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河南省郑州市2012-2013学年高二数学下学期期末考试试题


郑州市 2010—2011 学年下期期末考试

高中二年级

数学(理科)

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 个小题,每个小题 5 分,共 60 分,在每个小题所给的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知复数 Z= A.第一象限

1 ,则 Z 在复平

面上对应的点在 1? i
B.第二象限
2

C.第三象限

.

D 第四象限

2、如果随机变量§~N( —2, ? A.0.7 B.0.6

) ,且 P(—3≤§≤—1)=0.4,则 P( §≥—1)= C.0.3 D.0.2

3.用反证法证明“若 a,b,c<3,则 a,b,c 中至少有一个小于 1”时, “假设”应为 A.假设 a,b,c 至少有一个大于 1 C.假设 a,b,c 至少有两个大于 1 4.下列求导正确的是 B.假设 a,b,c 都大于 1 D.假设 a,b,c 都不小于 1

1

1
B.(log2 —X) ’=

A.(x+ x ) ’=1+ x 2
X X C( 3 ) ’= 3 log3—e

log 2—e x

D.( sin 3 2x ) ’=6 sin 2 2x

x
2 2 5.曲线 y= e 在点(4, e )处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为

A.

9 2 e 2

B. 4 e

2

C.2 e

2

D. e

2

x3 2 x 6.函数 f(x)= 3 + -3x—4 在[0,2]上的最小值是
A.— 17 B.—

3
别为 1 、 1

10 3

C.-4

D—1

7、甲乙丙三位同学独立的解决同一个问题,已知三位同学能够正确解决这个问题的概率分

2
A.

3



1 ,则有人能够解决这个问题的概率为 4
B.

13 12

3 4

C.

1 4

D.

1 24

1

8.某同学为了解秋冬季节用电量(y 度)与气温(x℃)的关系曾由下表数据计算出回归直

?
线方程为 气温 用电量(度) A.40 y=—2x+60,现表中有一个数据被污损。则被污损的数据为 18 24 B.39 13 34 C.38 10 * D.37 —1 64

9.甲同学参加一次英语口语考试,已知在备选的 10 道题中,甲能答对其中的 5 道题,规定 每次考试都从备选题中随机抽出 3 题进行测试,至少答对 2 道题才算合格。则甲合格的概 率为

5
A . 12

1
B. 2

2
C. 3

5
D. 6

10.用 1,2,3 三个数字组成一个四位数字,规定这三个数必须同时使用,且同一数字不能 相邻出现,这样的四位数共有 A.18 个 B.9 个 C.12 个 D24 个

11、函数 f(x)=

与 x 轴围成的封闭图形的面积为

?
A. 4 +1

5?
B. 4

5
C. 4 D.

? +1

12.已知点 P、Q 分别为函数 y=ln(x—1)+1 和 y=

e x-1

+1 图像上的动点,O 为坐标原点,当

最小时,1PQ1 直线OQ交函数 y=

e x-1 +1 的图像于点R( x o , yo ) (异于Q点) ,则

yo xo =

1 A. x -1 o

B.

2

C.2

D.3

第 II 卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.袋中有 3 个白球 2 个黑球共 5 个小球,现从袋中每次取一个小球,每个小球被抽到的可 能性均相同,不放回地抽取两次,则在第一次抽到白球的条件下,第二次扔抽到白球的概 率是___ 14.已知 i 为虚数单位,则 i+ i + i ?+ i
2 8

3

2013

=___

+ + + = 15.已知(2x—1)的 8 次方= a8 x +?+ a1 x+ ao ,则 a 2 a 4 a 6 a 8 ___用数字回答)

2

16.现有一个关于平面图形的命题:如图所示,同一个平面内有两个变长都是 a 的正方形, 其中一个正方形的某起点在另一个正方形的中心,则这两个正方形重叠部分的面积恒为

a2 4 ,类比到空间,有两个棱长为 a 的正方体,其中某一个正方体的某顶点在另一个正方体
的中心,则这两个正方体的重叠部分的体积恒为___

三、解答题(6 小题,共 70 分,解答写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分) 已知复数 Z=a+bi(a,b ε R) ,且 (I)求复数 Z

a2

—(i—1)a+3b+2i=0

m
(II)若 Z+ z ε R,求实数 m 的值.

