当前位置:首页 >> 数学 >>

2016年高考数学总复习 第三章 三角函数与解三角形 第2讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式课件 理


第2讲

同角三角函数的基本关系式与诱导公式

π 1.能利用单位圆中的三角函数线推导出 2 ± α,π±α的正 弦、余弦、正切的诱导公式. 2.理解同角三角函数的基本关系式: sinx sin x+cos x=1,cosx=tanx.
2 2

1.同角三角函数关系式 (1)平方关系:sin2α+cos2α=1. sinα =tanα. (2)商数关系: cosα

2.六组诱导公式 组数 角 一 2kπ+α (k∈Z) sinα cosα tanα 二 π+α - sinα ______ 三 -α -sinα 四 π-α sinα 五 π -α 2 cosα sinα — 六 π +α 2 cosα -sinα —

正弦 余弦 正切
口诀

cosα -cosα -cosα ______ tanα -tanα -tanα ______

函数名不变 符号看象限

函数名改变 符号看象限

3.三角函数线 设角α的顶点在坐标原点,始边与 x 轴正半轴重合,终边与 单位圆相交于点 P,过点 P 作 PM 垂直于 x 轴于点 M,则点 M 是点 P 在 x 轴上的正射影.由三角函数的定义知,点 P 的坐标 为(cosα,sinα),其中cosα=OM,sinα=MP.单位圆与x轴的正 半轴交于点 A,单位圆在点 A 的切线与角α的终边或其反向延长 线相交于点 T,则 tanα=AT.我们把有向线段 OM,MP,AT 分 别叫做α的余弦线、正弦线、正切线.

三角 函数线 有向线段 OM 为余弦线

有向线段 MP 为 有向线段 AT 为正
正弦线 切线

1.cos330°=( C )
1 A.2 1 B.-2 3 C. 2 3 D.- 2

2.sin585°的值为( A )
2 A.- 2 3 C.- 2 2 B. 2 3 D. 2

3 π 3.若cosα=5,-2<α<0,则tanα=( C ) 4 A.3 4 C.-3 3 B.4 3 D.-4

sinα+cosα 4 4.已知tanα=3,则 =________. sinα-2cosα

考点1

求三角函数值

5 例1:(2013年大纲)已知角α是第二象限角,sinα= ,则 13 cosα=( ) 12 A.- 13 5 B.- 13
2

5 C. 13

12 D. 13

12 ?5? 解析:cosα=± 1 ? ? ? =±13 ,因为角α是第二象限角, ? 13 ? 12 所以cosα=-13.故选A.

答案:A

【规律方法】(1)已知sinα,cosα,tanα三个三角函数值中

的一个,就可以求另外两个.但在利用平方关系实施开方时,
符号的选择是看α属于哪个象限,这是易出错的地方,应引起重

视.而当α的象限不确定时,则需分象限讨论,不要遗漏终边在
坐标轴上的情况. (2)同角三角函数的基本关系式反映了各种三角函数之间 的内在联系,为三角函数式的性质、变形提供了工具和方法.

【互动探究】
?5π ? 1 1.(2013年广东)已知sin? 2 +α?=5,则cosα=( ? ?

C )

2 A.-5 1 C. 5

1 B.-5 2 D. 5

?5π ? ? ? ?π ? π 1 解析:sin? 2 +α?=sin?2π+2+α?=sin?2+α?=cosα=5. ? ? ? ? ? ?

考点2

三角函数的化简

1-2sin10° cos10° 例2:化简:(1) ; 2 cos10° - 1-cos 10° 1-sin4α-cos4α (2) . 1-sin6α-cos6α
?sin10° -cos10° ?2 解:(1)原式= cos10° -|sin10° | |sin10° -cos10° | cos10° -sin10° = = =1. cos10° -sin10° cos10° -sin10°

?cos2α+sin2α?2-cos4α-sin4α (2)方法一:原式= ?cos2α+sin2α?3-cos6α-sin6α 2cos2α· sin2α 2 = = . 3cos2αsin2α?cos2α+sin2α? 3 1-?cos4α+sin4α? 方法二:原式= 1-?cos6α+sin6α? 1-[?cos2α+sin2α?2-2cos2α· sin2α] = 1-?cos2α+sin2α??cos4α-cos2α· sin2a+sin4α? 1-1+2cos2α· sin2α = 1-[?cos2α+sin2α?2-3cos2α· sin2α] 2cos2α· sin2α 2 =3cos2α· sin2α=3.

