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第33章直线与圆的位置关系


2011 年全国各地 100 份中考数学试卷分类汇编
第 33 章 直线与圆的位置关系 一、选择题 1. (2011 宁波市,11,3 分)如图,⊙O1 的半径为 1,正方形 ABCD 的边长为 6,点 O2 为 正方形 ABCD 的中心,O1O2 垂直 AB 与 P 点,O1O2=8.若将⊙O1 绕点 P 按顺时针方 向旋转 360°,在旋转过程中,⊙O1 与正方形 ABCD 的边只有一个公共点的情况一共 出现

A. 3 次 B.5 次 C. 6 次 D. 7 次 【答案】B 2. (2011 浙江台州,10,4 分)如图,⊙O 的半径为 2,点 O 到直线 l 的距离为 3,点 P 是直 线 l 上的一个动点,PB 切⊙O 于点 B,则 PB 的最小值是( ) A.

13

B. 5

C.

3

D.2

【答案】B 3. (2011 浙江温州,10,4 分)如图,O 是正方形 ABCD 的对角线 BD 上一点,⊙O 边 AB, BC 都相切,点 E,F 分别在边 AD,DC 上.现将∴DEF 沿着 EF 对折,折痕 EF 与⊙O 相切,此时点 D 恰好落在圆心 O 处.若 DE=2,则正方形 ABCD 的边长是( )

A.3

B.4

C. 2 + 2

D. 2 2

【答案】C 4. (2011 浙江丽水,10,3 分)如图,在平面直角坐标系中,过格点 A,B,C 作一圆弧, 点 B 与下列格点的连线中,能够与该圆弧相切的是( )

-1-

y

A
1 0 1

B C
x

A.点(0,3) B.点(2,3) C.点(5,1) D.点(6,1) 【答案】C 5. (2011 浙江金华,10,3 分)如图,在平面直角坐标系中,过格点 A,B,C 作一圆弧, 点 B 与下列格点的连线中,能够与该圆弧相切的是( )
y

A
1 0 1

B C
x

B.点(2,3) C.点(5,1) D.点(6,1) A.点(0,3) 【答案】C 6. (2011 山东日照,11,4 分)已知 AC⊥BC 于 C,BC=a,CA=b,AB=c,下列选项中⊙O

的半径为

ab 的是( a+b



【答案】C 答案】 7. (2011 湖北鄂州,13,3 分)如图,AB 为⊙O 的直径,PD 切⊙O 于点 C,交 AB 的延 长线于 D,且 CO=CD,则∠PCA=( ) B.45° C.60° D.67.5° A.30° P C A D

O

B

第 13 题图 【答案】D 8. (2011 浙江湖州,9,3)如图,已知 AB 是⊙O 的直径,C 是 AB 延长线上一点,BC=OB,

-2-

CE 是⊙O 的切线,切点为 D,过点 A 作 AE⊥CE,垂足为 E,则 CD:DE 的值是 1 A. B.1 C.2 D.3 2

【答案】C

9. (2011 台湾全区,33)如图(十五), AB 为圆 O 的直径,在圆 O 上取异于 A、B 的一点
C,并连接 BC 、

AC .若想在 AB 上取一点 P,使得 P 与直线 BC 的距离等于 AP 长,判断下列四个作法何
者正确?

A.作 AC 的中垂线,交 AB 于 P 点 B.作∠ACB 的角平分线,交 AB 于 P 点 C.作∠ABC 的角平分线,交 AC 于 D 点,过 D 作直线 BC 的并行线,交 AB 于 P 点 D.过 A 作圆 O 的切线,交直线 BC 于 D 点,作∠ADC 的角平分线,交 AB 于 P 点 【答案】D D 10.(2011 甘肃兰州,3,4 分)如图,AB 是⊙O 的直径,点 D 在 AB 的延长线上,DC 切 . ⊙O 于点 C,若∠A=25°,则∠D 等于 A.20° B.30° C.40° D.50°

D

B

O

A

C 【答案】C 11. (2011 四川成都,10,3 分)已知⊙O 的面积为 9πcm ,若点 0 到直线 l 的距离为 πcm ,
2

则直线 l 与⊙O 的位置关系是 C (A)相交 (B)相切 (C)相离 【答案】C

(D)无法确定

-3-

12. (2011 重庆綦江,7,4 分) 如图,PA、PB 是⊙O 的切线,切点是 A、B,已知∵P=60°, OA=3,那么∵AOB 所对弧的长度为( A.6л B.5л ) C.3л D.2л

【答案】:D 13. (2011 湖北黄冈,13,3 分)如图,AB 为⊙O 的直径,PD 切⊙O 于点 C,交 AB 的延 长线于 D,且 CO=CD,则∠PCA=( )[来源:学,科,网 Z,X,X,K] A.30° B.45° C.60° D.67.5° P C A D

O

B

第 13 题图 【答案】D 14. (2011 山东东营,12,3 分)如图,直线 y =

3 x + 3 与 x 轴、y 分别相交与 A、B 两 3

点,圆心 P 的坐标为(1,0),圆 P 与 y 轴相切与点 O。若将圆 P 沿 x 轴向左移动,当 圆 P 与该直线相交时,横坐标为整数的点 P′的个数是( A.2 B.3 C.4 ) D. 5

【答案】B 15. (2011 浙江杭州,5,3)在平面直角坐标系 xOy 中,以点(-3,4)为圆心,4 为半径的圆 ( ) A.与 x 轴相交,与 y 轴相切 B.与 x 轴相离,与 y 轴相交 C.与 x 轴相切,与 y 轴相交 D.与 x 轴相切,与 y 轴相离
-4-

【答案】C 16. (2011 山东枣庄, 3 分) 7, 如图,PA 是 ⊙O 的切线, 切点为 A, PA=2 3 ,∠APO=30°, 则 ⊙O 的半径为( )

O P

A

A.1

B. 3

C.2

D.4

【答案】C 二、填空题 1. (2011 广东东莞,9,4 分)如图,AB 与⊙O 相切于点 B,AO 的延长线交⊙O 于点,连 ° 结 BC.若∠A=40°,则∠C=

[来源:Zxxk.Com]
【答案】 25
0

2. (2011 四川南充市,13,3 分)如图,PA,PB 是⊙O 是切线,A,B 为切点, AC 是⊙O 的直径,若∠BAC=25°,则∠P= __________度.

