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高中数学必修1-5常用公式(精华版)


高中数学必修 1-5 常用公式(定理)
1.集合的交集、并集、补集. A ? B (取 A、 B 的公共元素) A ? B (取 A、 B 的所有元素但不重复) ; ;
?U A 全集 U 中除了 A 中元素之外的元素

2.子集与真子集:若集合 A 中有 n 个元素,则集合 A 有 2 个子集, 2 ? 1 个真子集. ? 是任何集合的子集.
n
n

3.二次函数 y ? a x ? b x ? c ( a ? 0 ) . 可化为 y ? a ( x ?
2

b 2a

) ?
2

4ac ? b 4a 4ac ? b 4a

2

(a ? 0)
2

它的图象是抛物线,对称轴为 x ? ? 二次函数的 3 种解析式:

b 2a

,顶点坐标为 ( ?

b 2a

,

);

(1)一般式: f ( x ) ? a x ? b x ? c ( a ? 0 ) ;
2

(2)顶点式: f ( x ) ? a ( x ? h ) ? k ( a ? 0 ) ;
2

(3)零点式: f ( x ) ? a ( x ? x1 )( x ? x 2 ) ( a ? 0 ) . 4.函数的单调性. (1)设 x1 ? x 2 ? ? a , b ? , x1 ? x 2 ,则
( x1 ? x 2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ? 0 ?
f ( x1 ) ? f ( x 2 ) x1 ? x 2 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) x1 ? x 2 ? 0 ? f ( x ) 在 ? a , b ? 上是增函数; ? 0 ? f ( x ) 在 ? a , b ? 上是减函数.

( x1 ? x 2 ) ? f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? ? 0 ?

(2)函数 y ? f ( x ) 在某个区间内可导,若 f ?( x ) ? 0 ,则 f ( x ) 为增函数; f ?( x ) ? 0 ,则 f ( x ) 为减函数. 若 5.函数 y ? f ( x ) 的图象的奇偶性. (1)函数的定义域必须关于原点对称; (2)若 f ( x ) 是奇函数,那么 f ( ? x ) ? ? f ( x ) ,若 f ( x ) 是偶函数,那么 f ( ? x ) ? f ( x ) ? f ( x ) (3)定义域含零的奇函数必过原点,即 f (0 ) ? 0 . (4)奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称. 6.函数 y ? f ( x ) 的图象的对称性. 函数 y ? f ( x ) 的图象关于直线 x ? a 对称 ? f ( a ? x ) ? f ( a ? x ) ? f (2 a ? x ) ? f ( x ) . 7.两个函数图象的对称性. (1)函数 y ? f ( x ) 与函数 y ? f ( ? x ) 的图象关于直线 x ? 0 (即 y 轴)对称; (2)函数 y ? f ( x ) 与函数 y ? ? f ( x ) 的图象关于直线 y ? 0 (即 x 轴)对称; (3)函数 y ? f ( x ) 与函数 y ? ? f ( ? x ) 的图象关于原点对称; *(4)函数 y ? f ( x ) 和 y ? f
m

?1

( x ) 的图象关于直线 y ? x 对称( f

?1

( x ) 是 f ( x ) 的反函数) .

8.函数 y ? f ( x ) 的周期性:若 f ( x ? T ) ? f ( x ) , T ? 0 ,则 f ( x ) 是以 T 为周期的函数. 9.分数指数幂: a
n

?

n

a

m

( a ? 0, m , n ? N ,且 n ? 1 ). a
a a
m n

?

m ?  n

?

1
m

( a ? 0, m , n ? N ,且 n ? 1 ) .

?

a

n

10.指数的运算公式: a a ? a
m n

m?n



? a

m?n



(a ) ? a
m n

mn



( ab )
a

m

?a b
m

m

11.对数的运算公式: lo g a N ? b ? a b ? N ( a ? 0 且 a ? 1, N ? 0 ) . a l o g N ? N ( a ? 0且 a ? 1 , N ? 0. )
lo g a ( M N ) ? lo g a M ? lo g a N ;
M log ( a N
n

?) n m

l aM ? og lob. g a

lN . og a

换底公式: lo g a N ?

