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2013届南通高三数学二轮复习:专题九 数列应用


专题九

数列应用(1)

(解决基本性质的应用问题)
考试说明要求:数列的概念 A 级,等差数列 C 级,等比数列 C 级. 高考试题应用:数列是函数的继续和延伸,数列的问题最终可归结为数列通项的研究, 求通项及求和是数列中最基本问题,是高考热点,多以中、高挡题目为主,要求考生善于观 察、联想,迅速确定解题方向,提高解题速度.等差数列与一次函数的关系,能在具体问题 情景中,识别数列的等差关系. 解决问题指南:关于等差数列前 n 项和最大(小)问题,可转化为二次函数问题,再结 合二次函数的最值问题加以分析,但应特别注意,当对称轴不是正自然数时,应将与对称轴 量接近的两个自然数代入函数关系式,再求值比较,以便确定 n 取何值时,Sn 最大(最小) ; 还可以用分类讨论方法;也可以利用前 n 项和 Sn 与 n 的函数关系,利用求导的方法求最值. 一、能力展示 1.已知 {an } 为等差数列,其公差为 ?2 ,且 a7 是 a3 与 a9 的等比中项, Sn 为 {an } 的前 n 项 和, n ? N ,则 S0 的值为
*

.
*

2.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , n ? N ,若 a1 ? ?10, a4 ? a6 ? ?12 ,则当 Sn 取 最小值时, n = .

? ) 3 . 已 知 定 义 在 ?0,??? 上 的 函 数 f ( x ) 满 足 f ( x) ? 3 f ( x 2 , 当 x ? ?0 , 2 时 , ?
2 . f ( x) ? ? x ? 2 x 设 f ( x) 的 ?2n ? 2,2n? 上 的 最 大 值 为 an n? N* , 则 {an } 的 前 n 项 和

Sn =

.

二、能力培养 1.已知数列 {an } 满足 a1 ? 33, an?1 ? an ? 2n ,则

an 的最小值为 n
*

.

2.已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? n ? 5an ? 85 , n ? N . (1)证明: {an ?1} 是等比数列; (2)求数列 {Sn } 的通项公式,并求出使得 Sn?1 ? Sn 成立的最小正整数 n .

3.设 M 部分为正整数组成的集合,数列 {an } 的前项 a1 ? 1 ,前 n 项和为 Sn ,已知对任

1

意整数 k ? M ,当整数 n ? k 时, Sn?k ? Sn?kl ? 2(Sn ? Sk ) 都成立. (1)设 M ? {1}, a2 ? 2 ,求 a5 的值; (2)设 M ? {3, 4} ,证明数列 {an } 是等差数列.

三、能力测评 1.设 Sn 为等比数列 {an } 的前 n 项和, 8a2 ? a5 ? 0 ,则

S5 ? S2

.

2.已知 {an } 为等比数列, Sn 是它的前 n 项和.若 a2 ? a3 ? 2a1 ,且 a4 与 2a7 的等差中项为

5 ,则 S5 = 4

.

3.已知等差数列 {an } 满足: a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 , {an } 的前 n 项和为 Sn . (1)求 an 及 Sn ; (2)令 bn ?

1 (n ? N * ) ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . a ?1
2 n

专题九

数列应用(1)

1 . 已 知 等 差 数 列 {an } 的 前 n 项 和 为 Sn , 且 S2 ? 10, S3 ? 45 , 则 过 点

P(n, an ), Q(n ? 2012, an?2012 ) ( n 为正整数)的直线斜率为
2.设 an ? 6n ? 4(n ? 1, 2,3, 4,5,6) 的值构成集合 A , bn ? 2
n?1

.

(n ? 1, 2,3, 4,5,6) 的值构
1 . 3
.

成集合 B ,任取 x ? A ? B ,则 x ? A ? B ,则 x ? A ? B 的概率是 3.已知数列 an ? ?

? n ? 1 n为奇数 ?n n为偶数

,则 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a98 ? a99 ? a100 =

4.已知 {an } 是公差不为零的等差数列, a1 ? 1 ,且 a1 , a3 , a9 成等比数列.

