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学案50 几何概型


学案 51

几何概型

自主梳理
1.几何概型 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的 概率模型为几何概率模型,简称为几何概型. 2.在几何概型中,事件 A 的概率计算公式 P(A)=____________________________________________________________________. 求试验中几何概型的概率,关键是求得事件所占区域和整个区域 Ω 的几何度量,然后代 入公式即可求解. 3.要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点: (1)无限性:在一次试验中,可能出现的结果有无限多个; (2)等可能性:每个结果的发生具有等可能性. 4.古典概型与几何概型的区别 (1)相同点:基本事件发生的可能性都是________; (2)不同点: 古典概型的基本事件是有限个, 是可数的; 几何概型的基本事件是________, 是不可数的.

自我检测
1. (2016 年全国 II 卷高考)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时 间为 40 秒.若一名行人来到该路口遇到红灯,则至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率 为( (A) )

7 10

(B)

5 8

(C)

3 8

(D)

3 10

2.[2014· 辽宁卷] 若将一个质点随机投入如图 11 所示的长方形 ABCD 中,其中 AB=2,BC =1,则质点落在以 AB 为直径的半圆内的概率是( )

图 11 π A. 2 π C. 6 π B. 4 π D. 8

3. (2013 年高考湖北卷 (文) ) 在区间 [?2, 4] 上随机地取一个数 x,若 x 满足 | x | ? m 的概率为

5 , 6

则 m ? __________. 4.[2014· 重庆卷] 某校早上 8:00 开始上课,假设该校学生小张与小王在早上 7:30~7: 50 之间到校,且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的,则小张比小王至少早 5 分钟到 校的概率为________.(用数字作答) 5.小波通过做游戏的方式来确定周末活动,他随机地往单位圆内投掷一点,若此点到圆

1 1 心的距离大于 ,则周末去看电影;若此点到圆心的距离小于 ,则去打篮球;否则,在家看 2 4 书.则小波周末不 在家看书的概率为 ________ . .

探究点一 与长度有关的几何概型
例1 在区间[0, 2]上随机地取一个数 x, 则事件“ ?1 ? log 1 ( x ? ) ? 1”发生的概率为 (
2

1 2



A.

3 4

B.

2 3

C.

1 3

D.

1 4

变式迁移 1 在半径为 1 的圆的一条直径上任取一点,过这个点作垂直于直径的弦,则 弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是________.

探究点二 与角度有关的几何概型

例 2 如图所示,在等腰 Rt△ABC 中,过直角顶点 C 在∠ACB 内部作一条射线 CM, 与线段 AB 交于点 M,求 AM<AC 的概率.

变式迁移 2

若将例 2 题目改为:“在等腰 Rt△ACB 中,在斜边 AB 上任取一点 M,求 AM 的长小于 AC 的长的概率”,答案还一样吗?

探究点三 与面积有关的几何概型 例 3 两人约定在 20∶00 到 21∶00 之间相见,并且先到者必须等迟到者 40 分钟方可 离去,如果两人出发是各自独立的,在 20∶00 至 21∶00 各时刻相见的可能性是相等的,求

两人在约定时间内相见的概率.

变式迁移 3 甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头,它们在一昼夜内 任何时刻到达是等可能的.如果甲船和乙船的停泊时间都是 4 小时,求它们中的任何一条船 不需要等待码头空出的概率.

1、 (15 年福建文科)如图,矩形 ABCD 中,点 A 在 x 轴上,点 B 的坐标为 (1, 0) .且点

? x ? 1, x ? 0 ? C 与点 D 在函数 f ( x) ? ? 1 的图像上.若在矩形 ABCD 内随机取一点,则该点 ? x ? 1, x ? 0 ? ? 2
取自阴影部分的概率等于( A. )

1 6

B.

1 4

C.

3 8

D.

1 2

S 2.在面积为 S 的△ABC 的边 AB 上任取一点 P,则△PBC 的面积大于 的概率是( ) 4 1 1 3 2 A. B. C. D. 4 2 4 3 3. 【2012 高考湖北文 10】如图,在圆心角为直角的扇形 OAB 中,分别以 OA,OB 为 直径作两个半圆。在扇形 OAB 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是

A.

B. . C. D. 4. 【2012 高考辽宁文 11】在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 C. 现作一矩形,邻边长 2 分别等于线段 AC,CB 的长,则该矩形面积大于 20cm 的概率为 :(A)

1 6

(B)

1 3

(C)

2 3

(D)

4 5

5.甲、乙两艘轮船都要停靠在同一个泊位,它们可能在一昼夜的任意时刻到达.设甲 乙两艘轮船停靠泊位的时间分别是 4 小时和 6 小时,求有一艘轮船停靠泊位时必须等待一段 时间的概率.


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