A

O

P B

C

【答案】50 3. (2011 浙江衢州,16,4 分)木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径 r .用角尺的较 短边紧靠 O ,并使较长边与 O 相切于点 C .假设角尺的较长边足够长,角尺的顶点 B , 较短边 AB = 8cm .若读得 BC 长为 acm ,则用含 a 的代数式表示 r 为 .

-5-

A B

O C
(第 16 题)



案 】 当 0<a≤8 时 , 1 2 1 2 a > 8时,r = a + 4.或当0 < r ≤ 8, r = a; 当r = a + 4 . 16 16 答

r=a





4. (2011 浙江绍兴, 5 分) 如图, 16, 相距 2cm 的两个点 A, B 在在线 l 上, 它们分别以 2 cm/s 当点 A, B 分别平移到点 A1 , B1 的位置时, 半径为 1 cm 和 1 cm/s 的速度在 l 上同 时向右平移, 的

A1 与半径为 BB1 的 B 相切,则点 A 平移到点 A1 的所用时间为

s.

A
第 16 题图

B

l

1 【答案】 或3 3
5. (2011 江苏苏州, 16,3 分) 如图, 已知 AB 是⊙O 的一条直径, 延长 AB 至 C 点, 使得 AC=3BC, CD 与⊙O 相切,切点为 D.若 CD= 3 ,则线段 BC 的长度等于__________.

【答案】1 6. (2011 江苏宿迁,17,3 分)如图,从⊙O 外一点 A 引圆的切线 AB,切点为 B,连接 AO 并 延长交圆于点 C,连接 BC.若∠A=26°,则∠ACB 的度数为 ▲ .

【答案】32

-6-

7. (2011 山东济宁,13,3 分)如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,∠A=60°,BC=4cm, 以点 C 为圆心,以 3cm 长为半径作圆,则⊙C 与 AB 的位置关系是 .
A

C

B

第 13 题 【答案】相交 8. (2011 广东汕头,9,4 分)如图,AB 与⊙O 相切于点 B,AO 的延长线交⊙O 于点,连 ° 结 BC.若∠A=40°,则∠C=

【答案】 25

0

9. (2011 山东威海,17,3 分)如图①,将一个量角器与一张等腰直角三角形(△ABC) 纸片放置成轴对称图形,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为 D,半圆(量角器)的圆心与点 D 重 合,没得 CE=5cm,将量角器沿 DC 方向平移 2cm,半圆(量角器)恰与△ABC 的边 AC、 BC 相切,如图②,则 AB 的长为 cm.(精确到 0.1cm)

图① (第 17 题) 图② [来源:学+科+网 Z+X+X+K] 【答案】 24.5 10.(2011 四川宜宾,11,3 分)如图,PA、PB 是⊙O 的切线,A、B 为切点,AC 是⊙O 的 . 直径,∵P=40°,则∵BAC=_____.

(第 11 题图)

-7-

【答案】20° 11. (2010 湖北孝感,18,3 分)如图,直径分别为 CD、CE 的两个半圆相切于点 C,大半 圆 M 的弦 AB 与小半圆 N 相切于点 F,且 AB∥CD,AB=4,设 CD 、 CE 的长分别为 x、y,线 段 ED 的长为 z,则 z(x+y)= .

【答案】8π π 12. (2011 广东省,9,4 分)如图,AB 与⊙O 相切于点 B,AO 的延长线交⊙O 于点,连 结 BC.若∠A=40°,则∠C= °[来源:学*科*网]

【答案】 25 三、解答题

0

1. (2011 浙江义乌,21,8 分)如图,已知⊙O 的直径 AB 与弦 CD 互相垂直,垂足为点 E. ⊙O 的切线 BF 与弦 AD 的 延长线相交于点 F,且 AD=3,cos∠BCD= (1)求证:CD∥BF; (2)求⊙O 的半径; (3)求弦 CD 的长.
A

.

O C EC DO

B

FM

【答案】(1)∵BF 是⊙O 的切线 ∴AB⊥BF ∵AB⊥CD ∴CD∥BF (2)连结 BD ∵AB 是直径 ∴∠ADB=90° ∵∠BCD=∠BAD cos∠BCD=

3 4

-8-

∴cos∠BAD=

AD 3 = AB 4

又∵AD=3 ∴AB=4 ∴⊙O 的半径为 2
A

C

O E B

D

F

(3)∵cos∠DAE= ) ∠

AE 3 = AD 4
2

AD=3∴AE= ∴

9 4

3 7 ?9? ∴ED= 3 ? ? ? = 4 ?4?
2

3 7 ∴CD=2ED= 2 2. (2011 浙江省舟山,22,10 分)如图,∴ABC 中,以 BC 为直径的圆交 AB 于点 D, ∵ACD=∵A BC. (1)求证:CA 是圆的切线; (2)若点 E 是 BC 上一点,已知 BE=6,tan∵ABC=
A
D

2 5 ,tan∵AEC= ,求圆的直径. 3 3

B

E

C

(第 22 题)

【答案】(1)∵BC 是直径,∵∵BDC=90°,∵∵ABC+∵DCB=90°,∵∵ACD=∵ABC, ∵∵ACD+∵DCB=90°,∵BC⊥CA,∵CA 是圆的切线.
(2)在 Rt∴AEC 中,tan∵AEC=

5 AC 5 3 ,∵ = , EC = AC ; 3 EC 3 5

在 Rt∴ABC 中,tan∵ABC= ∵BC-EC=BE,BE=6,∵

2 AC 2 3 ,∵ = , BC = AC ; 3 BC 3 2

3 3 20 AC ? AC = 6 ,解得 AC= , 2 5 3

-9-

∵BC=

3 20 × = 10 .即圆的直径为 10. 2 3

3. (2011 安徽芜湖,23,12 分)如图,已知直线 PA 交⊙O 于 A、B 两点,AE 是⊙O 的直径,点 C 为⊙O 上一点,且 AC 平分∠PAE,过 C 作 CD ⊥ PA ,垂足为 D. (1) 求证:CD 为⊙O 的切线; (2) 若 DC+DA=6,⊙O 的直径为 10,求 AB 的长度.