?1-cos2α??1+cos2α?-sin4α 方法三:原式= ?1-cos2α?· ?1+cos2α+cos4α?-sin6α sin2α?1+cos2α-sin2α? = 2 sin α?1+cos2α+cos4α-sin4α? 2cos2α = 1+cos2α+?cos2α+sin2α??cos2α-sin2α? 2cos2α 2cos2α 2 = = 2 = . 1+cos2α+cos2α-sin2α 3cos α 3

【规律方法】化简三角函数式应看清式子的结构特征并作

有目的的变形,注意“1”的代换、乘法公式、切化弦等变形技巧,

对于有平方根的式子,去掉根号的同时加绝对值号再化简.本
题出现了sin4α,sin6α,cos4α,cos6α,应联想到把它们转化为 sin2α,cos2α的关系,从而利用1=sin2α+cos2α进行降幂解决.

【互动探究】
? π? 2.设函数f(x)=sin?2x-2?,x∈R,则f(x)是( ? ?

B )

A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数 π C.最小正周期为2的奇函数 π D.最小正周期为2的偶函数
解析:f(x)=-cos2x 是周期为π的偶函数.故选 B.

考点3

三角函数的证明

tanα· sinα tanα+sinα 例3:求证: = sinα . tanα-sinα tanα·

tan2α-sin2α 证明:方法一:右边= ?tanα-sinα?· tanαsinα tan2α-tan2αcos2α = ?tanα-sinα?· tanαsinα tan2α?1-cos2α? = ?tanα-sinα?· tanαsinα tan2αsin2α = ?tanα-sinα?tanαsinα

tanαsinα = =左边. tanα-sinα ∴原等式成立. tanα· sinα sinα 方法二:左边= = , tanα-tanαcosα 1-cosα tanα+tanαcosα 1+cosα 右边= = tanαsinα sinα 1-cos2α sin2α sinα = = = . sinα?1-cosα? sinα?1-cosα? 1-cosα ∵左边=右边,∴原等式成立.

方法三:∵tanα-sinα≠0,tanα· sinα≠0, 要证原等式成立, 只要证 tan2α· sin2α=tan2α-sin2α成立, 而 tan2α· sin2α=tan2α(1-cos2α)=tan2α-(tanαcosα)2 =tan2α-sin2α,即 tan2α· sin2α=tan2α-sin2α成立, ∴原等式成立. 【规律方法】证明三角恒等式,可以从左向右证,也可以 从右向左证,证明两端等于同一个结果,对于含有分式的还可

以考虑应用比例的性质.

【互动探究】
tan?2π-α?sin?-2π-α?cos?6π-α? 3.求证: =tanα. cos?α-π?sin?5π+α?

sin?2π-α? · sin?-α?cos?-α? cos?2π-α? 证明:左边= cos?α-π+2π?sin?π+α? sin?-α?· ?-sinα?cosα -sinαcosα = = =tanα=右 cos?-α?cos?π+α??-sinα? cosα· ?-cosα? 边. ∴原等式成立.

●难点突破●

⊙三角齐次式问题
例题:已知 3sinα-2cosα=0,求下列各式的值:

cosα-sinα cosα+sinα (1) + ; cosα+sinα cosα-sinα (2)sin2α-2sinαcosα+4cos2α.

2 解:由已知,得tanα=3. cosα-sinα cosα+sinα (1) + cosα+sinα cosα-sinα 1-tanα 1+tanα = + 1+tanα 1-tanα 2 2 1-3 1+3 = 2+ 2 1+ 1- 3 3 26 =5.