18(本题满分 12 分) 某主任对全班 50 名学生的学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查,统计数据如下表 所示 积极参加班级工作 学习积极性高 学习积极性一般 18 6 不太主动参加班级工作 7 19

(I)如果随机抽查这个班的一名学生,那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少? 抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少? (II)试运用独立性检验的思想方法分析:学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否 有关?并说明理由 附:
3

P(

K 2 ≥k)

0.050

0.010

0.001

K2=

n(ad -bc) 2 (a ? b)(c? d)(a ? c)(b? d)
k 3.841 6.635 10.828

18.(本题满分 12 分) 已知 c2 + c3 + c4 +?+ cn = c8 (nε N) (I)求 n 的值
2

2

2

2

3

2 n ( x ? ) 的一次项 (II)求二项式 3
x

20(本题满分 12 分)

2 某射手每次射击击中目标的概率均为 3 ,且每次射击的结果互不影响
(I)假设这名射手射击 3 次,求至少 2 次击中目标的概率 (II)假设这名射手射击 3 次,每次击中目标 10 分,未击中目标得 0 分,在 3 次射击中, 若有两次连续击中目标,而另外一次未击中目标,则额外加 5 分;若 3 次全部击中,则额 外加 10 分。用随机变量§表示射手射击 3 次后的总得分,求§的分布列和数学期望。 21.(本小题满分 12 分) 设 F(x)=3a x +2bx+c,若 a+b+c=0,且 F(x)>0,F(1)>0.
2

b
求证:a>0,且—2< a <—1.

22.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=

x2

-2alnx(a>0)

(I)求函数 f(x)的单调区间和最小值. (II)若方程 f(x)=2ax 有唯一解,求实数 a 的值.

4

高中二年级 一、 选择题 DCDBD ABCBA 二、 填空题

数学(理科 7)

参考答案

AC

1 13. ; 2
三、 解答题

14. i ;

15. 3280 ;

a3 16. . 8

?a2 ? a ? 3b ? 0, ?a ? 2, 17.解:⑴由题意 ? 解之得 ? ?b ? ?2, ??a ? 2 ? 0,
所以 z ? 2 ? 2i 为所求. ⑵由⑴得 z ? 所以 -------5 分

m m m(1 ? i ) ? 2 ? 2i ? ? 2 ? 2i ? ?R , z 2 ? 2i 4
-------10 分

m ? 2 ? 0 ,即 m ? 8 为所求. 4

18.解:⑴随机抽查这个班的一名学生,共有 50 种不同的抽查方法, 其中积极参加班级工作的学生有 18+6=24 人,即有 24 种不同的抽法, 由古典概型的计算公式可得抽到积极参加班级工作的学生的概率是 P 1 ?

24 12 ? . 50 25 19 . 50

同理可得,抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的概率是 P2 ? ---------4 分 ⑵由 K 统计量的计算公式得: K ?
2

2

50 ? (18 ?19 ? 6 ? 7) 2 ? 11.538 ,------8 分 24 ? 26 ? 25 ? 25
--------12 分
5

由于 11.538 ? 10.828 ,所以有 99.9%的把握认为“学生的学习积极性与对待班 级工作的态度有关系”.

2 2 19.解:⑴由题意, C2 ? C3 ?
7 ?r 2

2 3 3 n ? 7 为所求.---------4 分 ? Cn ? Cn ?1 ? C8 ,所以
? r 3 21?5r 6

r ⑵由⑴得 Tr ?1 ? C7 ?x

? (?2)r ? x

r ? (?2)r C7 x

,---------8 分



21 ? 5r ? 1 ,解得 r ? 3 , 6
---------12 分

3 所以所求一次项为 T4 ? ?8 ? C7 x ? ?280x .

