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广东省2016届高三3月适应性考试数学(文)试题带答案


2016 年适应性考试

文科数学
注意事项: 1.答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上.

2016 年 3 月

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟.

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内;如需改动, 先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液,不按以上要求作答的答案无效. 4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷交回.

第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的. 1.已知集合 A ? {x x ? 5x ? 6 ? 0} , B ? { x 2 ? 1} ,则 A ? B ? (
2 x



A. ? 2,3?

B. (0, ??)

C. (0, 2) ? (3, ??)

D. (0, 2] ? [3, ??)

2.设复数 z1 ? 3 ? 2i , z2 ? 1 ? i ,则 z1 ? A. 2 B. 3 C. 4

2 ?( z2

) D. 5 )

3.甲,乙,丙三名学生随机站成一排,则甲站在边上的概率为(

1 2 1 5 B. C. D. 3 3 2 6 4.设 p, q 是两个题,若 ? p ? q 是真命题,那么( )
A.
开始

A. p 是真命题且 q 是假命题 C. p 是假命题且 q 是真命题

B. p 是真命题且 q 是真命题 D. p 是假命题且 q 是假命题
输入 N

5.已知等比数列 {an } 满足: a1 ? a3 ? 10 , a4 ? a6 ? 则 {an } 的通项公式 an ? ( A. ) C.

5 , 4

n= 1, x= 0 n= n+ 1 n< N
否 输出 x 是 1

1 2n?4

B.

1 2 n ?3
B. 0.8

1 2 n ?3

?4

D.

1 2n ? 2

?6


x= x+

n(n+ 1)

6. 执行右面的程序框图,如果输入的 N ? 10 ,则输出的 x ? ( A. 0.5 C. 0.9

结束

D. 1
1

7.三角函数 f ( x) ? sin( A. 3,

?
6

? 2 x) ? cos 2 x 的振幅和最小正周期分别为(
C. 2,



?
2

B. 3, ?

?
2

D. 2, ?

8.已知过球面上有三点 A, B, C 的截面到球心的距离是球半径的一半,且 AB ? BC ? CA ? 2 , 则此球的半径是( A. ) B. 1 C.

3 4

4 3

D. 2

? 9.在等腰三角形 ABC 中, ?A ? 150 , AB ? AC ? 1 ,则 AB ? BC ? (

??? ? ??? ?



A. ?

3 ?1 2

B. ?

3 ?1 2

C.

3 ?1 2

D.

3 ?1 2

10.已知椭圆 则b ? ( A. 8

x2 y 2 5 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,椭圆上一点 P 到两焦点的距离之和为 12 , 2 a b 3
) B. 6 C. 5 D. 4
正视图 侧视图

11.某几何体的三视图如图所示,图中的四边形都是边长为 2 的正方形, 两条虚线互相垂直且相等,则该几何体的体积是( A. )

? C. 8 ? 6

20 3

B.

? D. 8 ? 3

16 3

俯视图

12.已知 ? 是第二象限的角,其终边上的一点为 P( x, 5) ,且 cos ? ?

2 x ,则 tan ? ? ( 4 15 3



A.

15 5

B.

15 3

C. ?

15 5

D. ?

2

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13~21 题为必考题,每个试题考生都必须作答.第 22~24 为选 考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.

?2 x ? y ? 2 ? 13.已知实数 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1 ,若目标函数 z ? 2 x ? ay 仅在点 (3, 4) 取得最小值,则 a 的 ?x ? y ? 1 ?
取值范围是_________. 14.已知双曲线

x 2 16 y 2 ? 2 ? 1 的左焦点在抛物线 y 2 ? 2 px 的准线上,则 p ? _________. 3 p

15. 已知 f ( x ) 是定义域为 R 的单调递减的奇函数, 若 f (3x ? 1) ? f (1) ? 0 , 则 x 的取值范围是_________. 16.顶点在单位圆上的 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c .若 sin A ? 则 S?ABC ? _________.