【答案】 (1)证明 证明:连接 OC, 证明

……………………………………1 分
o

因为点 C 在⊙O 上,OA=OC,所以 ∠OCA = ∠OAC . 因为 CD ⊥ PA ,所以 ∠CDA = 90 , 有 ∠CAD + ∠DCA = 90 .因为 AC 平分∠PAE,所以 ∠DAC = ∠CAO. ……………3 分
o

所以 ∠DCO = ∠DCA + ∠ACO = ∠DCA + ∠CAO = ∠DCA + ∠DAC = 90 . ……4 分
o

又因为点 C 在⊙O 上,OC 为⊙O 的半径,所以 CD 为⊙O 的切线. ………………5 分 (2)解:过 O 作 OF ⊥ AB ,垂足为 F,所以 ∠OCD = ∠CDA = ∠OFD = 90 , 解
o

所以四边形 OC DF 为矩形,所以 OC = FD, OF = CD.

……………………………7 分

因为 DC+DA=6,设 AD = x ,则 OF = CD = 6 ? x. 因为⊙O 的直径为 10,所以 DF = OC = 5 ,所以 AF = 5 ? x . 在 Rt△AOF 中,由勾股定理知 AF + OF = OA .
2 2 2

即 ( 5 ? x ) + ( 6 ? x ) = 25. 化简得 x ? 11x + 18 = 0 ,
2 2 2

解得 x = 2 或 x=9. ………………9 分 由 AD < DF ,知 0 < x < 5 ,故 x = 2 . ………10 分 从而 AD=2, AF = 5 ? 2 = 3. …………………11 分 因为 OF ⊥ AB ,由垂径定理知 F 为 AB 的中点,所以 AB = 2 AF = 6. …………12 分 4. (2011 山东滨州,22,8 分)如图,直线 PM 切⊙O 于点 M,直线 PO 交⊙O 于 A、B 两 点,弦 AC∥PM, 连接 OM、BC. 求证:(1)△ABC∽△POM; (2)2OA2=OP·BC.

- 10 -

C

M

B

O

A

P

(第 22 题图)

【答案】证明:(1)∵直线 PM 切⊙O 于点 M,∴∠PMO=90°………………1 分 ∵弦 AB 是直径,∴∠ACB=90°………………2 分 ∴∠ACB=∠PMO………………3 分 ∵AC∥PM, ∴∠CAB=∠P ………………4 分 ∴△ABC∽△POM………………5 分 (2) ∵ △ABC∽△POM, ∴

AB BC = ………………6 分 PO OM 2OA BC 又 AB=2OA,OA=OM, ∴ = ………………7 分 PO OA
2

∴2OA =OP·BC………………8 分 5. (2011 山东菏泽, 18, 分) 10 如图, 为⊙O 的直径, BD AB=AC, 交 BC 于点 E, AD AE=2, ED=4, (1)求证:∴ABE∽∴ADB; (2)求 AB 的长; (3)延长 DB 到 F,使得 BF=BO,连接 FA,试判断直线 FA 与⊙O 的位置关系,并说明 理由. F B O A E C

D

解:(1)证明:∵AB=AC,∵∵ABC=∵C, ∵∵C=∵D,∵∵ABC=∵D, 又∵∵BAE=∵EAB,∵∴ABE∽∴ADB, AB AE = , (2) ∵∴ABE∽∴ADB,∵ AD AB

- 11 -

∵AB2=AD·AE=(AE+ED)·AE=(2+4)×2=12 ∵AB= 2 3 . (3) 直线 FA 与⊙O 相切,理由如下: 连接 OA,∵BD 为⊙O 的直径,∵∵BAD=90°, ∵ BD = AB 2 + AD 2 = 12 + (2 + 4) 2 = 4 3 ,

1 BF=BO= BD = 2 3 , 2
∵AB= 2 3 ,∵BF=BO=AB,可证∠OAF=90°, ∵直线 FA 与⊙O 相切. 6. (2011 山东日照,21,9 分)如图,AB 是⊙O 的直径,AC 是弦,CD 是⊙O 的切线,C 为切 点,AD⊥CD 于点 D. 求证:(1)∠AOC=2∠ACD; (2)AC2=AB·AD.

证明:( 的切线,∴∠OCD=9 0°, 【答案】证明:( )∵CD 是⊙O 的切线,∴∠ 答案 证明:(1) ° 即∠ACD+∠ACO=90°.…① ∵OC=OA,∴∠ACO=∠CAO, ∠ ° ,∴∠ ∠ , ∵∠AOC=180°-2∠ACO , 即 ∠ ∠ACD-

1 ∠AOC+∠ACO=90°. ② ∠ . 2

由①,②,得:

1 ∠AOC=0,即∠AOC=2∠ACD; , ∠ ; 2

(2)如图,连接 BC. )如图, . 是直径,∴∠ACB=90°. ∵AB 是直径,∴∠ . 在 Rt∴ACD 与∴RtACD 中, ∴ ∵∵AOC=2∵B,∵∵B=∵ACD, ∵ , ∵ , ∵∴ACD∽∴ABC,∵ ∽ ,