lo g m N lo g m a



l o gm b ? a

1

12.零点:函数 y ? f ( x ) 的图象与 x 轴交点的横坐标(当 y ? 0 时, x 的值) . 零点存在定理: 若函数 y ? f ( x ) 在区间 [ a , b ] 上的图象是连续的, 且有 f ( a ) ? f ( b ) ? 0 , f ( x ) 在 ( a , b ) 则 内至少有一个零点. 13.棱柱、棱锥、棱台的侧面积和体积:
S 圆 柱 侧 ? 2 ? rl ; S圆 锥 侧 ? ? r l ; S 圆 台 侧 ? ? r1 ? r2 ) l ; ( S直棱柱侧 ? c h ;

S正棱锥侧 ? S

1 2

c h; ?下S) . h

'

S正棱台侧

1 ' ' ? ( c ? c )h ; 2

V柱 体 ? S h ;

V锥 体 ?

1 3

Sh ;
2

V台 体

1 ? ( S上 ? S ? 下 3 4 3



14.球的表面积和体积:设球的半径是 R ,则其表面积 S ? 4? R ,体积 V ?

?R .
3

15.线面平行判定定理:若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行. 线面平行性质定理:若一条直线与一个平面平行,过该直线的平面和此平面相交,则该直线和交线平行. 16.面面平行判定定理:若一个平面内有两条相交的直线都平行于另一个平面,则这两个平面平行. 面面平行性质定理:若两个平行平面同时与第三个平面相交,则它们的交线平行. 17.线面垂直判定定理:若平面外的一条直线垂直于平面内的两条相交直线,则该直线垂直于这个平面. 线面垂直性质定理:若一条直线垂直于一个平面,则该直线垂直于此平面内的任意一条直线. 垂直于同一个平面的两条直线平行;垂直于同一条直线的两个平面平行. 18.面面垂直判定定理:若一个平面过另一平面的垂线,则这两个平面相互垂直. 面面垂直性质定理:若两个平面互相垂直,则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面. 19.三垂线定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直. 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直. 20.斜率公式: k ? tan ? ? 21.直线的方程: (1)点斜式: y ? y 0 ? k ( x ? x 0 ) ; (2)斜截式: y ? kx ? b ( b 为直线 l 在 y 轴上的截距) ; (3)截距式: (4)两点式:
x a ? y b
? x ? x1 x 2 ? x1 y 2 ? y1 x 2 ? x1

( ? ? 90 , x1 ? x 2 ) .
?

? 1 (注意:① 截距不是距离;② 过原点的直线也具有横、纵截距相等的特征) ;

y ? y1 y 2 ? y1

( x1 ? x 2 , y1 ? y 2 ) ;

(5)一般式: A x ? B y ? C ? 0 (其中 A 、 B 不同时为 0) . 22.两条直线的平行与垂直. (1)若 l1 : y ? k 1 x ? b1 , l 2 : y ? k 2 x ? b 2 ,① l1 // l 2 ? k 1 ? k 2 , b1 ? b 2 ;② l1 ? l 2 ? k 1 k 2 ? ? 1 . (2)若 l1 : A1 x ? B1 y ? C 1 ? 0 , l 2 : A2 x ? B 2 y ? C 2 ? 0 ,且 A1 、 A 2 、 B1 、 B 2 都不为零, ① l1 // l 2 ?
A1 A2 ? B1 B2 ? C1 C2



② l1 ? l 2 ? A1 A2 ? B1 B 2 ? 0 .
( x 2 ? x1 ) ? ( y 2 ? y 1 ) .
2 2

23.平面两点间的距离公式:若 A ( x1 , y1 ) ,B ( x 2 , y 2 ) ,则 A B ?

24.空间两点间的距离公式:若 A ( x1 , y1 , z1 ) ,B ( x 2 , y 2 , z 2 ) ,则 AB ?

(x 2 ? x 1 ) ? ( y 2 ? y 1 ) ? (z 2 ? z 1 )
2 2

2



2

25.点到直线的距离: d ? 平行线间的距离: d ?

| A x0 ? B y0 ? C | A ?B
2 2

(点 P ( x 0 , y 0 ) ,直线 l : A x ? B y ? C ? 0 ) ;

| C1 ? C 2 | A ?B
2 2

(直线 l1 : A x ? B y ? C 1 ? 0 ,直线 l 2 : A x ? B y ? C 2 ? 0 ) .
2 2 2

26.圆的方程: (1)圆的标准方程: ( x ? a ) ? ( y ? b ) ? r ,圆心为 ( a , b ) ,半径为 r ; (2)圆的一般方程: x ? y ? D x ? E y ? F ? 0 ( D ? E ? 4 F ? 0 ) .
2 2
2 2

27.直线 A x ? B y ? C ? 0 与圆 ( x ? a ) ? ( y ? b ) ? r 的位置关系的判定方法:
2 2 2

(1) d ? r ? 相离 ? ? ? 0 ; (2) d ? r ? 相切 ? ? = 0 ;

(3) d ? r ? 相交 ? ? ? 0 .