3 2 2 ,b ? c ? 4, 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分)
2 数列 {an } 的各项均为正数, Sn 为其前 n 项和,且对任意的 n ? N ,均有 2an , 2 S n , an 成等差数列.
*

(1)求 a1 的值; (2)求数列 {an } 的通项公式.

3

18. (本小题满分 12 分) 某学校的篮球兴趣小组为调查该校男女学生对篮球的喜好情况,用简单随机抽样方法调查了该校100 名学生,调查结果如下: (1)该校共有 500 名学生,估计有多少学生喜好篮球? (2)能否有 99 %的把握认为该校的学生是否喜欢篮球与 性别有关?说明原因; (3)已知在喜欢篮球的 12 名女生中, 6 名女生 (分别记为 P 1, P 2, P 3, P 4, P 5, P 6 ) 同时喜欢乒乓球,

性别 是否喜欢篮球 是 否

男生 35 25

女生 12 28

2 名女生(分别记为 B1, B2 )同时喜欢羽毛球, 4 名女生(分别记为 V1 ,V2 ,V3 ,V4 ) 同时喜欢排球, 现从喜欢乒乓球、羽毛球、排球的女生中各取 1 人,
求P 1 , B2 不全被选中的概率. 附: K ?
2

n(ad ? bc)2 ,n ? a?b?c?d . (a ? b)(a ? c)(b ? d )(c ? d )

参考数据:

P( K 2 ? k0 )
k0

0.10

0.050
3.841

0.010

0.005 7.879

2.706

6.635

19. (本小题满分 12 分) 如图所示,在直三棱柱 ABC ? DEF 中,底面 ABC 的棱 AB ? BC , 且 AB ? BC ? 2 .点 G 、 H 在侧棱 CF 上,且 CH ? HG ? GF ? 1 . (1)证明: EH ? 平面 ABG ; (2)求点 C 到平面 ABG 的距离.

F G H C A D

E

B

4

20. (本小题满分 12 分)

1 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 且 QP ? QF ? FP ? FQ .

已知点 F ( , 0) 及直线 l : x ? ?

1 . P 为平面上的动点,过 P 作直线 l 的垂线,垂足为点 Q , 2

(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)设圆 M 过点 A(1, 0) 且圆心 M 在 P 的轨迹 C 上, E1 E2 是圆 M 在 y 轴上截得的弦, 证明弦长 E1E2 是一个常数.

21. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? log a ( x ? 1)(a ? 0, a ? 1) . (1)当 a ? 1 时,证明: ?x1 , x2 ? (?1, ??), x1 ? x2 ,有 f (

x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? ; 2 2

(2)若曲线 y ? f ( x) 有经过点 (0,1) 的切线,求 a 的取值范围.

请考生在第 22,23,24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清楚题号. 22.(本小题满分 10 分)选修 4 ? 1 :几何证明选讲 如图所示, BC 是半圆 O 的直径, AD ? BC ,垂足为 D , ? AB ? ? AF , BF 与 AD 、 AO 分别交于点 E 、G . (Ⅰ)证明: ?DAO ? ?FBC ; (Ⅱ)证明: AE ? BE .

A G E B D O

F

C

23.(本小题满分 10 分)选修 4 ? 4 :坐标系与参数方程选讲 在直角坐标系 xOy 中,过点 P(1, ?2) 的直线 l 的倾斜角为 45 .以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为
?

极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ? sin (Ⅰ)求直线 l 的参数方程; (Ⅱ)求 PA ? PB .

2

? ? 2cos? ,直线 l 和曲线 C 的交点为 A, B .

5

24.(本小题满分 10 分)选修 4 ? 5 :不等式选讲 设函数 f ( x) ? x ? a ? 5x . (Ⅰ)当 a ? ?1 时,求不等式 f ( x) ? 5 x ? 3 的解集; (Ⅱ)若 x ? ?1 时有 f ( x) ? 0 ,求 a 的取值范围.