AC AD = ,即 AC2=AB·AD. · . AB AC

7. (2011 浙江温州,20,8 分)如图,AB 是⊙O 的直径,弦 CD⊥AB 于点 E,过点 B 作⊙O 的切线,交 AC 的延长线于点 F.已知 OA=3,AE=2, (1)求 CD 的长; (2)求 BF 的长.
- 12 -

【答案】解:(1)连结 OC,在 Rt∴OCE 中, CE = OC 2 ? OE 2 = 9 ? 1 = 2 2 . 答案】 连结 , ∵CD⊥AB, ⊥ , ∵ CD = 3CE = 4 2

(2) ∵BF 是⊙O 的切线, 的切线, ∵FB⊥AB, ⊥ , ∵CE∥FB, ∥ , ∵∴ACE∽∴AFB, ∽ , ∵ ∵ BF = 6 2 8. (2011 浙江省嘉兴,22,12 分)如图,∴ABC 中,以 BC 为直径的圆交 AB 于点 D, ∵ACD=∵ABC. (1)求证:CA 是圆的切线; (2)若点 E 是 BC 上一点,已知 BE=6,tan∵ABC=
A
D

CE AE 2 2 2 = = , , BF AB BF 6

2 5 ,tan∵AEC= ,求圆的直径. 3 3

B

E

C

(第 22 题)

[来源:学_科_网]
- 13 -

【答案】(1)∵BC 是直径,∵∵BDC=90°,∵∵ABC+∵DCB=90°,∵∵ACD=∵ABC, ∵∵ACD+∵DCB=90°,∵BC⊥CA,∵CA 是圆的切线. (2)在 Rt∴AEC 中,tan∵AEC= 在 Rt∴ABC 中,tan∵ABC= ∵BC-EC=BE,BE=6,∵ ∵BC=

5 AC 5 3 ,∵ = , EC = AC ; 3 EC 3 5

2 AC 2 3 ,∵ = , BC = AC ; 3 BC 3 2

3 3 20 AC ? AC = 6 ,解得 AC= , 2 5 3

3 20 × = 10 .即圆的直径为 10. 2 3

9. (2011 广东株洲,22,8 分)如图,AB 为⊙O 的直径,BC 为⊙O 的切线,AC 交⊙O 于点 E, D 为 AC 上一点,∠AOD=∠C. (1)求证:OD⊥AC; (2)若 AE=8, tan A =

3 ,求 OD 的长. 4

【答案】(1)证明:∵BC 是⊙O 的切线,AB 为⊙O 的直径 ∴∠ABC=90°,∠A+∠C=90°, 又∵∠AOD=∠C, ∴∠AOD+∠A=90°, ∴∠ADO=90°, ∴OD⊥AC. (2)解:∵OD⊥AE,O 为圆心, ∴D 为 AE 中点 , ∴ AD=

1 AE=4 , 2 3 ,∴ OD=3. 4

又 tan A =

10.(2011 山东济宁,20,7 分)如图,AB 是⊙O 的直径,AM 和 BN 是它的两条切线, . DE 切⊙O 于点 E,交 AM 于点 D,交 BN 于点 C,F 是 CD 的中点,连接 OF, (1)求证:OD∥BE;

- 14 -

(2)猜想:OF 与 CD 有何数量关系?并说明理由.
A D M

E O F

B

C

N

第 20 题 【答案】(1)证明:连接 OE, ∵AM、DE 是⊙O 的切线,OA、OE 是⊙O 的半径, ∴∠ADO=∠EDO,∠DAO=∠DEO=90°, ∴∠AOD=∠EOD= ∵∠ABE= ∴OD∥BE (2)OF=

1 ∠AOE, 2

1 ∠AOE,∴∠AOD=∠ABE, 2

1 CD, 2

理由:连接 OC, ∵BC、CE 是⊙O 的切线, ∴∠OCB=∠OCE ∵AM∥BN, ∴∠ADO+∠EDO+∠OCB+∠OCE=180° 由(1)得∠ADO=∠EDO, ∴2∠EDO+2∠OCE=180°,即∠EDO+∠OCE=90° 在 Rt△DOC 中,∵F 是 DC 的中点, ∴OF=
A

1 CD. 2
D M

E O F

B

C

N

第 20 题 11. (2011 山东聊城,23,8 分)如图,AB 是半圆的直径,点 O 是圆心,点 C 是 OA 的中

- 15 -

点,CD⊥OA 交半圆于点 D,点 E 是 BD 的中点,连接 OD、AE,过点 D 作 DP∥AE 交 BA 的延长线于点 P, (1)求∠AOD 的度数; (2)求证:PD 是半圆 O 的切线;

【答案】(1)∵点 C 是 OA 的中点,∴OC= 90°,在 Rt△OCD 中,cos∠COD=

1 1 OA= OD,∵CD⊥OA,∴∠OCD= 2 2

OC 1 = ,∴∠COD=60°,即∠AOD=60°, OD 2 1 ∠DOB 2

(2)证明:连接 OC,点 E 是 BD 弧的中点,DE 弧=BE 弧,∴∠BOE=∠DOE= =

1 (180°-∠COD)=60°,∵OA=OE,∴∠EAO=∠AEO,又∠EAO+∠AEO=∠EOB 2

=60°,∴∠EAO=30°,∵PD∥AE,∴∠P=∠EAO=30°,由(1)知∠AOD=60°,∴∠ PDO=180°-(∠P+∠POD)=180°-(30°+60°)=90°,∴PD 是圆 O 的切线 12. (2011 山东潍坊,23,11 分)如图,AB 是半圆 O 的直径,AB=2.射线 AM、BN 为半圆 的切线.在 AM 上取一点 D,连接 BD 交半圆于点 C,连接 AC.过 O 点作 BC 的垂线 OE, 垂足为点 E,与 BN 相交于点 F.过 D 点做半圆的切线 DP,切点为 P,与 BN 相交于点 Q. (1)求证:△ABC∽ΔOFB; (2)当ΔABD 与△BFO 的面积相等时,求 BQ 的长; (3)求证:当 D 在 AM 上移动时(A 点除外),点 Q 始终是线段 BF 的中点.