2

(1)求数列 {an } 的通项; (2)求数列 {2 n } 的前 n 项和 Sn .
a

5 . a1 , d 为 实 数 , 首 项 为 a1 , 公 差 为 d 的 等 差 数 列 {an } 的 前 n 项 和 为 Sn , 满 足

S5 S6 ? 15 ? 0 .
(1)若 S5 ? 5, 求 S6 及 a1 ; (2)求 d 的取值范围.

6.等比数列 {an } 中, a1 , a2 , a3 分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且 a1 , a2 , a3 中 的任何两个数不在下表的同一列. 第一列 第一行 第二行 第三行 (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若数列 {bn } 满足: bn ? an ? (?1)n ln an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn . 3 6 9 第二列 2 4 8 第三列 10 14 18

7.已知数列 {an } 和 {bn } 的通项公式分别为 an ? 3n ? 6, bn ? 2n ? 7,(n ? N * ) ,将集合

{x | x ? an , n ? N *} ?{x | x ? bn , n ? N *} 中 的 元 素 从 小 到 大 依 次 排 列 , 构 成 数 列
c1 , c2 , c3 ? .
(1)求 c1 , c2 , c3 , c4 ; (2)求证:在数列 {cn } 中,但不在数列 {bn } 中的项恰为 a2 , a4 ,?, a2n ,?; (3)求数列 {cn } 的通项公式.

3

专题九
一、能力展示

数列应用(1)

2 1.分析:常规法, a7 ? a3a9 ,(a1 ?12)2 ? (a1 ? 4)(a1 ?16), a1 ? 20 ,答案:110

2.分析:设该数列的公差为 d ,则 a4 ? a6 ? ?20 ? 8d ? ?12 ,解得 d ? 1 ,

Sn ? ?10n ?

n(n ? 1) 1 21 1 21 441 ?1 ? n 2 ? n ? (n ? ) 2 ? ,n? N* 2 2 2 2 2 8

所以当 n ? 11 或 n ? 10 时, Sn 取最小值.答案:10,11

2) 3.分析:当 n ? 1 时,a1 ? f ( x) ? f (1) ? 1 ,由 f (x) ?3 f ( x ?
实际上横坐标向右平移 2 个单位,纵坐标缩短到原来的 案: [1 ? ( ) ]
n

,得 f (x ? 2) ? f ( x) ,

1 3

1 1 倍,所以 an ? an ?1 ( n ? 2) ,答 3 3

3 2

1 3

精要点评 第 1 题.常规法,关键是运 第 2 题. n ? N ,与
*

21 21 21 ? ? 10 ,故有两项 最近的两正整数为 10 和 11,特别由 11 ? 2 2 2

第 3 题.由特殊到一般, n ? 1 ,即 x ? ?0, 2 ? 时, a1 ? f ( x) ? f (1) ? 1 ,关健是对关系式

f ( x) ? 3 f ( x ? 2) 从什么角度分析,不能误解为周期函数.
二、能力培养 1.分析: an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ? ? (a2 ? a1 ) ? 2[1 ? 2 ? ?? (n ?1)] ? 33

? 33 ? n 2 ? n ,得

an 33 33 ?33 ? ? n ? 1 ,设 f (n) ? ? n ? 1 ,令 f ?( x) ? 2 ? 1 ? 0 ,则 f (n) n n n n
*

在 ( 33, ??) 上是单调递增,在 (0, 33) 上是递减的,因为 n ? N ,所以当 n ? 5 或 6 时

f (n) 有最小值.又因为

a5 53 a6 63 21 a a 21 ? , ? ? ,所以, n 的最小值为 6 ? 5 5 6 6 2 6 2 n

2.分析: (1)当 n ? 1 时, a1 ? ?14 ;当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? ?5an ? 5an?1 ? 1 ,所 以 an ? 1 ?

5 (an ?1 ? 1) ,又 a1 ?1 ? ?15 ? 0 ,所以数列 {an ?1} 是等比数列; 6
n ?1

?5? ( 2 ) 由 ( 1 ) 知 : a1 ? 1 ? ? 1? ?5 ? ?6?