28.两圆位置关系的判定方法:设两圆圆心分别为 O1 , O 2 ,半径分别为: r1 , r2 , O1O 2 ? d . (1) d ? r1 ? r2 ? 外离; (4) d = r1 ? r2 ? 内切; (2) d = r1 ? r2 ? 外切; (3) r1 ? r2 ? d ? r1 ? r2 ? 相交;

(5) 0 ? d ? r1 ? r2 ? 内含.
2 2 2 2 2

29. 直线与圆锥曲线相交的弦长公式:A B ? ( x1 ? x 2 ) ? ( y1 ? y 2 ) ? x1 ? x 2 ? 1 ? k ? (1 ? k )[( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 ] . 30.方差: S ?
2

1 n

[( x1 ? x ) ? ( x 2 ? x ) ? ? ? ? ? ( x n ? x ) ] ;标准差: S ?
2 2 2

1 n

[( x1 ? x ) ? ( x 2 ? x ) ? ? ? ? ? ( x n ? x ) ] .
2 2 2

31.古典概型的概率 P ( A ) ? 32.几何概型的概率 P ( A ) ?

m n

(m 表示随机事件 A 包含的基本事件数,n 表示试验的所有基本事件数). ( ? A 表示事件 A 发生区域的几何度量, ? 表示试验中总区域的几何度量, 如长度、面积、体积等).

?A ?

33. 任意角 (逆时针旋转 ? 正角, 顺时针旋转 ? 负角) 与 ? 终边相同的角的集合: ? | ? ? ? ? 2 k ? , k ? Z } . : { 34. 弧度制: (1) ? ?
l r
? ,l ? ? ? r ; (2)1 8 0 ? ?

rad ;1 rad ? 5 7 .3 ; (3) 扇形面积 S ?
?

1 2

lr ?

1 2

? r .
2

35.任意角的三角函数:一般地,设角 ? 终边上任意一点的坐标为 ( x , y ) ,它与原点的距离为 r ( r ? 0) , 则 sin ? ?
y r

cos ? ?

x r
2

tan ? ?
2

y x

( x ? 0) .

36.同角三角函数的基本关系式: sin ? ? cos ? ? 1 , tan ? =

sin ? cos ?

, tan ? ? cot ? ? 1 .
?
2 ? ? ) ? cos ? 等.

37.诱导公式(口诀:纵变横不变,符号看象限) :如 sin( ? ? ? ) ? ? sin ? , sin ( 38.两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角、降幂公式:

tan sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ; (? ? ? ) ?
sin 2? ? 2 sin ? cos ?
co s ? ?
2

tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ?
2 ta? n 1 ? t a n?
2

cos 2? ? cos ? ? sin ? ? 2 cos ? ? 1 ? 1 ? 2 sin ?
2 2 2 2

tan? ? 2

1 + co s2 ? 2

2 , sin ? ?

1 ? co s2 ? 2

*( sin 2 ? ?

2 tan ? 1 ? tan ?
2

; co s 2 ? ?
b a

1 ? tan ?
2

1 ? tan ?
2

) .

2 2 39.辅助角公式(合一思想) a sin ? ? b cos ? = a ? b sin (? ? ? ) (其中 tan ? ? :

) .

2 40.正余弦“三兄妹” sin x ? cos x 、sin x cos x 的内在联系:(sin x ? cos x ) ? 1 ? 2 sin x cos x ? 1 ? sin 2 x .

3

41.正弦定理:

a sin A
2

?
2

b sin B
2

?

c sin C

? 2 R ( R 为外接圆的半径) .
c o sA ? b ?c ?a
2 2 2

42.余弦定理: a ? b ? c ? 2 bc cos A ;



? ? 别忘了 A ? B ? C ? ? ?