2016 年适应性测试文科数学答案及评分参考
评分说明: 1. 本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容 比照评分参考制订相应的评分细则. 2. 对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可 视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有 较严重的错误,就不再给分. 3. 解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4. 只给整数分数. 选择题不给中间分. 一.选择题: (1)A (2)D (7)B 二.填空题 (13) ( -? , - 2) 三.解答题 (17)解:
2 2 (Ⅰ)由假设,当 n ? 1 时,有 4S1 ? 2a1 ? a1 ,即 4a1 ? 2a1 ? a1 .

(3)B (9)A

(4)C (10)D

(5)A (11)A

(6)C (12)D
3 4

(8)C

(14)4

纟 2 ú - ? , (15) ? ? ? è 3ú ?

(16)

故 a1 (a1 ? 2) ? 0. 由于 a1 ? 0 ,故 a1 ? 2.
2 (Ⅱ)由题设,对于 n ≥ 1 ,有 4Sn ? 2an ? an 2 因此 4Sn?1 ? 2an?1 ? an ?1 , n ≥ 2

………4 分 ① … …



2 2 由①-②得, 4an ? 2an ? 2an?1 ? an ? an ?1.

即 2(an ? an?1 ) ? (an ? an?1 )(an ? an?1 ).
6

由于 an 和 an ?1 均为正数,故 an ? an?1 ? 2, n ≥ 2. 从而 ?an ? 是公差为 2,首项为 2 的等差数列. 因此, an ? 2n,

n ≥1.

………12 分

(18)解: … (Ⅰ)在被调查的 100 名学生中,有(35+12)名学生喜欢篮球,因此全校 500 名学生中喜欢篮球的人数 … 35 ? 12 ………4 分 ? 235 (人). 为: 500 ?

100

… 100? (35? 28 ? 12? 25) 2 ? 7.7345? 6.635… (Ⅱ) K ? ,所以有 99%的把握认为该学校的学生是否喜欢 47 ? 53? 60? 40
2

篮球与性别有关. (Ⅲ)从喜欢乒乓球、羽毛球、排球的女生中各选一名,一切可能的结果组成的基本事件有

N ? 6 ? 2 ? 4 ? 48 个,用 M 表示“ P 1 , B2 不全被选中”这一事件,则对立事件 M 表示“ P 1 , B2 全被选中”这
一 事 件 , 由 于 M 包 含 (P 1 , B2 , V1 ) , ( P 1 , B2 , V2 ) , ( P 1 , B2 , V4 ) 4 个 基 本 事 件 , 所 以 1 , B2 , V3 ) , ( P

P( M ) ?

4 1 ? . 48 12 1 11 ? . 12 12
………12 分

由对立事件的概率公式得 P ( M ) ? 1 ? (19)解:

… (Ⅰ)因为 ABC ? DEF 是直三棱柱,所以 FC ? 平面 ABC ,而 AB ? 平面 ABC , … 所以, FC ? AB . 又? AB ? BC , BC ? FC ? C .

? AB ? 平面 BCFE ,又? EH ? 平面 BCFE , ? AB ? EH .
由题设知 ?EFH 与 △BCG 均为直角三角形,

? EF ? 2 ? FH , BC ? 2 ? CG ,

? ?EHF ? 45? , ?BGC ? 45? .
? 设 BG ? EH ? P ,则 ?GPH ? 90 ,即 EH ? BG .

又 AB ? BG ? B ,? EH ? 平面 ABG . (Ⅱ)? AB ? BC ? 2 , AB ? BC , ? S ?ABC ?

………6 分

? CG ? 平面 ABC ,?VG ? ABC

1 AB ? BC ? 2 … . 2 … 1 4 ? S ?ABC ? CG ? . 3 3

由(1)知 AB ? BG , CG ? 2 ? BC , BG ?

