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高中数学必修四第一章1.3.3已知三角函数值求角


人大附中分校高一数学导学学案
班级____________ 姓名__________ 日期___________
题目 学 习 要 求 重 点 难 点 导 学 学 案

1.3.3 已知三角函数值求角

课型

新授课

教材

数学 B 版必修 4§1.3.3

(1)会用符号 arcsin x , arccos x , arctan x 表示角; (2)当 x 为特殊的三角函数值时,会求符号 arcsin x , arccos x , arctan x 的值; (3)使学生更加深刻地认识函数与方程的关系; 重点:已知三角函数的值求角; 难点:符号 arcsin a , arccosa , arctan a 所表示的意义及利用其意义求它们的特殊值。

一.自学课本 P57~60 问题:1、任意给定一个角,可以唯一地确定其正弦值;反之,如果知道角的正弦值,能否确定角? 2、由三角函数值求角,为什么要考虑角所在的范围?什么时候只有一个对应角?什么时候有两个以上 的对应角? 3、在实数范围内,即 α∈R 时,方程 sinα=m 的解集怎样写? 二.例题: 1.已知正弦值,求角:

1 ? ? ,(1)若 x ? [ ? , ] ,求 x; 2 2 2 (2)若 x ? [0 , 2? ) ,求 x; (3)若 x ? R ,求 x 的取值集合。
例 1、已知 sin x ?

结论:一般地,对于正弦函数 y ? sin x ,如果已知函数值 y(y∈[-1,1]),那么在 [ ? x 值和它对应。记为 x=arcsiny。若 sinx=-

? ?

, ] 上有唯一的 2 2

? ? ? 3 3 , x ? [ ? , ] ,则 x=srcsin(- )=- ;若 sinx=0, 3 2 2 2 2 ? ? ? ? x ? [ ? , ] ,则 x=arcsin0=0;若 sinx=0.3458, x ? [ ? , ] ,则 x=arcsin(0.3458). 2 2 2 2
2 , x ? [0 , 2? ) ,求 x; 2
(2)已知 cos x ? ?

2.已知余弦值,求角: 例 2、(1)已知 cosx=

1 ,求 x 的取值集合; 3

结论:一般地,对于余弦函数 y ? cos x ,如果已知函数值 y(y∈[-1,1]),那么在 [0, 2? ] 上有两个的 x 值和它对应。记为 x=arccosy 或 x=2π-arccosy。若 cosx=- 若 cosx=0, x ? [0, ? ] ,则 x=arccos0= arccos(0.3458). 3.已知正切值,求角: 例 3.已知 tan x ? ?

3 3 5? , x ? [0, ? ] ,则 x=arccos(- )= ; 6 2 2

? ;若 cosx=0.3458,x∈ [0, 2? ] ,则 x=arcos(0.3458)或 x=2π- 2

? ? 3 ,且 x ? ( ? , ) ,求 x 的值. 2 2 3

结论:一般地,如果 tanx=y(y∈R),且 x ? ( ?

? ?

, ) ,那么对于每一个正切值 y,在开区间 ( ? , ) 内, 2 2 2 2

? ?

有且只有一个角 x,使 tanx=y。记为 x=arctany, x ? ( ?

? ?

, )。 2 2

随堂练习 1 1.已知 α 是三角形的一个内角,且 sinα= ,则角 α 等于( ) 2 π π 5π π 2π π A. B. C. 或 D. 或 6 3 6 6 3 3 3 2.已知 cosx= ,π<x<2π,则 x 等于( ) 2 7π 4π 5π 11π A. B. C. D. 6 3 3 6 3.满足 tanx=-1 的 x 的集合是( ) π π π π A.{x|x= } B.{x|x=kπ+ ,k∈Z} C.{x|x=2kπ- ,k∈Z} D.{x|x=kπ- ,k∈Z} 4 4 4 4 1 3 4.arcsin(- )+arctan =________. 2 3 三.课堂小结: (重点是怎样使用反三角函数符号和怎样确定在给定范围内角的个数。 )

1 ? ? ,(1)若 x ? [ ? , ] ,求 x; 2 2 2 (2)若 x ? [0 , 2? ) ,求 x; (3)若 x ? R ,求 x 的取值集合。 5? ? 5? ? ? { (k ? Z )} 。 答案: (1) x= ; (2) x= 或 x= ; (3) x | x ? 2k? ? (k ? Z )} ∪ {x | x ? 2k? ? 6 6 6 6 6 2 例 2、(1)已知 cosx=- , x ? [0 , 2? ) ,求 x 的取值集合; 2 1 (2)已知 cos x ? ? ,求 x 的取值集合; 3 3? 5? 1 答案:(1){ , }; (2) {x | x ? 2k? ? arccos(? )} 。 4 4 3 ? ? 3 例 3.已知 tan x ? ? ,且 x ? [ ? , ] ,求 x 的值. 2 2 3 ? 答案:x=- 。 6
例 1、已知 sin x ? 随堂练习 1 1.已知 α 是三角形的一个内角,且 sinα= ,则角 α 等于( 2 π π 5π π 2π π A. B. C. 或 D. 或 6 3 6 6 3 3

1.3.3 已知三角函数值求角参考答案

)

1 π 5π 解析:选 C.∵α 是三角形的一个内角,∴0<α<π,∵sinα= ,∴α= 或 . 2 6 6 3 2.已知 cosx= ,π<x<2π,则 x 等于( ) 2 7π 4π 5π 11π A. B. C. D. 6 3 3 6 3 3 11π 解析:选 D.∵cosx= ,π<x<2π,∴x=2π-arccos = . 2 2 6 3.满足 tanx=-1 的 x 的集合是( ) π π π π A.{x|x= } B.{x|x=kπ+ ,k∈Z} C.{x|x=2kπ- ,k∈Z} D.{x|x=kπ- ,k∈Z} 4 4 4 4 π π π π 解析:选 D.∵tanx=-1,∴在(- , )内 x=- ,∴x=kπ- ,k∈Z. 2 2 4 4 1 3 4.arcsin(- )+arctan =________. 2 3 1 π 3 π 1 3 解析:arcsin(- )=- ,arctan = ,∴arcsin(- )+arctan =0. 答案:0 2 6 3 6 2 3


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