?5? , 得 an ? 1 ? 1? ?5 ? ?6?

n ?1



4

? 5? Sn ? 75 ? ? ? ? 6?

n ?1

1 1 ?5? ? n ? 90(n ? N * ) ;由 Sn?1 ? Sn ,得 ? ? ? , n ? log 5 ? 14.9 ,最小 15 ? 6 ? 15 6

n

正整数 n ? 15 . 3.分析: (1)由题设知,当 n ? 2 时, Sn?1 ? Sn?1 ? 2(Sn ? S1 ) 即 (Sn?1 ? Sn ) ? (Sn ? Sn?1 ) ? 2S1 ? 2 ,从而 an?1 ? an ? 2 ,又 a2 ? 2 , 故当 n ? 2 时, an ? a2 ? 2(n ? 2) ? 2n ? 2, a5 ? 8 (2)由题设知,当 k ? M ? {3, 4} ,且 n ? k 时, Sn?k ? Sn?k ? 2Sn ? 2Sk ,

Sn?1?k ? Sn?1?k ? 2Sn?1 ? 2Sk ,两式相减得 an?1?k ? an?1 ? an?1 ? an?1?k
即 an?k ? an ? an ? an?k ,也就是相差 k 项取出的项成等差数列. 当 k ? 3 时, an?6 , an?3 , an , an?3 , an?6 成等差数列, 即 an?6 ? an?6 ? an?3 ? 2an , (*) 当 k ? 4 时, an?6 , an?2 , an?2 , an?6 成等差数列, 即 an?6 ? an?6 ? an?2 ? an?2 ,由(*)得 an?2 ? an?2 ? 2an , 从而 an ? an?2 ? an?2 ? an ,也就是相差 2 项取出的项成等差数列, 于是 an?3 , an?1 , an?1 , an?3 也成等差数列, 即 an?1 ? an?1 ? an?3 ? an?3 ? 2an ,得 an?1 ? an?1 ? 2an , 于是数列 {an } 是等差数列, 方法指导: 第 1 题.数列的最值可以用单调性处理,单调性可用导数处理,但必须注意 n ? N
*

第 2 题.给出 Sn 与 an 的递推式时一般消去 Sn 或 an , 同时证明要依据定义.利用 Sn?1 ? Sn 与 an?1 ? 0 等价进行化简为方便. 第 3 题.先由条件得相差 k (n ? k ) 项取出的项成等差数列, 再从 k ? 3, 4 成等差数列入手 循环使用等差中项推出相差 2 项和 1 项也成等差数列. 三、能力测评

5

1.分析:由 8a2 ? a5 ? 0 ,得公比 q ? ?2 ,答案: ?11 2.分析: a2 ? a3 ? a1 ? a4 ? 2a1 ,即 a4 ? 2, a4 ? 2a7 ? 2 ?

5 a 1 1 , 得 a7 ? , q3 ? 7 ? ,得 4 4 a4 8

1 1 q ? , a4 ? a1q 3 ? a 1 ? ? 2 ,答案:31. 2 8
3. 分 析 : 1 ) 设 等 差 数 列 {an } 的 公 差 为 d , 因 为 a3 ? 7, a5 ? a7 ? 26 , 所 以 有 (

? a1 ? 2d ? 7 ? ? 2a1 ? 10d ? 26







a1 ? 3 d ,?

所 ,以 2

an ? 3

? 2 n ( ? 1 ?) ; 2 n ?

1

S n ? 3n ?

n(n ? 1) ? 2 ? n 2 ? 2n . 2

(2)由(1)知 an ? 2n ? 1,所以 bn ?

1 1 1 1 ? ? ? 2 a ? 1 (2n ? 1) ? 1 4 n(n ? 1)
2 n

?

1 1 1 ?( ? ), 4 n n ?1
所以 Tn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 n ? (1 ? ? ? ? ? ? ? ) ? ? (1 ? )? , 4 2 2 3 n n ?1 4 n ? 1 4(n ? 1) n 4( n ? 1)

即数列 {bn } 的前 n 项和 Tn ? 防错机制:

第 1 题.本题关健是运算,只要细心一定对. 第 2 题.数列通项公式用 am ? an qm?n , 第 3 题.如 注意项数问题. 三、能力提升 1.分析:由题意得 S3 ? 3a2 ? 45, 即 a2 ? 15, a3 ? 35, d ? 20 ,直线斜率就是公差,答案: 20 2.分析: A ? {2.8,14.20, 26,32}, B ?{1, 2, 4,8,16,32}, A ? B 中有 9 个元素, A ? B 中有 3 个元素,答案:

1 n ,k ? N*、 等,一般用裂项法,用裂项法求数列的和关键是 n( n ? k ) n( n ? k )

1 3

3.分析:分组求和法,答案:5000

6

4.分析: (1)由题设知公差 d ? 0, 由 a1 ? 1, a1 , a3 , a9 成等差数列得 ,故 d ? 1, d ? 0 (舍去) {an } 的通项 an ? 1 ? (n ?1) ?1 ? n .

