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求函数的定义域的基本方法有以下几种


求函数的定义域的基本方法有以下几种: 1、已知函数的解析式,若未加特殊说明,则定义域是使解析式有意义的自变 量的取值范围。一般有以下几种情况: ? ? ? ? 分式中的分母不为零; 偶次方根下的数(或式)大于或等于零; 指数式的底数大于零且不等于一; 对数式的底数大于零且不等于一,真数大于零。

?

正切函数

?

余切函数

当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时,先分别求出满足每一个条件 的自变量的范围,再取他们的交集,就得到函数的定义域。

例 1(2000 上海) 函数 分析:对数式的真数大于零。 解:依题意知:

的定义域为





解之,得

∴函数的定义域为

点评: 对数式的真数为 已包含

, 本来需要考虑分母

, 但由于

的情况,因此不再列出。

2、代入法求抽象函数的定义域。 已知 的定义域为 , 求 的定义域。 的定义域, 可由 解

出 x 的范围,即为

例2

若函数

的定义域为

,则

的定义域为



分析:由函数

的定义域为

可知:

;所以

中有



解:依题意知:

解之,得



的定义域为

点评: 对数式的真数为 , 本来需要考虑 的情况,因此不再列出。

, 但由于

已包含

3、应用题中的定义域除了要使解析式有意义外,还需考虑实际上的有效范 围。 实际上的有效范围,即实际问题要有意义,一般来说有以下几中常见情况: (1)面积问题中,要考虑部分的面积小于整体的面积; (2)销售问题中,要考虑日期只能是自然数,价格不能小于 0 也不能大于题 设中规定的值(有的题没有规定); (3)生产问题中,要考虑日期、月份、年份等只能是自然数,增长率要满足 题设; (4)路程问题中,要考虑路程的范围。

例 3、 (2004 上海)
2

某单位用木料制作如图所示的框架,

框架的下部是边长分别为 x、y(单位:m)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框 架围成的总面积 8cm . 问 x、y 分别为多少(精确到 0.001m) 时用料最省?

分析:总面积为 。又 解:由题意得 ,∴ 的取值范围是

,由于 。

,于是

,即

xy+

x =8,∴y=
2

=

(0<x<4

).

于是, 框架用料长度为

l=2x+2y+2(

)=(

+

)x+

≥4

.

当(

+

)x=

,即 x=8-4

时等号成立.

此时, x≈2.343,y=2

≈2.828.

故当 x 为 2.343m,y 为 2.828m 时, 用料最省. 点评:在实际应用、物理、自然科学等问题中常常涉及到反映两个变量函数关 系的问题,通过建立函数关系式,利用函数的性质来解决问题,这是函数知识应 用的一个重要方面,也是高考常考的一个题型。


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