(2)sin2α-2sinαcosα+4cos2α sin2α-2sinαcosα+4cos2α = sin2α+cos2α tan2α-2tanα+4 = tan2α+1 4 4 - +4 9 3 = 4 +1 9 28 =13.

m sin?+ncos? 【规律方法】已知tanα的值,求形如 式子的 m sin?-ncos?
sin? m tan?+n 值时,可利用tanα= 把上式转化为 求值;而对 cos? m tan?-n

形如asin2α+bsinαcosα+ccos2α的式子,可把分母看作1,进而 将1=sin2α+cos2α代入,转化为关于tanα的函数后再求值.

【互动探究】
4.已知 tanα=-2,求下列各式的值:

4sinα-2cosα (1) ; 5cosα+3sinα

1 2 2 2 (2)4sin α+5cos α.

解:tanα=-2,则cosα≠0. 4sinα-2cosα 4tanα-2 4×?-2?-2 (1) = = =10. 5cosα+3sinα 5+3tanα 5+3×?-2? 1 2 2 2 1 2 2 sin α+ cos α tan α+ 4 5 4 5 1 2 2 2 (2) sin α+ cos α= = 2 2 2 4 5 sin α+cos α tan α+1 1 2 2 4×?-2? +5 7 = = . 25 ?-2?2+1


相关文章:
...3章三角函数解三角形第2节同角三角函数的基本关系与...
浙江专版2018高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第2同角三角函数的基本关系与诱导公式_数学_高中教育_教育专区。第二同角三角函数的基本关系与诱导公式 ...
...函数解三角形第一节三角函数的概念同角三角函数基本...
2017版高考数学一轮总复习三角函数解三角形第一节三角函数的概念同角三角函数基本关系式及诱导公式AB卷文_数学_高中教育_教育专区。第 4 章 三角函数解三角形 ...
...解三角形 第2节 同角三角函数的基本关系与诱导公式
2018高考数学(文)第三三角函数解三角形 第2同角三角函数的基本关系与诱导公式_数学_高中教育_教育专区。第 2同角三角函数的基本关系与诱导公式 ...
...轮复习第四章三角函数解三角形4.2同角三角函数基本...
2018版高考数学大一轮复习第章三角函数解三角形4.2同角三角函数基本关系及诱导公式试题理_数学_高中教育_教育专区。第四章 三角函数解三角形 4.2 同角三角函数...
...一轮复习第四章三角函数解三角形4.2同角三角函数基...
2018版高考数学一轮复习第章三角函数解三角形4.2同角三角函数基本关系及诱导公式理_数学_高中教育_教育专区。第四章 三角函数解三角形 4.2 同角三角函数基本...
...轮复习第四章三角函数解三角形4.2同角三角函数基本...
江苏专用2018版高考数学大一轮复习第章三角函数解三角形4.2同角三角函数基本关系及诱导公式教师用书理_数学_高中教育_教育专区。第四章 三角函数解三角形 4.2 ...
2016版高考数学 第三章 三角函数、解三角形专题演练 理...
2016高考数学 第三章 三角函数解三角形专题演练 理(含两年高考一年模拟)_...? ? 5 ? 2 考点 10 同角三角函数的基本关系、 诱导公式、三角恒等变换 ...
...三角函数、解三角形 4.2 同角三角函数基本关系式及...
【步步高】2017版高考数学一轮复习 第四章 三角函数解三角形 4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式 理_数学_高中教育_教育专区。【步步高】 (江苏专用)2017 ...
...轮复习第四章三角函数解三角形4.2同角三角函数基本...
(浙江专用)2018 版高考数学大一轮复习 第四章 三角函数解三角 形 4.2 同角三角函数基本关系及诱导公式教师用书 1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系:sin ...
2015届高三数学第一轮复习:三角函数、解三角形
第1页 2015 届高三数学第一轮复习:三角函数解三角形 (2)写出终边落在直线...同角三角函数的基本关系式及诱导公式考纲要求: 1.理解同角三角函数的基本关系式...
更多相关标签:

相关文章