1 ? 2 d 1 ? 8d ? ,得 1 1 ? 2d

2 3 n (2)由(Ⅰ)知 2 n ? 2 ,由等比数列前 n 项和公式得,Sm ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ?
a n

2(1 ? 2n ) 1? 2

? 2k ?1 ? 2 .
5.分析: (1) S6 ? ?3, a6 ? S6 ? S5 ? ?8 , ?

?5a1 ? 10 d ? 5 ,答案: S6 ? ?3, a1 ? 7 ; ? a1 ? 5d ? ?8

( 2 ) 由 S5 S6 ? 15 ? 0 , 得 (5a1 ? 10d )(6a1 ? 15d ) ? 15 ? 0 , 化 简 得

(4a1 ? 9d )2 ? d 2 ? 8 , d 2 ? 8 ? 0, 答案: d ? ?2 2 或 d ? 2 2
6.分析: (1)当 a1 ? 3 时,不合题意:当 a1 ? 2 时,当且仅当 a2 ? 6, a3 ? 18 时,符合题 意; 当 a1 ? 10 时,不合题意.因此 a1 ? 2, q ? 3, an ? 2 ? 3n?1 ; (2)因为 bn ? an ? (?1)n ln an ? 2 ? 3n?1 ? (?1)n[ln 2 ? (n ?1)ln3]

? 2 ? 3n?1 ? (?1)n (ln 2 ? ln 3) ? (?1)n n ln 3

Sn ? 2(1? 3 ??? 3n?1 ) ? [?1?1?1? ?? (?1)n ](ln 2 ? ln3) ? [?1 ? 2 ? 3 ? ?? (?1)n n]ln3
1 ? 3n n n ? ln 3 ? 3n ? ln 3 ? 1 所以,当 n 为偶数时, Sn ? 2 ? 1? 3 2 2
当 n 为奇数时, Sn ? 2 ?

1 ? 3n n ?1 n ?1 ? (ln 2 ? ln 3) ? ( ? n) ln 3 ? 3n ? ln 3 ? ln 2 ? 1 1? 3 2 2

? n n n为偶数 ?3 ? 2 ln 3 ? 1 ? Sn ? ? 综上所述, ?3n ? n ? 1 ln 3 ? ln 2 ? 1 n为奇数 ? ? 2
7.分析(1) c1 ? 9, c2 ? 11, c3 ? 12, c4 ? 13 ;
* (2)①任意 n ? N ,设 a2n?1 ? 3(2n ?1) ? 6 ? 6n ? 3 ? bk ? 2k ? 7 ,得 k ? 3n ? 2

即 a2n?1 ? b3k ?2 ,于是在数列 {cn } 中 a2 n?1 ?{bn };
7

②如果 a2n ? 6n ? 6 ? bk ? 2k ? 7 ,则 k ? 3n ?

1 ? N* 2

所以 2n ?{bn } ,即在数列 {cn } 中,但不在数列 {bn } 中的项恰为 a2 , a4 ,?, a2 n ,? (3) b3k ?2 ? 6k ? 3 ? a2k ?1 , b3k ?1 ? 6k ? 5, b3k ? 6k ? 7, a2k ? 6k ? 6 所以有 b3k ?2 ? a2k ?1 ? b3k ?1 ? a2k ? b3k 当 k ? 1 时, c1 ? b1 ? a1 , c2 ? b2 , c3 ? a2 , c4 ? b3 , 当 k ? 2 时, c5 ? b4 ? a3 , c6 ? b5 , c7 ? a4 , c8 ? b6 ; ……

?6k ? 3(n ? 4k ? 3) ?6k ? 5(n ? 4k ? 2) ? cn ? ? k ? N* ?6k ? 6(n ? 4k ? 1) ?6k ? 7(n ? 4k ) ?

8

专题十
考试说明要求:等比数列 C 级.

