≥0,即 a≤ex 在 R 上恒成立,∴a≤(ex)min.又∵ex>0,∴a≤0. (3)由题意知 ex-a≤0 在(-∞,0]上恒成立,∴a≥ex 在(-∞,0]上恒成立. ∵ex 在(-∞,0]上为增函数,∴x=0 时,ex 最大为 1,∴a≥1. 同理可知 ex-a≥0 在[0,+∞)上恒成立,∴a≤ex 在[0,+∞)上恒成立,∴a≤1. 综上可知:a=1 即存在 a=1 满足条件. a 21.设函数 f(x)= x2-1+cosx(a>0). 2 (1)当 a=1 时,证明:函数 y=f(x)在(0,+∞)上是增函数; (2)若 y=f(x)在(0,+∞)上是单调增函数,求正数 a 的范围. 答案 解析 (1)略 (2)a≥1

1 (1)证明:当 a=1 时,f(x)= x2-1+cosx,令 g(x)=f′(x)=x-sinx, 2

g′(x)=1-cosx≥0,?x∈(0,+∞)恒成立.∴y=g(x)在(0,+∞)上是增函数. ∴g(x)>g(0)=0.∴f′(x)>0 恒成立,∴f(x)在(0,+∞)为增函数. a (2)f(x)= x2-1+cosx,令 h(x)=f′(x)=ax-sinx.∵y=f(x)在(0,+∞)上单增,∴ax-sinx>0 恒成立. 2 当 a≥1 时,?x∈(0,+∞),恒有 ax≥x>sinx,满足条件. π 当 0<a<1 时,h′(x)=a-cosx,令 h′(x)=0 得 cosx=a,在(0, )内存在 x0,使得 cosx0=a. 2 当 x∈(0、x0)时,h′(x)<0.∴h(x)<h(0),即 f′(x)<f′(0)=0, 与 ?x∈(0,+∞),f′(x)>0 恒成立矛盾.∴a≥1. 22.已知函数 f(x)=alnx-ax-3(a∈R). (1)求函数 f(x)的单调区间;

3 1 m (2)函数 y=f(x)的图像在 x=4 处的切线的斜率为 ,若函数 g(x)= x3+x2[f′(x)+ ]在区间(1,3)上不是 2 3 2 单调函数,求 m 的取值范围. 解析 (1)f′(x)= a?1-x? (x>0), 当 a>0 时,f(x)的单调递增区间为(0,1],单调递减区间为[1,+∞); x

当 a<0 时,f(x)的单调递增区间为[1,+∞),单调递减区间为(0,1]; 当 a=0 时,f(x)不是单调函数. (2)由 f′(4)=- 3a 3 1 m = ,得 a=-2,则 f(x)=-2lnx+2x-3,∴g(x)= x3+( +2)x2-2x, 4 2 3 2

∴g′(x)=x2+(m+4)x-2.∵g(x)在区间(1,3)上不是单调函数,且 g′(0)=-2<0,

?m<-3, ?g′?1?<0, ∴? ∴? 19 ?g′?3?>0, ?m>- 3 ,

故 m 的取值范围是(-

19 ,-3). 3

8

23.已知函数 f(x)=ln(ex+a)(a 为常数)是实数集 R 上的奇函数,函数 g(x)=λf(x)+sinx 是区间[-1,1]上的减 函数.求实数 λ 取值的集合 A. 解析


∵f(-x)=-f(x),∴ln(e x+a)=-ln(ex+a),∴e x+a=
- -

1 , ex+a

∴a(e x+ex+a)=0.∴a=0.∴f(x)=x,且 g(x)=λx+sinx 在[-1,1]上单调递减, ∴g′(x)=λ+cosx≤0 在 x∈[-1,1]上恒成立.∴λ≤-cosx,∴λ≤-1,即 A=(-∞,-1]. 1 24.已知函数 f(x)= ax2-(2a+1)x+2lnx.求 f(x)的单调区间. 2 解析 f′(x)= ax2-?2a+1?x+2 ?ax-1??x-2? = x x (x>0)