20.解:⑴设 X 为射手 3 次射击击中目标的总次数,则 X

2 B (3, ) . 3 2 2 2 3 20 2 2 3 故 P( X ? 2) ? P( x ? 2) ? P( x ? 3) ? C3 ? ( ) ? (1 ? ) ? C3 ? ( ) ? , 3 3 3 27 20 所以所求概率为 .-------4 分 27

⑵由题意可知, ? 的所有可能取值为 0,10, 20, 25, 40 , 用 Ai (i ? 1, 2,3) 表示事件“第 i 次击中目标” ,

1 ?1? 则 P(? ? 0) ? P( X ? 0) ? ? ? ? , ? 3 ? 27
2 2 1 2 P(? ? 10) ? P( X ? 1) ? C3 ? ? (1 ? ) 2 ? , 3 3 9 2 1 2 4 P(? ? 20) ? P( A1 A2 A3 ) ? ? ? ? , 3 3 3 27 8 P(? ? 25) ? P( X ? 2) ? P(? ? 20) ? , 27

3

8 ?2? P(? ? 40) ? P( X ? 3) ? ? ? ? . ? 3 ? 27
故 ? 的分布列是

3

?
P

0

10

20

25

40

1 27

2 9

4 27

8 27

8 27

-----10 分

E (? ) ? 0 ?

1 6 4 8 8 220 ? 10 ? ? 20 ? ? 25 ? ? 40 ? ? . -----12 分 27 27 27 27 27 9

21.证明:由题意 f (1) ? 3a ? 2b ? c ? a ? c ? 2(a ? b ? c) ? a ? c ? 0 , 又 f (0) ? c ? 0 ,所以 a ? c ? 0 .---------4 分 注意到 a ? b ? ?c ? 0 ,又 a ? 0 ,所以 1 ?

b b ? 0 ,即 ? ?1 , a a
6

又 f (1) ? 3a ? 2b ? c ? 2a ? b ? (a ? b ? c) ? 2a ? b ? 0 , a ? 0 ,

b b ? 0 ,即 ? ?2 . a a b 综上: a ? 0 ,且 ?2 ? ? ?1 . a
所以 2 ? 22. 解:⑴函数的定义域为 (0, ??) ,且 f ?( x) ? 2 x ? 所以当 0 ? x ?

---------11 分 ---------12 分

2a 2( x ? a )( x ? a ) , ? x x

a 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? a 时, f ?( x) ? 0 ,

即函数 f ( x ) 的减区间为 (0, a ) ,增区间为 ( a , ??) ,

f ( x)min ? f ( a ) ? a ? a ln a .
⑵设 g ( x) ? f ( x) ? 2ax ? x2 ? 2ax ? 2a ln x( x ? 0) ,

---------4 分

则 g ?( x) ?

2( x ? ax ? a) ? x
2

2( x ?

a ? a 2 ? 4a a ? a 2 ? 4a )( x ? ) 2 2 , x

a ? a 2 ? 4a a ? a 2 ? 4a 因为 ? 0 ,令 ? t ,则 t ? 0 , 2 2
所以当 0 ? x ? t 时 g ?( x) ? 0 ,当 x ? t 时 g ?( x) ? 0 , 即函数 g ( x) 的减区间为 (0, t ) ,增区间为 (t , ??) , 又因为当 x ? 0, x ? ?? 时均有 g ( x) ? ?? , 所以 g ( x) ? 0 有唯一解 ? g (t ) ? 0 , 分
2 ? ?t ? 2at ? 2a ln t ? 0, 注意到 g ?(t ) ? 0 ,所以 ? 2 ? ?t ? at ? a ? 0,

---------8

所以 2a ln t ? a ? at ,因为 a ? 0 ,所以 ln t ? t ? 1 ? 0 , 记 h(t ) ? ln t ? t ? 1 ,则 h?(t ) ? ? 1 ? 0 对于 t ? 0 恒成立,

1 t

即 h(t ) 为增函数,又 h(1) ? 0 ,所以 解之得 a ?

a ? a 2 ? 4a ? t ?1, 2
---------12 分

1 ,为所求. 2

7

解法 2:

方程 f ( x) ? 2ax 有唯一解,

? x2 ? 2a ln x ? 2ax??( x ? 0, a ? 0) 有唯一解
? 1 ln x ? x ? ??( x ? 0, a ? 0) 有唯一解. 2a x2 ln x ? x 1 ? x ? 2 ln x ??( x ? 0, a ? 0) ,则 g '( x) ? ??( x ? 0, a ? 0) , 令 g ( x) ? 2 x x3
故当 x ? (0,1) 时, g '( x) ? 0 , y ? g ( x) 单调递增; 当 x ? (1, ??) 时, g '( x) ? 0 , y ? g ( x) 单调递减,

? g ( x)max ? g (1) ? 1 ,?

1 1 ? 1 ,? a ? 2a 2

8


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