【解】(1)证明:∵AB 为直径, ∴∠ACB=90°,即 AC⊥BC. 又∵OE⊥BC,∴OE//AC,∴∠BAC=∠FOB.

- 16 -

∵BN 是半圆的切线,故∠BCA=∠OBF=90°. ∴△ACB∽△OBF. (2)由△ACB∽△OBF,得∠OFB=∠DBA,∠DAB=∠OBF=90°, ∴△ABD∽△BFO, 当△ABD 与△BFO 的面积相等时,△ABD≌△BFO. ∴AD=BO=

1 AB =1. 2

∵DA⊥AB,∴DA 为⊙O 的切线. 连接 OP,∵DP 是半圆 O 的切线, ∴DA=DP=1,∴DA=AO=OP=DP=1, ∴四边形 ADPO 为正方形. ∴DP//AB,∴四边形 DABQ 为矩形. ∴BQ=AD=1. (3)由(2)知,△ABD∽△BFO, ∴

BF AB 2 = ,∴ BF = . OB AD AD

∵DPQ 是半圆 O 的切线,∴AD=DP,QB=QP. 过点 Q 作 AM 的垂线 QK,垂足为 K,在 Rt△DQK 中, DQ 2 = QK 2 + DK 2 , ∴ ( AD + BQ ) = ( AD ? BQ ) + 2 ,
2 2 2

∴ BQ =

1 ,∴BF=2BQ,∴Q 为 BF 的中点. AD

13. (2011 四川广安,29,10 分)如图 8 所示.P 是⊙O 外一点.PA 是⊙O 的切线.A 是切 点.B 是⊙O 上一点.且 PA=PB,连接 AO、BO、AB,并延长 BO 与切线 PA 相交于点 Q. (1)求证:PB 是⊙O 的切线; (2)求证: AQ?PQ= OQ?BQ; (3)设∵AOQ= α .若 cos α =

4 .OQ= 15.求 AB 的长 5

- 17 -

Q _ A _

O _ P _

B _

图8 【答案】(1)证明:如图,连结 OP ∵PA=PB,AO=BO,PO=PO ∵△APO≌△BPO ∵∵PBO=∵PAO=90° ∵PB 是⊙O 的切线 (2)证明:∵∵OAQ=∵PBQ=90° ∵△QPB∽ ? QOA ∵

PQ BQ = OQ AQ AO 4 = OQ 5

即 AQ?PQ= OQ?BQ

(3)解:cos α =

∵AO=12[来源:Z.xx.k.Com] ∵BPQ=∵AOQ= α ∵PB=36 ∵AB= PO=12 10

∵△QPB∽ ? QOA ∵tan∵BPQ= ∵

BQ 3 = PB 4

1 AB?PO= OB?BP 2

36 10 5

Q _ A _

O _ P _

B _

图8 14. (2011 江苏淮安,25,10 分)如图,AD 是⊙O 的弦,AB 经过圆心 O,交⊙O 于点 C, ∵DAB=∵B=30°. (1)直线 BD 是否与⊙O 相切?为什么?(2)连接 CD,若 CD=5,求 AB 的长.

- 18 -

D

A

O

C

B

【答案】(1)答:直线 BD 与⊙O 相切.理由如下: 如图,连接 OD, ∵∵ODA=∵DAB=∵B=30°, ∵∵ODB=180°-∵ODA-∵DAB-∵B=180°-30°-30°-30°=90°, 即 OD⊥BD, ∵直线 BD 与⊙O 相切.

(2)解:由(1)知,∵ODA=∵DAB=30°, ∴∵DOB=∵ODA+∵DAB=60°, 又∵OC=OD, ∴△DOB 是等边三角形, ∴OA=OD=CD=5. 又∵∵B=30°,∵ODB=30°, ∴OB=2OD=10. ∴AB=OA+OB=5+10=15.[来源:学科网][来源:学。科。网 Z。X。X。K]

- 19 -

15. (2011 江苏南通,22,8 分)(本小题满分 8 分) 如图, 为⊙O 的切线, 为切点, AM A BD⊥AM 于点 D, 交⊙O 于 C, 平分∠AOB. BD OC 求∠B 的度数.

【答案】60°. 16. (2011 四川绵阳 22,12)如图,在梯形 ABCD 中,AB//CD,∠BAD=90°,以 AD 为直 径的 半圆 O 与 BC 相切. (1)求证:OB 丄 OC; (2)若 AD= 12,∠ BCD=60°,⊙O1 与半⊙O 外切,并与 BC、CD 相切,求⊙O1 的面积.

【答案】(1)证明:连接 OF,在梯形 ABCD,在直角△AOB 和直角△AOB F 中
?AO=FO ∵?OB=OB ?

∴△AOB≌△AOB(HL) 同理△COD≌△COF,∴∠BOC=90°,即 OB⊥OC

F

(2) 过点做 O1G,O1H 垂直 DC,DA,∵∠DOB=60°,∴∠DCO=∠BCO=30°,设 O1G=x,又∵ AD=12,∴OD=6,DC=6 3,OC=12,CG= 3x, O1C =6-x,根据勾股定理可知 O1G?+GC?=O1C? x?+3x?=(6-x)?∴(x-2)(x+6)=0,x=2