数列应用(2)

(解决基本性质方法问题)
高考试题应用:主要考查等比数列的概念、性质、通项公式、前 n 项和公式等基本知识 和基本性质的灵活应用,对基本的计算技能要求比较高。了解等比数列与指数函数的关系, 能在具体问题情景中,识别数列的等比关系,并能用有关知识解决相应问题. 解决问题指南:方程思想,等比数列有五个数 a1 , n, q, an , Sn ,一般可以知三求二,通过列 方程组法度关键量 a1 和 q ;数列结合思想,通项公式 an ? a1q n?1 可化为 an ? ?

? a1 ? n ? q ,因此 ?q?

?a ? an 是关于 n 的函数,即 {an } 中的各项所表示的点 (n, an ) 在曲线 y ? ? 1 ? q x 上,是一群孤 ?q?
立的点;分类讨论思想,当 q ? 1 时,S ? na1 .当 q ? 1 时,Sn ? 涉及公比 q 的分类讨论,此处是常考易错点. 一、能力展示 1.等差数列 {an } 前 9 项的和等于前 4 项的和,若 a1 ? 1, ak ? a4 ? 0 ,则 k = 2.已知数列 {an } 满足 a1 ? 0 , an ?1 ? .

a ? an q a1 (1 ? q n ) 或 Sn ? 1 . 1? q 1? q

an ? 3 ,则 a2012 = 3an ? 1

.

3.已知数列 {an } 满足 a1 ? 1, an ? an?1 ? ? ? (n ? Z * ), Sn ? a1 ? 4a2 ? 42 a3 ? ? ? 4n?1 an , 则 5Sn ? 4n an = .
2 n ?1

?1? ? 4?

n

(变式) 设数列 {an } 满足 a1 ? 2a2 ? 2 a3 ? ? ? 2 二、能力培养

an ?

n , 则数列的通项公式为 2

.

1.设 1 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? a7 ,其中 a1 , a3 , a5 , a7 成公比为 q 的等比数列,

a2 , a4 , a6 ,成公差为 1 的等差数列,则 q 的最小值是

.

2.在等比数列 {an } 中, a1 ? 2, a8 ? 4 ,函数 f ( x) ? x( x ? a )( x? a ) ( x? a ) 1 2 ? 8 ,则

f ?(0)=

.
*

3. 已知数列 {an } 满足 a1 ? 0, a2 ? 2 , 且对任意 m 、n ? N 都有 a2m?1 ? a2n?1 ? 2am?n?1 ? 2(m ? n)2

9

(1)求 a3 , a5 ; (2)设 bn ? a2n?1 ? a2 n?1 (n ? N * ) ,证明 L {bn } 是等差数列; (3)设 cn ? (an?1 ? an )qn?1 (q ? 0, n ? N * ) ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Sn .

三、能力测评 1.设 Sn 为等比数列 {an } 的前 n 项和,已知 3S3 ? a4 ? 2,3S2 ? a3 ? 2 ,则公比 q = 2.设数列 {an } 满足 a1 ? 1, an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? (n ?1)an?1 (n ? 2) ,求数列的通项. .

3.设数列 {an } 满足 a1 ? 0,

1 1 ? ? 1. 1 ? an ?1 1 ? an

(1)求 {an } 的通项公式; (2)设 bn ?

1 ? an?1 n

,记 S n ?

?b
k ?1

n

k

,证明: Sn ? 1 .

专题十
面积为 .

数列应用(2)

1.已知 ?ABC 的一个内角为 120°,并且三边长构成公差为 4 的等差数列,则 ?ABC 的 2.数列 {an } 的首项为 3, {bn } 为等差数列且 bn ? an?1 ? an ,若 b3 ? ?2, b10 ? 12,则

a8 ?

. .

3.已知各项均为正数的等比数列 {an } , a1a2 a3 ? 5, a7 a8a9 ? 10 ,则 a4 a5a6 =

4.如果数列 {an } 对任意的正整数 n 满足 an ? an?1 ? h (其中 h 为常数) ,则数列 {an } 为 等 和 数 列, h 是 公 和 , Sn 是 其 前 n 项 和 , 已 知等 和 数列 {an } 中 , a1 ? 1,h ? ? 3 , 则

10

S2012 =

.

5.已知 {an } 为等差数列,且 a3 ? ?6, a6 ? 0 . (1)求 {an } 的通项公式; (2)若等差数列 {bn } 满足 b1 ? ?8, b2 ? a1 ? a2 ? a3 ,求 | bn | 的前 n 项和公式.