BC2 ? CG2 ? 22 ? 22 ? 2 2 ,

? S?ABG ?

1 AB ? BG ? 2 2 . 2
7

设点 C 到平面 ABG 的距离为 h ,则

1 2 4 ?VC ? ABG ? S?ABG ? h ?? 2h ? VG ? ABC ? , 3 3 3

?h ? 2 .
即点 C 到平面 ABG 的距离为 2 . (20)解: (Ⅰ)从题意知,设点 P 的坐标为 ? x, y ? ,则 Q 的坐标为 ? ? 因此 QP ? ? x ? … ? 1 ? ,… y?, ? 2 ? ………12 分

??? ? ? ?

? 1 ? ??? ,0 ? , QF ? ?1, ? y ? , 2 ?

??? ? ? ? 1 ? ??? FP ? ? x ? , y ? , FQ ? ? ?1, y ? . 2 ? ?
因 QP ? QF ? FP ? FQ ,得 ? x ? 即x?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

? ?

1 ? 1 ? ? , 0 ? ? ?1, ? y ? ? ? x ? , y ? ? ? ?1, y ? , 2 ? 2 ? ?

1 1 ? ? x ? y 2 ,故动点 P( x, y) 的坐标满足方程 y 2 ? 2x 2 2

设 N ( x0 , y0 ) 是 y 2 ? 2 x 的任一点,过 N 作直线 l 的垂线,垂足为 Q ,则有 FN ? FQ ? QN ? QF , 即

???? ??? ?

???? ????

y 2 ? 2x 上的任一点都具有所需的性质.
综上,动点 P 的轨迹方程为 y 2 ? 2 x . (Ⅱ)设 M ? a, b ? 为圆 M 的圆心,则 b ? 2a .
2

………6 分 … …

? 圆 M 过点 A ?1,0 ? ,? 圆 M 上的点 ( x, y) 满足

? x ? a? ??
2

y? ? b

2

? ? a1? ?

2

2 ? b .

令 x ? 0, 得 y 2 ? 2by ? 2a ?1 ? 0, 于是可得圆 M 与 y 轴的交点为 E1 ? 0, y1 ? 和 E2 ? 0, y2 ? ,其中

y1,2 ? b ? b 2 ? 2a ? 1 ? b ? 1,
故 E1E2 ? y1 ? y2 ? 2 是一个常数. (21)解: (Ⅰ)由 f ( x) ? loga ( x ? 1) 得: ………12 分 … …

f ( x1 ) ? f ( x2 ) log a ( x1 ? 1) ? log a ( x2 ? 1) ? 2 2 1 ? log a [( x1 ? 1)( x2 ? 1)] ? log a ( x1 ? 1)( x2 ? 1) 2
8

? x1 ? 1 ? 0, x2 ? 1 ? 0 ,且 x1 ? 1 ? x2 ? 1 ,
? ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? x1 ? 1 ? x2 ? 1 x1 ? x2 ? ?1 2 2

当 a ? 1 时, log a x 单调递增,

? 当 a ? 1 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) x ?x x ?x ? log a ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? log a ( 1 2 ? 1) ? f ( 1 2 ) . ………4 分 2 2 2
(Ⅱ) f ( x ) 的定义域为 (?1, ??) ,若曲线 y ? f ( x) 在点 ( x , f ( x ))处的切线经过点 (0,1) ,则应有 … …

log a ( x ? 1) ? 1 f ( x) ? 1 1 ? f ?( x) ,即 . ? x x ( x ? 1) ln a

?(x ?1)ln a?[loga ( x ?1) ?1] ? x ? 0 ( x ? ?1 ),

(*)有解.

设 F ( x) ? ?( x ?1)ln a?[loga ( x ?1) ?1] ? x ( x ? ?1 ) , 则 F ?( x) ? [log a ( x ? 1) ? 1]ln a ? ?( x ? 1) ln a ? 令 F ?( x) ? 0 ,解得 x ? a ? 1 .