- 20 -

F

H G

17. (2011 四川乐山 24,10 分)如图,D 为 ∵CDA=∵CBD. (1)求证:CD 是⊙O 的切线; (2)过点 B 作

O 上一点,点 C 在直径 BA 的延长线上,且

O 的切线交 CD 的延长线于点 E,若 BC=6,tan∵CDA=

2 ,求 BE 的长 3

【答案】 ⑴证明:连接 OD

∵OA=OD ∴∠ADO=∠OAD ∵AB 为⊙O 的直径, ∴∠ADO+∠BDO=90°

- 21 -

∴在 RtΔABD 中,∠ABD+∠BAD=90° ∵∠CDA=∠CBD ∴∠CDA+∠ADO=90° ∴OD⊥CE 即 CE 为⊙O 的切线 18. (2011 四川凉山州,27,8 分)如图,已知 △ABC ,以 BC 为直径, O 为圆心的半圆 交 AC 于点 F ,点 E 为 CF 的中点,连接 BE 交 AC 于点 M , AD 为 △ABC 的角平分线, 且 AD ⊥ BE ,垂足为点 H 。 (1) 求证: AB 是半圆 O 的切线; (2) 若 AB = 3 , BC = 4 ,求 BE 的长。 A F H B M C

E

O 27 题图 【答案】 ⑴证明:连接 EC ,

D

∵ BC 是直径 ∴ ∠E = 90

o o

有∵ AD ⊥ BE 于 H ∴ ∠AHM = 90 ∵ ∠1 = ∠2 ∴ ∠3 = ∠4 ∵ AD 是 △ABC 的角平分线 ∴ ∠4 = ∠5 = ∠3 又 ∵ E 为 CF 的中点 ∴ ∠3 = ∠7 = ∠5 ∵ AD ⊥ BE 于 H ∵ ∠5 + ∠6 = 90 又∵ BC 是直径
o

即 ∠6 + ∠7 = 90

o

∴ AB 是半圆 O 的切线 ···4 分

(2)∵ AB = 3 , BC = 4 。 由(1)知, ∠ABC = 90 ,∴ AC = 5 。
o

在 △ABM 中, AD ⊥ BM 于 H , AD 平分 ∠BAC , ∴ AM = AB = 3 ,∴ CM = 2 。 由 △CME ∽ △BCE ,得 ∴ EB = 2 EC , ∴ BE =

EC MC 1 = = 。 EB CB 2

8 5。 5

19. (2011 江苏无锡,27,10 分)(本题满分 10 分)如图,已知 O(0,0)、A(4,0)、B(4,3)。 动点 P 从 O 点出发, 以每秒 3 个单位的速度, 沿△OAB 的边 OA、 AB、 作匀速运动; BO
- 22 -

动直线 l 从 AB 位置出发,以每秒 1 个单位的速度向 x 轴负方向作匀速平移运动。若它 们同时出发,运动的时间为 t 秒,当点 P 运动到 O 时,它们都停止运动。[来源:学科网 ZXXK] (1)当 P 在线段 OA 上运动时,求直线 l 与以点 P 为圆心、1 为半径的圆相交时 t 的取值 范围; (2)当 P 在线段 AB 上运动时,设直线 l 分别与 OA、OB 交于 C、D,试问:四边形 CPBD 是否可能为菱形?若能,求出此时 t 的值;若不能,请说明理由,并说明如何改变直 线 l 的出发时间,使得四边形 CPBD 会是菱形。 y
B

O

A

x

【答案】 解: (1)当点 P 在线段 OA 上时, P(3t, ………………………………………………………… 0), (1 分) ⊙P 与 x 轴的两交点坐标分别为(3t ? 1,0)、(3t + 1,0),直线 l 为 x = 4 ? t, ?3t ? 1 < 4 ? t, 若直线 l 与⊙P 相交,则? ……………(3 分) ?4 ? t < 3t + 1. 3 5 解得: < t < .……………………………………………………………………(5 分) 4 4 (2)点 P 与直线 l 运动 t 秒时,AP = 3t ? 4,AC = t.若要四边形 CPBD 为菱形,则 CP // OB, AP AC 3t ? 4 t ∴∠PCA = ∠BOA,∴Rt△APC ∽ Rt△ABO,∴ = ,∴ = ,解得 t = AO 3 4 AB 16 ,……(6 分) 9 4 16 20 5 此时 AP = ,AC = ,∴PC = ,而 PB = 7 ? 3t = ≠ PC, 9 9 3 3 故四边形 CPBD 不可能时菱形.……………………………………………(7 分) (上述方法不唯一,只要推出矛盾即可) 现改变直线 l 的出发时间,设直线 l 比点 P 晚出发 a 秒, AP PC AC 若四边形 CPBD 为菱形,则 CP // OB,∵∴APC ∽ ∴ABO, = = , AB BO AO ∵ 3t ? 4 7 ? 3t t?a = = , 3 5 4

? 3 = 5 , ?t = 24 即:?3t ? 4 t ? a ,解得? 5 = . ? 3 ?a = 24 4

3t ? 4

7 ? 3t

41

- 23 -

∴只要直线 l 比点 P 晚出发

5 41 秒 , 则 当 点 P 运 动 秒 时 , 四 边 形 CPBD 就 是 菱 24 24

形.………………(10 分) 20. (2011 湖北武汉市,22,8 分) (本题满分 8 分)如图,PA 为⊙O 的切线,A 为切点.过 . A 作 OP 的垂线 AB,垂足为点 C,交⊙O 于点 B.延长 BO 与⊙O 交于点 D,与 PA 的延长 线交于点 E. (1)求证:PB 为⊙O 的切线; 1 (2)若 tan∵ABE= ,求 sinE 的值. 2

【答案】(本题 8 分)(1)证明:连接 OA ∵PA 为⊙O 的切线, ∵∵PAO=90° ∵OA=OB,OP⊥AB 于 C ∵BC=CA,PB=PA ∵∴PBO≌∴PAO ∵∵PBO=∵PAO=90° ∵PB 为⊙O 的切线 (2)解法 1:连接 AD,∵BD 是直径,∵BAD=90° 由(1)知∵BCO=90° ∵AD∥OP ∵∴ADE∽∴POE ∵EA/EP=AD/OP 由 AD∥OC 得 AD=2OC ∵tan∵ABE=1/2 ∵OC/BC=1/2,设 OC =t,则 BC=2t,AD=2t 由∴PBC∽∴BOC,得 PC=2BC=4t,OP=
5t