6.已知等比数列 {an } 的公比 q ? 3 ,前 3 项和 S3 ? (1)求数列 {an } 的通项公式;

13 . 3

(2)若函数 f ( x) ? A sin(2x ? ? ), ( A ? 0, 0 ? ? ? q ) 在 x ? 值为 a3 ,求函数 f ( x ) 的解析式.

?
6

处取得最大值,且最大

7.已知数列 {an } 为等差数列.
2 (1)若 a1 ? 3, 公差 d ? 1 ,且 a1 ? a2 ? a3 ? ?? am ? 48 ,求 m 的最大值; 2 2 (2)对于给定的正整数 m ,若 a1 ? am?1 ? 1 ,求 S ? a m?1 ? a m?2 ? ? a 2m?1 的最大值. ?

2 8.已知各项均为正数的等差数列 {an } ,其前 n 项和 Sn 满足 10Sn ? an ? 5an ? 6 ;等比数

列 {bn } 满足 b1 ? a1 , b2 ? a3 , b3 ? a15 ;数列 {cn } 满足 cn ? anbn . (1)求数列 {bn } 的通项公式; (2)求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn .

专题十
一、能力展示

数列应用(2)

11

1.分析:用性质处理 a5 ? a6 ? a7 ? a8 ? a9 ? 0 ,而 a5 ? a9 ? a6 ? a8 ? 2a7 ? 0 ,答案:10 2.分析:a1 ? 0 代入得 a2 ? ? 3 ,如此下去,发现:a2n?1 ? 0, a2n ? ? 3 ,答案:? 3

?1? 3.分析: an ? an ?1 ? ? ? 的整体作用,结论中的 5S n 与 4n an 思考,则构造相加法,答 ? 4? 4 1? 1? 案: ? ? ? 3 3? 4?
n?1

n

(变式)分析:本题是问通项公式,它可从递推式中来,或从前 n 项和中来,或构造相加 (减) ,但必须注意项数和验证.构造出; a1 ? 2a2 ? 2 a3 ? ? ? 2
2 n ?1

an ? 2n an ?1 ?

n ?1 相减 2

?1? 即可,答案: an ? ? ? . ? 2?
精要点评: 第 1 题.前 9 项的和等于前 4 项的和就是后 5 项和为零,利用性质找出哪两项和为零, 即可得出 k . 第 2 题.复杂问题难以下手,则先从简单的角度思考,初步有方向,因是填空题不要过 程,本题是以 2 为周期的数列,性质难以摸清,故用特殊法处理.

n

?1? 第 3 题.从审题中找方法,若条件改为 an ?1 ? an ? ? ? ,则可能用构造相减法处理,此 ? 4?
类方法要特别注意项数和验证首项. 二、能力培养 1.分析: a6 ? a2 ? 2 ? a1 ? 2 ? 3 ,则 a7 ? a1q 3 ? a6 ? 3 ,得 q ?
3

n

3 恒成立,由函数单 a1

调性可得当 a1 ? 1 时,

3 得最大值,答案: 3 3 a1

2.分析: f ?(0) 只与 f ( x ) 的一次项有关,不必求导,a1a2a3 ?a8 ? (a1a8 )4 ? 212 ,答案:

212
3.分析: (1)由题意,零 m ? 2, n ? 1 ,可得 a3 ? 2a2 ? a1 ? 2 ? 6 ,再令 m ? 3, n ? 1, 可 得 a5 ? 2a3 ? a1 ? 8 ? 20 (2)当 n ? N 时,由已知(以 n ? 2 代替 m ) ,可得 a2n?3 ? a2n?1 ? 2a2n?1 ? 8 ,于是
*

即 所以 {bn } 是公差为 8 的等差数列; [a2(n?1)?1 ? a 2(n ? 1)? 1] ? (a 2n ? 1? a 2n ? 1) ? 8, bn?1 ? bn ? 8 ,

12

(3)由(1) (2)解答可知 {bn } 是首项为 b1 ? a3 ? a1 ? 6 .公差为 8 的等差数列,则

bn ? 8n ? 2 ,即 a2n?1 ? a n1? ? 8n ? 2 ,另由已知(令 m ? 1 )可得 an ? 2
那么 an ?1 ? an ?

