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1.1.2集合间的基本关系


1.1.2 集合间的基本关系
课前引入: 请同学们思考下列问题:实数有相等关系,大小关系,如 5=5,5<7,5>3,等等,类比实数 间的关系,你会想到集合之间的什么关系: 观察下面几个例子,你能发现两个集合间的关系吗? (1) A ? ?1,2,3?, B ? ?1,2,3,4,5?; (2)设 A 为新华中学高一 (2) 班全体女生组成的集合, B 为这

个班全体学生组成的集合; (3)设 C= x x是两条边相等的三角形 ,D= x x是等腰三角形

?

?

?

?

子集(理解) 定义:一般地,对于两个集合 A,B,如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元素,我们 就说这两个集合有包含关系,称集合 A 为集合 B 的子集,记作 A ? B (或 B ? A ) ,读作 “A 含于 B”或“B 包含 A” 。 注意:①子集的符号语言表述为:若 ?x ? A, x ? B, 则A ? B。 ②非包含关系:当 A 不是 B 的子集时,记作 A ? B. 若证明 A ? B ,只需在 A 中找到 一个元素 a,满足 a ? B 即可. ③子集的性质:反身性:任何一个集合是它本身的子集,即 A ? A ;传递性:对于 集合 A,B,C,如果 A ? B, B ? C ,那么 A ? C . ④用 Venn 图表示 A ? B ,如图所示

A B

A(B)

在数学中,我们经常用平面封闭曲线的内部代表集合,这种图称为 Venn 图. 真 子 集 : ( 重 点 掌 握 ) 如 果 集 合

A ? B, 但存在元素


x ? ,且 B

? x我们称集合 , A 是集合 A 的真子集,记作 B



B(B ? A A) ?

B. (1) 真子集的符号语言表述为:若A ?B,且A ?B,则A? ≠
(2) 对符号“ ? ”的理解: “ ? ”表示“ ? ” ,且“≠”.
≠ ≠

(3) 真子集的性质:若A?B,且B?C,则 A ? C.
≠ ≠ ≠

元素与集合,集合与集合间的关系(理解) 集合中表示关系的概念分为两类: (1) 表示元素与集合之间的关系,有属于“∈”和不属于“?”两种情况; (2) 表示集合与集合之间的关系,有包含“ ? ”和不包含“ ? ”及真包含“ ? ”与相


等“=”四种情况 注意:我们知道,方程 x ? 1 ? 0没有实数根,所以,方程x ? 1 ? 0 的实数根组成的集
2 2

合中没有元素. 我们把不含任何元素的集合叫做空集(empty set) ,记为 ? ,并规定:空集是任何集合 的子集. 示例 1: (1)请写出集合 ?a, b, c?的所有子集 请证明集合 C,D 两集合相等

(2)用适当的符号填空 ① a ____ ?a, b, c? ; ② 0 _____ x x =0 ;
2

?

2

?

? ⑤ ?0? ____ ? x x

③ ? _____ x ? R x ? 1 ? 0 ;
2

?

④ ?0,1 ? ____ N ; ⑥ ?2,1? ___ x x ? 3x ? 2 ? 0
2

?x ;

?

?

?

(3) 判断下列两个集合之间的关系 ① A ? ?1, 2, 4? , B ? x x是8的约数 ; ② A ? x x ? 3k , k ? Z , B= x x ? 6 z , z ? N ; ③ A ? x x是4与10的公倍数,x ? N ? , B ? x x ? 20m, m ? N ? .

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

集合相等的进一步描述 ① 如果集合 A 的任何一个预算都是集合 B 的元素, 同时集合 B 中的任何一个元素都是集合 A 中 元 素 , 我 们 就 说 集 合 A 等 于 集 合 B , 记 作 A=B , 读 作 “ A 等 于 B ” 即 :

A ? B, 且 B? A ,则 A=B
② 如果两个集合相等,那么这两个集合中的元素一定相等.

典型例题精讲: 1. 已知集合 M 满足 ?1,2? ? M ? ?1,2,3,4,5? ,则 这样的集合 M 有多少个?

2.(数形结合)已知集合 A ? x 1 ? x ? 4 , B ? x x ? a ,若 A ? B ,求实数 a 的取值


?

?

?

?

范围

3.设集合 A= ?2,8,a? , B ? 2, a ? 3a ? 4 , 且B ? A, 求 a 的值
2 ≠

?

?

4.判断下列各组中的两个集合间的关系 (1) P= x x ? 2n, n ? Z , Q ? x x ? 4n, n ? Z ; (2) P ? x x ? 2n, n ? Z , Q ? x x ? 2(n ? 1), n ? Z ; (3) P ? x x ? 2n ? 1, n ? N

?

?

?

?

?

?

?

?

?

*

? , Q ? ?x x ? 2n ? 1, n ? N ? ;
*

(4) P ? x x ? x ? 0 , Q ? ? x x ?
2

?

?

? ? ? ?

? 1 ? (?1) n ? ,n?Z ?. 2 ? ?