∵EA/EP=AD/OP=2/5,可设 EA=2m,EP=5m,则 PA=3m ∵PA=PB∵PB=3m ∵sinE=PB/EP=3/5 (2)解法 2:连接 AD,则∵BAD=90°由(1)知∵BCO=90°∵由 AD∥OC,∵AD=2OC ∵tan∵ABE=1/2,∵OC/BC=1/2,设 OC=t,BC=2t,AB=4t 由∴PBC∽∴BOC,得 PC=2BC =4t, ∵PA=PB=2 5 t 过 A 作 AF⊥PB 于 F,则 AF·PB=AB·PC ∵AF=
8 5 t 5

进而由勾股定理得 PF=

6 5 t 5

- 24 -

∵sinE=sin∵FAP=PF/PA=3/5 21. (2011 湖南衡阳,24,8 分)如图,△ABC 内接于⊙O,CA=CB,CD∥AB 且与 OA 的 延长线交与点 D. (1)判断 CD 与⊙O 的位置关系并说明理由; (2)若∠ACB=120°,OA=2,求 CD 的长.

【解】 (1) CD 与⊙O 的位置关系是相切,理由如下: 作直径 CE,连结 AE. ∵CE 是直径, ∵∠EAC=90°,∴∠E+∠ACE=90°, ∵CA=CB,∵∠B=∠CAB,∵AB∥CD, ∵∠ACD=∠CAB,∵∠B=∠E,∠ACD=∠E, ∴∠ACE+∠ACD=90°,即∠DCO=90°, ∵OC⊥D C,∴CD 与⊙O 相切. (2)∵CD∥AB,OC⊥D C,∵OC⊥A B, 又∠ACB=120°,∴∠OCA=∠OCB=60°, ∵OA=OC,∵△OAC 是等边三角形, ∵∠DOA=60°, ∴在 Rt△DCO 中,

DC = tan ∠DOA = 3 , OC

∴DC= 3 OC= 3 OA=2 3 . 22. (2011 湖南永州,23,10 分)如图,AB 是半圆 O 的直径,点 C 是⊙O 上一点(不与 A,B 重合),连接 AC,BC,过点 O 作 OD∥AC 交 BC 于点 D,在 OD 的延长线上取一点 E,连接 EB,使∵OEB=∵ABC. ⑴求证:BE 是⊙O 的切线; ⑵若 OA=10,BC=16,求 BE 的长.

E C D A O B

(第 25 题图)

【答案】证明:⑴∵AB 是半圆 O 的直径 ∵∵ACB=90° ∵OD∥AC ∵∵ODB=∵ACB=90° ∵∵BOD+∵ABC=90°

- 25 -

又∵∵OEB=∵ABC ∵∵BOD+∵OEB=90° ∵∵OBE=90° ∵AB 是半圆 O 的直径 ∵BE 是⊙O 的切线 ⑵在 Rt?ABC 中,AB=2OA=20,BC=16,∵ AC = AB 2 ? BC 2 = 20 2 ? 16 2 = 12 ∵ tan A = ∵ BE =
BC 16 4 = = AC 12 3

∵ tan ∠BOE =

BE 4 = OB 3

4 4 1 OB = × 10 = 13 . 3 3 3

23. (2011 江苏盐城,25,10 分)如图,在△ABC 中,∠C= 90°,以 AB 上一点 O 为圆心, OA 长为半径的圆与 BC 相切于点 D,分别交 AC、AB 于点 E、F. (1)若 AC=6,AB= 10,求⊙O 的半径; (2)连接 OE、ED、DF、EF.若四边形 BDEF 是平行四边形,试判断四边形 OFDE 的形状,并说明理由.
C E D

A

O

F

B

【答案】(1)连接 OD. 设⊙O 的半径为 r. ∵BC 切⊙O 于点 D,∴OD⊥BC. ∵∠C=90°,∴OD∥AC,∴△OBD∽△ABC. 15 OD OB r 10-r ∴ = ,即 = . 解得 r = , AC AB 6 10 4 15 ∴⊙O 的半径为 . 4 (2)四边形 OFDE 是菱形. ∵四边形 BDEF 是平行四边形,∴∠DEF=∠B. 1 1 ∵∠DEF= ∠DOB,∴∠B= ∠DOB.[来源:Zxxk.Com] 2 2 ∵∠ODB=90°,∴∠DOB+∠B=90°,∴∠DOB=60°. ∵DE∥AB,∴∠ODE=60°.∵OD=OE,∴△ODE 是等边三角形. ∴ OD=DE. ∵ OD=OF , ∴ DE=OF. ∴ 四 边 形 OFDE 是 平 行 四 边 形 .
C E D

A

O

F

B

∵OE=OF,∴平行四边形 OFDE 是菱形. 24. (20011 江苏镇江 27,9 分)在平面直角坐标系 xOy 中,一次函数 y =

3 x + 3 的图象是直线 4

- 26 -

l1 , l2 与 x 轴、y 轴分别相交于 A、B 两点.直线 l2 过点 C(a,0)且与 l1 垂直,其中 a>0,点 P、Q
同时从 A 点出发,其中点 P 沿射线 AB 运动,速度为每秒 4 个单位;点 Q 沿射线 AO 运动,速度为 每秒 5 个单位. (1)写出 A 点的坐标和 AB 的长; (2)当点 P、Q 运动了 t 秒时,以点 Q 为圆心,PQ 为半径的⊙Q 与直线 l2 、y 轴都相切,求 此时 a 的值.