a2 n ?1 ? a2 n ?1 8n ? 2 ? 2n ? 1 ? ? 2n ? 1 ? 2n ,于是 cn ? 2nqn?1 . 2 2

a2 n ?1 ? a1 ? (n ? 1)2 . 2

当 q ? 1 时, Sn ? 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n ? n(n ? 1) 当 q ? 1 时, Sn ? 2 ? q0 ? 4 ? q1 ? 6 ? q2 ? ?? 2n ? qn?1 . 上述两式相减得 (1 ? q) Sn ? 2(1 ? q ? q 2 ? ? ? q n ?1 ) ? 2nq n ? 2 ?

1 ? qn ? 2nq n 1? q

? 2?

1 ? (n ? 1)q n ? nq n?1 nq n?1 ? (n ? 1)q n ? 1 ,所以 Sn ? 2 ? 1? q (q ? 1)2

(q ? 1) ? n(n ? 1) ? n ?1 n 综上所述, S n ? ? nq ? (n ? 1)q ? 1 (q ? 1) ?2 ? (q ? 1) 2 ?
方法指导: 第 1 题.这里以不等式出现,故想到传递性,问的是最小值,故想到单调性,若从 a3 考 虑,得 q ? 1 ,若从 a5 考虑,得 q ?

2 .故从 a7 考虑.

) 第 2 题.不要进入展开求导的方法误区, 要有创新意识, 实际上, 含有 x 项均取 0, f ?0 则 (
只与函数 f ( x ) 的一次项有关. 第 3 题.(1)根据所求的形式可采用特殊值解决, (2)根据条件,先化去 m ,变为只含 有 n 的递推式, (3)重复利用(2)中的方法,并注意讨论,分类讨论在数学解题中要时时 处处注意. 三、能力测评 1.分析:两式相减得, 3a3 ? a4 ? a3 , a4 ? 4a3 ,? q ? 2.分析:由 a1 ? 1 ,得 a2 ? 1 ,再得 a3 ? 3 由 an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? (n ?1)an?1 , 得 an?1 ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? (n ?1)an?1 ? nan

a4 ? 4 .答案:4 a3

13

两式相减得 an?1 ? an ? nan , an?1 ? (n ? 1)an ,用累乘法得

an?1 ? 4 ? 5 ? 6?(n ? 1) a3

an?1 ? 3 ? 4 ? 5?(n ? 1) ,即 an ? 3 ? 4 ? 5?n,(n ? 3)

n ? 1, 2 ? 1 an ? ? ?3 ? 4 ? 5 n ? 2
3.分析: (1)由题设

(3 ? 4 ? 5? n ?

n! ) 2

? 1 ? 1 1 ? ? 1 ,得 ? ? 是首项为 1 公差为 1 的等差数列, 1 ? an?1 1 ? an ?1 ? an ?

1 n ?1 ; ? n, an ? 1 ? an n
(2)由(1)得 bn ?

1 ? an?1 n

?

n ?1 ? n 1 1 , ? ? n ?1 ? n n n ?1

n n 1 ? 1 ? 1 Sn ? ? bk ? ? ? ? ?1 ? ? 1? k k ?1 ? n ?1 k ?1 k ?1 ?

防错机制: 第 1 题.方法上不能用基本量法,因是填空题,又是等比数列,如用基本量法,必繁且 运算容易错. 第 2 题.明条件是 a1 ? 1 ,暗条件是 a2 ? 1 ,而 a3 ? 1 ,故解题时要考虑变换时的附加条 件. 第 3 题.由条件可知用构造法,先求新数列的通项,但不要忘记还原到旧数列,不等关 系可用基本不等式或函数法或放缩法解法. 三、能力提升 1.分析:令三边长为 a ? 4, a, a ? 4, a ? 4 .用大角对大边和余弦定理,答案: 15 3 2.分析:由 b3 ? ?2, b10 ? 12 得 bn ? 2n ? 8,?bn ? an?1an ,?由叠加法,答案:3 3.分析:?

a4 a5 a6 a7 a8 a9 ? ? q9 ,又各项均为正数,答案: 5 2 a1a2 a3 a4 a5 a6

4.分析 an ? an?1 ? ?3, an?1 ? an?2 ? ?3 ,两式相减得 an? 2 ? an ,又 a1 ? 1 得 a2 ? ?4 ,答 案: ?3018 5.分析: (1)设等差数列 {an } 的公差 d .因为 a3 ? ?6, a6 ? 0

14

所以 ?