5.设集合 A ? ?1, 2,3, 4,5?,M= x x ? A , 试解决下列问题 (1)求集合 M 的子集个数; (2)若集合 N 满足 ?4,5? ? N ? M ,求集合N ;


?

?

(3)若 S ? M,且S 中至多含有两个偶数,求满足条件的集合 S 的个数

6.已知集合 A ? x 1 ? ax ? 2 , B = x x ? 1 , 求满足A ? B 的实数 a 的范围

?

?

?

?

2 2 2 7.设集合 A= x x ? 4 x ? 0 , B ? x x ? 2(a ? 2) x ? a ? 1 ? 0, a ? R ,若 B ? A ,求

?

?

?

?

实数 a 的值

8.用符号表示下列各题中元素与集合,集合与集合之间的关系 (1)0 与 ? ; (2) ?与?0? ; (3) ?与??? ; (4)1 与

??0,1??.

9.设集合 A ? x x ? a ? 1, x ? R , B ? x x ? b ? 2, x ? R .若 A ? B ,则实数 a,b 满足()

?

?

?

?

A. a ? b ? 3

B. a ? b ? 3

C. a ? b ? 3

D .a ? b ? 3

10.设 a,b∈R,集合 ?0, A.1

? b ? , b ? ? ?1, a ? b, a? ,则 b-a 等于 ? a ?
B.-1 C.2 D.-2

( )

11. 已 知

4,x 2 ? 5 x ? 9 , B ? 3, x 2 ? ax ? a a ∈ R , X ∈ R , A= 2,

?

?

?

?



C ? ? x 2 ? (a ? 1) x ? 3,1?
(1)求使 A ? ?2,3,4?的x的值; (2)求使 2 ? B,B ? A的a,x的值;


(3)求使 B=C 的 a,x 的值.

集合间的基本关系
一、选择题 1.集合 A ? x 0 ? x ? 3且x ? Z A.5 B.6 C.7

?

?的真子集的个数为
D.8





2.已知集合 A ? x ? 1 ? x ? 2 ? ,B ? x

?

?

0 ? x ?1
A. A ? B C. A

?,则
B. A ? B D. B





B

A


3.已知 M ? {1,2, a 2 ? 3a ? 1} , N ? {1,3} ,若 3 ? M且N ? M , 则a 的取值为 ( A.1 B.4 C.-1 或-3 D.-4 或 1 (

4.已知集合 A ? ? x x ?

? ?

? ? ? k k , k ? Z ? , B ? ? x x ? , k ? Z ? ,则 3 6 ? ? ?



B A. A A ? B C.
5.满足 {a} ? M A.6 个 B.7 个

A B. B A B D. 与 关系不确定

{a, b, c, d}的集合 M 共有
C.8 个 D.15 个





6.已知集 A ? x 1 ? x ?2 ? , B ? x x ? a ?,满足 A A. a ? 2 C. a ? 1 二、填空题 B. a ? 1 D. a ? 2

?

?

B ,则





1.集合 A 中有 m 个元素,若在 A 中增加一个元素,则它的子集增加的个数为 ____ 2.设 A ? {1,3, a}, B ? {1, a ? a ? 1} 若 B
2
2 3.已知集合 P ? x x ? 1 ?,集合 Q ? x

A ,则 a 的取值为 __________ __ .

?

?

ax ? 1} ,若 Q ? P ,则 a 的取值 ______

.
? y ? 1 ? ,则 B A 间的关系为 ____ x ?

4 设 x, y ? R, A ? ? ( x, y) y ? x?, B ? ?( x, y)

? ?

5.已知集合 A ? x x ? ?1或x ? 5? ,B ? x a ? x ? a ? 4 范围是 __________ __

?

?

?,若 B

A ,则实数 a 的取值

三、解答题

2 1.设集合 A ? x x ? 1 ? 0?, B ? x x ? ax ? 2 ? 0?,若 A ? B ,求 a 的值.

?

?

2 2.若集合 M ? x x ? x ? 6 ? 0?, N ?

?

?x (x ? 2)(x ? a) ? 0?,且 M ? N ,求实数 a 的值.

3.设集合 A ? x a ? 2 ? x ? a ? 2?, B ?

?

?x ? 2 ? x ? 3?.
(1.)若 A

B ,求实数 a 的取值范围.

(2).是否存在数 a 使 B ? A ?

4.已知集合 A ? x x ? ?1或x ? 4?, B ?

?

?x 2a ? x ? a ? 3 ?,若 B ? A ,求实数 a 的取值范围.

5.已知集合 A ? x 1 ? x ?2? , B ? x 1 ? x ? a, a ? 1 (1)若 A

?

?

?

B ,求实数 a 的取值范围;

(2)若 B ? A ,求实数 a 的取值范围.

5. 已 知 a, x ? R, A ? 2,4, x ? 5x ? 9
2

?

?



B ? 3, x 2 ? ax ? a

?

?

, C? x ?
2

?

(a ? 1) x ? 3,1 ?.求:
(1).使 2 ? B, B

A 的 a, x 的值;

(2).使 B ? C的a, x的值 .


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