1 ? 1 ? [log a ( x ? 1) ? 1]ln a , ( x ? 1) ln a

? 当 x ? a ? 1 时, F ?( x) ? 0 ,当 x ? a ? 1 时, F ?( x) ? 0 , ? F (a ? 1) ?1 ? a 是 F ( x) 的最小值.
因此,当 1 ? a ? 0 ,即 0 ? a ? 1 时,方程(*)无解,所以曲线 y ? f ( x) 没有经过点 (0,1) 的切线. 当 1 ? a ? 0 时,由于 ae ? 1 ? a ? 1 时,

F (ae ?1) ? ? aeln a ? (loga ae ?1) ? ae ?1 ? 1 ? 0 , 所以方程( *)有解,故曲线 y ? f ( x) 有经过点
(0,1) 的切线.
(22)解: (Ⅰ)连接 FC , OF ,? ? AB ? ? AF , OB ? OF , ………12 分 … …

? 点 G 是 BF 的中点, OG ? BF . 因为 BC 是 ? O 的直径,所以 CF ? BF .
? OG // CF . ??AOB ? ?FCB ,

??DAO ? 90? ? ?AOB, ?FBC ? 90? ? ?FCB ,
??DAO ? ?FBC.
………5 分

(Ⅱ)在 Rt △OAD 与 Rt △OBG 中,由(Ⅰ)知 ?DAO ? ?GBO , … 9 …

又 OA ? OB ,所以, △OAD ? △OBG ,于是 OD ? OG .

? AG ? OA ? OG ? OB ? OD ? BD .
在 Rt △ AGE 与 Rt △BDE 中,由于 ?DAO ? ?FBC , AG ? BD , 所以, △ AGE ? △BDE ,因此, AE ? BE . (23)解: ………10 分 … …

2 (Ⅰ)由条件知,直线 l 的倾斜角 ? ? 45? , cos ? ? sin ? ? . 2

设点 M ( x, y ) 是直线 l 上的任意一点,点 P 到点 M 的有向距离为 t ,则

? 2 t ? x ? 1? ? 2 . ? ? y ? ?2 ? 2 t ? ? 2
(Ⅱ)曲线 C 的直角坐标方程为 y 2 ? 2 x ,由此得 (?2 ? 即 t ? 6 2t ? 4 ? 0 .
2

………5 分 … …

2 2 2 t ) ? 2(1 ? t) , 2 2

设 t1 , t2 为此方程的两个根,因为 l 和 C 的交点为 A, B ,所以 t1 , t2 分别是点 A, B 所对应的参数,由韦 达定理得 (24)解: = t1t2 ? 4 . P A? P B ………10 分

… … (Ⅰ) f ( x) ?| x ? 1| ?5 x ≤ 5 x ? 3 可得 | x ? 1|≤ 3 ,解得 ?4 ≤ x ≤ 2 . (Ⅱ) f ( x) ? ? 足 x ≤ ?1 .于是 (1)由 ?

………4 分

?6 x ? a, x ≥ a 在 R 上是单调递增的. 若 f ( x ) 适合题设条件,则 f ( x ) 的零点 x 必须满 ? 4 x ? a, x ? a

?a ≤ x ≤ ?1 ,得 a ≤ ?6 ; ?6 x ? a ? 0

?x ? a ? (2)由 ? x ≤ ?1 ,得 a ≥ 4 . ?4 x ? a ? 0 ?
从而 a ? ? ??, ?6? ? ?4, ??? . 反之, ?a ? ? ??, ?6? ? ?4, ??? ,易计算此时 f ( x) ? x ? a ? 5x 满足题设条件. 故满足题设条件的 a 的取值范围是 ? ??, ?6? ? ?4, ??? ………10 分

10


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