答案:(1)A(-4,0),AB=5. (2)由题意得:AP=4t,AQ=5t, ∴∠APQ=∠AOB=90°。 ∵点 P 在 l1 上,∴⊙Q 在运动过程中保持与 l1 相切。

AP AQ = = t ,又∠PAQ=∠QAB,∴△APQ∽△AOB. OA OB

①当⊙Q 在 y 轴右侧与 y 轴相切时,设 l1 与⊙Q 相切于 F,由△APQ∽△AOB 得

PQ 4 + PQ = ,∴PQ=6, 3 5
连接 QF,则 QF=PQ, △QFC∽△APQ∽△AOB 得

QF QC = . OA AB



PQ QC 6 QC 15 27 = , = ,∴QC= ,a=OQ+QC= . OA AB 4 5 2 2

②当⊙Q 在 y 轴左侧与 y 轴相切时,设 l1 与⊙Q 相切于 E, 由△APQ∽△AOB 得

- 27 -

PQ 4 ? PQ 3 = ,∴PQ= . 3 5 2 3 QF QC QF QC 2 QC 连接 QE,则 QE=PQ,由△QEC∽△APQ∽△AOB 得 = ,∴ = , = , OA AB OA AB 4 5
∴QC=

15 3 27 3 ,a=QC-OQ= .∴a 的值为 和 。 8 8 2 8
°

25. (2011 广东湛江 27,12 分)如图,在 Rt ?ABC 中, ∠C = 90 ,点 D 是 AC 的中点,且

∠A + ∠CDB = 90° ,过点 A, D 作 O ,使圆心 O 在 AB 上, O 与 AB 交于点 E .
(1)求证:直线 BD 与

O 相切; O 的直径.

(2)若 AD : AE = 4 : 5, BC = 6 ,求

【答案】(1)证明:连接 OD,在 ?AOD 中,OA=OD, 所以 ∠A = ∠ODA , 又因为 ∠A + ∠CDB = 90 , 所以 ∠ODA + ∠CDB = 90 ,所以 ∠BDO = 180 ? 90 = 90 ,即 OD ⊥ BD , 所以 BD 与
° ° ° ° °

O 相切;
°

(2)由于 AE 为直径,所以 ∠ADE = 90 ,由题意可知 DE // BC ,又点 D 是 AC 的中点,且

AD : AE = 4 : 5, BC = 6 ,所以可得 AE = 5 ,即 O 的直径为 5.
26. (2011贵州安顺,26,12分)已知:如图,在△ABC中,BC=AC,以BC为直径的⊙O与 边AB相交于点D,DE⊥AC,垂足为点E. ⑴求证:点D是AB的中点; ⑵判断DE与⊙O的位置关系,并证明你的结论; 1 ⑶若⊙O的直径为18,cosB = ,求DE的长. 3

- 28 -

第 26 题图 【答案】 1) ( 证明: 连接 CD,则 CD ⊥ AB , ≌ Rt?BCD ∴AD = BD , 即点 D 是 AB 的中点. 又∵AC = BC, CD = CD, ∴ Rt?ACD

第 26 题图 (2)DE 是⊙O 的切线 . 理由是:连接 OD, 则 DO 是△ABC 的中位线,∴DO∥AC , 又∵DE ⊥ AC ; ∴DE ⊥ DO 即 DE 是⊙O 的切线; 1 BD 1 (3) ∵AC = BC, ∴∠B =∠A , ∴cos∠B = cos∠A = , ∵ cos∠B = = , BC 3 BC 3 = 18, AE 1 ∴BD = 6 , ∴AD = 6 , ∵ cos∠A = = , ∴AE = 2, AD 3 在 Rt?AED 中,DE= AD 2 ? AE 2 = 4 2 . 27. (2011 河北,25,10 分)如图 14-1 至 14-4 中,两平行线 AB,CD 间的距离为 6,点 M 为 AB 上一定点. 思考 如图 14-1,圆心为 O 的半圆纸片在 AB,CD 之间(包括 AB,CD),其直径 MN 在 AB 上,MN=8,点 P 为半圆上一点,设∠MOP=α. 当α= 度时,点 P 到 CD 的距离最小,最小值为 。 探究一 在图 14-1 的基础上,以点 M 为旋转中心,在 AB,CD 之间顺时针旋转该半圆纸片,直到

- 29 -

不能再转动为止,如图 14-2,得到最大旋转角∠BMO= 度,此时点 N 到 CD 的距离是 探究二 将图 14-1 中的扇形纸片 NOP 按下面对α要求剪掉, 使扇形纸片 MOP 绕点 M 在 AB,CD 之间顺时针旋转。 (1)如图 14-3,当α=60°时,球在旋转过程中,点 p 到 CD 的最小距离,并请指出旋 转角∠BMO 的最大值; (2)如图 14 -4,在扇形纸片 MOP 旋转过程中,要保证点 P 能落在直线 CD 上,请确 定α的取值范围. (参考数据:sin49°=

3 3 3 ,cos41°= ,tan37°= ) 4 4 4

A C

M
α

O N

BA DC

M O N
图 14-2

BA M
α

BA M O DC P
α

B O D
图 14-4

P
图 14-1

DC

P
图 14-3

【答案】思考 90,2; 探究一 30,2; 探究二 (1)由已知得 M 与 P 的距离为 4,∴当 MP⊥AB 时,点 P 到 AB 的最大距离为 4,从而点 P 到 CD 的最小距离为 6-4=2.当扇形 MOP 在 AB,CD 之间旋转到不能再转时,弧 MP 与 AB 相切, 此时旋转角最大,∠BMO 的最大值为 90°。 (2)如图,由探究一可知,点 P 是弧 MP 与 CD 的切点时,α达到最大,即 OP⊥CD。此时延 长 PO 交 AB 于点 H,α最大值为∠OMH+∠OHM=30°+90°=120°。

A C

MH B α O D P
MH 3 = , ∴∠MOH=49° OH 4

如图,当点 P 在 CD 上且与 AB 距离最小时,MP⊥CD,α达到最小, 连接 MP,作 OH⊥MP 于点 H, 由垂径定理, MH=3, Rt△MOH 中, 得 在 MO=4, ∴sin∠MOH=

,∵α=2∠MOH,∴α最小值为 98°。∴α的取值范围是 98°≤α≤120°。

- 30 -

A M C H P O

B D

- 31 -


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