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复合函数的导数


复合函数的导数

复习引入

引例:求函数y=2sinxcosx的导数.

y? ? 2[(sin x)? cos x ? sin x(cos x)?]??
????? 2[cos x cos x ? sin x sin x]

????? 2cos 2x
又y=2sinxcosx=sin2x 有另法求吗?

1. 复合函数的定义: 对于函数y ? f (? ( x )), 令u ? ? ( x ), 若y ? f ( u)是中间变量 u的函数,u ? ? ( x )是自变量x的函数, 则称函数y ? f (? ( x ))是自变量x的复合函数.

∵ y=sin2x是由y=sinu, u=2x复合而成 又

(sin u )u? ? cos u u x? ? (2 x)? ? 2 ? (sin u )u? ? ux? ? (cos u ) ? 2 ? 2cos 2 x
即:(sin 2 x) x?

? (sin u )u? ? ux?

对复合函数y=f(g(x)),其导数与 函数y=f(u),u=g(x)的导数的关系:

yx? ? yu? ? ux?

注意的几个问题:
1. 首先要会把一个复合函数划分成若干个简单函数, 然后再利用求导法则对复合函数求导.

2. 复合函数的求导过程是 对复合函数由外层 向里层求导.
3. 利用复合函数求导前, 如果函数关系可化简 , 则先化简再求导会更简 . 单

例1 : 求函数y ? ln( x ? 2)的导数。
2

1. y ? (1 ? 2 x ? 3x ) ,求y?和y? x?0 .
2 5

练2.先写出下列函数的复合过程,再求导:

3.求下列函数的导数

1 1). y ? (2 x ? x ? ) x 1 2). y ? 1 ? 2 x2
3

3). y ? sin (2 x ? ) 3
3

?

4). y ? x 1 ? x

2

4.已知曲线S:

y ? 3x ? x

3

及点

P(2,f(2)),则过点P的切线方程为____
7.(2009江西理 )设函数f ( x ) ? g ( x ) ? x ,曲线y ? g ( x ) 在点(1, g (1))处的切线方程为y ? 2 x ? 1, 则曲线 y ? f ( x )在点(1, f (1))处切线的斜率为( ) 1 1 A.4 B . ? C .2 D. 4 2

5 设点P为函数

y = ln(2x - 1)

图象上任意一点,求点P到直线
2x-y+3=0的距离的最小值.


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