? a1 ? 2d ? ?6 解得 a1 ? ?10, d ? 2 ,所以 an ? ?10 ? (n ?1) ? 2 ? 2n ?12 ? a1 ? 5d ? 0

(2)设等比数列 {bn } 的公比为 q ,因为 b2 ? a1 ? a2 ? a3 ? ?24, b ? ?8 所以 ?8q ? ?24 即 q ? 3 ,所以 {bn } 的前 n 项和公式为 Sn ?

b1 (1 ? q n ) ? 4(1 ? 3n ) 1? q

6.分析: (1)由题意得 a1 ?

1 ,从而 an ? 3n?2 3

(2)由(1)可知 a3 ? 3 ,因为函数 f ( x ) 的最大值为 3,所以 A ? 3 ,因为当 x ?

?
6

时,

f ( x) 取得最大值, sin(2 ?

?
6

? ? ) ? 1, ? ?

?

, f ( x) ? 3sin(2 x ? ) 6 6

?

2 2 7.分析: (1)由 a1 ? a2 ? a3 ? ?? am ? 48 ,可得 a1 ? a1 ? a1 ? a2 ? a3 ? ?? am ? 48,

又 a1 ? 3, d ? 1 , 可得 6 ? 3m ? 即 m 的最大值为 7.

m(m ? 1) ? 48, 整理得 m2 ? 5m ? 84 ? 0 , 解得 ?12 ? m ? 7 , 2 (m ? 1)(am?1 ? a2 m?1 ) , 2

(2)解: S ? am ?1 ? am ? 2 ? ? ? a2 m ?1 ?

设 am?1 ? a2m?1 ? A ,则 A ? am?1 ? a2m?1 ? a1 ? a1 ? am?1 ? 2am?1 ? a1 ? 3am?1 ? a1 ,

A ? a1 ? A ? a1 ? 2 2 2 则 am ?1 ? ,由 a1 ? ? ? ? 1,可得10a1 ? 2 Aa1 ? A ? 9 ? 0 , 3 ? 3 ?
2

由 ? ? 4 A2 ? 40( A2 ? 9) ? 0 ,可得 ? 10 ? A ? 10 . 所以 S ?

(m ? 1)(am?1 ? a2 m?1 ) (m ? 1) A 10(m ? 1) 10(m ? 1) ? ? , S 的最大值为 即 2 2 2 2


2 8.分析: (1)?10Sn ? an ? 5an ? 6 ,

?10a1 ? a12 ? 5a1 ? 6 .

解之,解 a1 ? 2, 或 a1 ? 3 . 又 10Sn?1 ? an?1 ? 5an?1 ? 6(n ? 2) ,
2 2 2



由①—②,得 10an ? (an ? an?1 ) ? 6(an ? an?1 ), 即 (an ? an?1 )(an ? an?1 ? 5) ? 0 .

? an ? an?1 ? 0,? an ? an?1 ? 5(n ? 2) .
当 a1 ? 3 时, a3 ? 13, a15 ? 73, a1 , a3 , a15 不成等比数列,? a1 ? 3 .

15

2 当 a1 ? 2 时, a3 ? 12 , a15 ? 72 ,有 a3 ? a1a15 .

? 数列 {bn } 是以 6 为公比,2 为首项的等比数列, bn ? 2 ? 6n?1 .
(2)由(1)知, an ? 5n ? 2, cn ? 2(5n ? 3)6n?1 .

?Tn ? 2[2 ? 7 ? 6 ?12 ? 62 ? ?? (5n ? 3)6n?1 ] , 6Tn ? 2[2 ? 6 ? 7 ? 62 ?12 ? 63 ? ?? (5n ? 3)6n ], ??5Tn ? 2[5 ? 6 ? 5 ? 62 ? ?? 5 ? 6n?1 ] ? 4 ? 2(5n ? 3)6n
? 10 ? 6(1 ? 6n?1 ) ? 4 ? 2(5n ? 3)6n ? (8 ? 10n)6n ? 8 . 1? 6

8 (8 ? 10n)6n Tn ? ? . 5 5

16


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