2bc

43.三角形的面积公式: S ? 1 a b sin C ? 1 a h a ? 1 r ( a ? b ? c ) (其中 r 为三角形内切圆半径) .
2 2 2

44.中点的坐标公式与△ A B C 的重心坐标公式:若 A ( x1 , y1 ) , B ( x 2 , y 2 ) , C ( x 3 , y 3 ) , 则 A B 的中点为 P (
x1 ? x 2 2 , y1 ? y 2 2 ) ,△ A B C 的重心坐标为 G ( x1 ? x 2 ? x 3 3 , y1 ? y 2 ? y 3 3 ).

45.已知两点求向量坐标:若 A ( x1 , y1 ) , B ( x 2 , y 2 ) ,则 A B ? ( x 2 ? x 1 , y 2 ? y1 ) . 46.向量的模公式:已知 a ? ( x1 , y1 ) , a ?
a
2

??? ?

?

x1 ? y 1 , a
2 2

2

? a

2



47.向量的数量积与夹角公式:已知 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x 2 , y 2 ) ,
a ? b ? a ? b cos ? ? x1 x 2 ? y1 y 2 ;

? c o s? a b ? ? c o s ? ,

a ?b a ? b

?

x1 x 2 ? x1 ? y 1 ?
2 2

y1 y 2 x2 ? y2
2


2

48.向量的平行与垂直: (1)平行: a ∥ b ? b ? ? a ? x 1 y 2 ? x 2 y1 ? 0 ( a ? 0 ) ;
b (2)垂直: a ? b ? a · ? 0 ? x 1 x 2 ? y1 y 2 ? 0 .
? S1 , n ?1

49.已知前 n 项和 S n 求通项公式: a n ? ?

? S n ? S n ? 1 , n ? 2.
a m ? a n ? a p ? a q (其中 m ? n ? p ? q ) .

50.等差数列的通项公式: a n ? a1 ? ( n ? 1) d ; 等差数列的前 n 项和公式: S n ? 51.等比数列的通项公式: a n ? a1 q
n ( a1 ? a n ) 2

? n a1 ?

n ( n ? 1) 2

d ?

d 2

n ? ( a1 ?
2

d 2

)n .

n ?1



a m ? a n ? a p ? a q (其中 m ? n ? p ? q ) .

? a 1 (1 ? q n ) a ? anq ? 1 ,q ? 1 ? 等比数列的前 n 项和公式: S n ? ? 1 ? q 1? q ? n a , q ? 1. ? 1

52.等差中项与等比中项:若 a , b , c 成等差数列,则 2b ? a ? c ;若 a , b , c 成等比数列,则 b ? ac .
2

53.解一元二次不等式 a x ? b x ? c ? 0 ( 或 ? 0 ) ,其中 a ? 0 , ? ? b ? 4 ac ? 0 .
2 2

若 x1 ? x 2 ,则 a ( x ? x1 )( x ? x 2 ) ? 0 ? x ? x1 或 x ? x 2 ; a ( x ? x1 )( x ? x 2 ) ? 0 ? x1 ? x ? x 2 .
2 2 54.解含有绝对值的不等式:若 a ? 0 ,则 x ? a ? x ? a ? ? a ? x ? a ;

x ? a ? x ? a ? x ? ?a 或 x ? a .
2 2

55.基本不等式(均值不等式) .
2 2 (1) a , b ? R ? a ? b ? 2 ab (当且仅当 a ? b 时等号成立) ,变形: a b ?

a ?b
2

2


) ;
2

2

(2) a , b ? R ?
3 3 3

?

a?b 2

?

a b (当且仅当 a ? b 时等号成立) ,变形: a b ? (

a?b 2

*(3) a ? b ? c ? 3 abc ( a ? 0, b ? 0, c ? 0) ;

*(4) a ? b ? a ? b ? a ? b .
n ' n ?1

56.几种常见函数的导数. (1) C ? ? 0 ( C 为常数) (2) ( x ) ? n x ; (4) (cos x ) ? ? ? sin x ; (5) (ln x ) ? ?
1 x

( n ? Q ) ; (3) (sin x ) ? ? cos x ;

; (lo g a x ) ? ?
4

1 x ln a

x x x x ; (6) ( e ) ? ? e ; ( a ) ? ? a ln a .


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