∴①当 a≤0 时,x>0,ax-1<0,在区间(0,2)上,f′(x)>0;在区间(2,+∞)上,f′(x)<0, 故 f(x)的单调递增区间是(0,2),单调递减区间是(2,+∞). 1 1 1 1 ②当 0<a< 时, >2,在区间(0,2)和( ,+∞)上,f′(x)>0;在区间(2, )上,f′(x)<0, 2 a a a 1 1 故 f(x)的单调递增区间是(0,2)和( ,+∞),单调递减区间是(2, ). a a ?x-2?2 1 ③当 a= 时,f′(x)= >0,故 f(x)的单调递增区间是(0,+∞), 2 2x 1 1 1 1 ④当 a> 时,0< <2,在区间(0, )和(2,+∞)上,f′(x)>0;在区间( ,2)上,f′(x)<0, 2 a a a 1 1 故 f(x)的单调递增区间是(0, )和(2,+∞),单调递减区间是( ,2). a a 25.已知 a,b 是实数,函数 f(x)=x3+ax,g(x)=x2+bx,f′(x)和 g′(x)分别是 f(x)和 g(x)的导函数,若 f′(x)g′(x)≥0 在区间Ⅰ上恒成立,则称 f(x)和 g(x)在区间Ⅰ上单调性一致. (1)设 a>0.若 f(x)和 g(x)在区间[-1,+∞)上单调性一致,求 b 的取值范围; (2)设 a<0 且 a≠b.若 f(x)和 g(x)在以 a,b 为端点的开区间上单调性一致,求|a-b|的最大值. 答案 解析 (1)[2,+∞) 1 (2) 3

f′(x)=3x2+a,g′(x)=2x+b.

(1)由题意知 f′(x)g′(x)≥0 在[-1,+∞)上恒成立.因为 a>0,故 3x2+a>0, 进而 2x+b≥0,即 b≥-2x 在[-1,+∞)上恒成立,所以 b≥2.因此 b 的取值范围是[2,+∞). (2)令 f′(x)=0,解得 x=± a - . 3

若 b>0,由 a<0 得 0∈(a,b).又因为 f′(0)g′(0)=ab<0,所以函数 f(x)和 g(x)在(a,b)上不是单调性 一致的.因此 b≤0. 现设 b≤0.当 x∈(-∞,0)时,g′(x)<0;当 x∈(-∞,- 当 x∈(-∞,- a - )时,f′(x)g′(x)<0.故由题设得 a≥- 3 a - )时,f′(x)>0.因此, 3 a - 且 b≥- 3 a 1 - ,从而- ≤a<0, 3 3

1 1 1 于是- ≤b≤0.因此|a-b|≤ ,且当 a=- ,b=0 时等号成立. 3 3 3 1 1 1 又当 a=- ,b=0 时,f′(x)g′(x)=6x(x2- ),从而当 x∈(- ,0)时 f′(x)g′(x)>0,故函数 f(x)和 3 9 3 1 1 g(x)在(- ,0)上单调性一致.因此|a-b|的最大值为 . 3 3

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26.设 a>0,讨论函数 f(x)=lnx+a(1-a)x2-2(1-a)x 的单调性. 解析 由题知 a>0,x>0,f′(x)= 2a?1-a?x2-2?1-a?x+1 ,令 g(x)=2a(1-a)x2-2(1-a)x+1, x

(1)当 a=1 时,g(x)=1>0,f′(x)>0,故 f(x)在(0,+∞)上单调递增; (2)当 0<a<1 时,g(x)的图像为开口方向向上的抛物线, Δ=[-2(1-a)]2-8a(1-a)=4(1-a)(1-3a), 1 1 3 若 ≤a<1,Δ≤0,g(x)≥0,f′(x)≥0,仅当 a= ,x= 时取等号, 3 3 2 ∴f(x)在(0,+∞)上单调递增; ?1-a?- ?1-a??1-3a? 1 若 0<a< ,则 Δ>0,令 g(x)=0 解得 x1= >0, 3 2a?1-a? x2= ?1-a?+ ?1-a??1-3a? >0,且 x1<x2, 2a?1-a?

当 0<x<x1 或 x>x2 时,g(x)>0,f′(x)>0,f(x)单调递增;当 x1<x<x2 时,g(x)<0,f′(x)<0,f(x)单调递减. (3)当 a>1 时,g(x)的图像为开口方向向下的抛物线,且 Δ>0, 令 g(x)=0,解得 x1= ?1-a?- ?1-a??1-3a? ?1-a?+ ?1-a??1-3a? >0,x2= <0, 2a?1-a? 2a?1-a?

当 0<x<x1 时,g(x)>0,f′(x)>0,f(x)单调递增;当 x>x1 时,g(x)<0,f′(x)<0,f(x)单调递减. 1 1 综上,当 0<a< 时,f(x)在(0,x1),(x2,+∞)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减;当 ≤a≤1 时,f(x)在(0, 3 3 + ∞) 上 单 调 递 增 ; 当 a>1 时 , f(x) 在 (0 , x1) 上 单 调 递 增 , 在 (x1 , + ∞) 上 单 调 递 减 . 其 中 x1 = ?1-a?- ?1-a??1-3a? ?1-a?+ ?1-a??1-3a? ,x2= . 2a?1-a? 2a?1-a?

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