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安徽省安庆一中2015届高考数学三模试卷(文科)


安徽省安庆一中 2015 届高考数学三模试卷(文科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分)设 i 是虚数单位,则复数 1﹣2i+3i ﹣4i 等于() A.﹣2﹣6i B.﹣2+2i C.4+2i
2 2 3

D.4﹣6i

2. (5 分)已知集合 A={x|x ﹣4>0},B={x|x﹣2<0},则(?RA)∩B 等于() A. (﹣∞,2) B. C. (﹣2,2) D. 上随机取一个实数 x,使得 sinx∈的概 率为() A. B. C. D.

5. (5 分)将函数 对称,则 φ 的最小正值为() A. B.

的图象向右平移 φ 个单位,得到的图象关于原点

C.

D.

6. (5 分)已知某几何体的三视图,则该几何体的体积是()

A.12

B.24

C.36

D.48

7. (5 分)直线 x+my+1=0 与不等式组

表示的平面区域有公共点,则实数 m 的

取值范围是() A.

B.

C.

D.

8. (5 分) (理)已知圆心为 O,半径为 1 的圆上有不同的三个点 A、B、C,其中 存在实数 λ,μ 满足 A.λ +μ =1
2 2



,则实数 λ,μ 的关系为() B. C.λμ=1 D.λ+μ=1

9. (5 分)已知抛物线 y =8x 的准线与双曲线

2



=1(a>0,b>0)相交于 A、B 两点,

双曲线的一条渐近线方程是 y= 双曲线的标准方程是() A. ﹣ =1 B. ﹣

x,点 F 是抛物线的焦点,且△ FAB 是等边三角形,则该

=1

C.



=1

D.



=1

10. (5 分)对于函数 f(x)=ae ﹣x,若存在实数 m、n,使得 f(x)≤0 的解集为(m<n) , 则实数 a 的取值范围是() A.(﹣∞,0)∪(0, ) D.(0, ] B.(﹣∞,0)∪(0, ] C. (0, )

x

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在题中横线上. 11. (5 分)为了解某校教师使用多媒体辅助教学的情况,采用简单随机抽样的方法,从该校 200 名授课教师中抽取 20 名教师,调查了解他们上学期使用多媒体辅助教学的次数,结果用 茎叶图表示(如图) ,据此可估计该校上学期 200 名教师中,使用多媒体辅助教学不少于 30 次的教师人数为.

12. (5 分)执行如图所示的程序,则输出的结果为.

13. (5 分)等差数列{an}中,a4=6,则 2a1﹣a5+a11=.
2 2

14. (5 分)已知 a,b 为正实数,直线 x+y+a=0 与圆(x﹣b) + (y﹣1) =2 相切,则 取值范围是.



15. (5 分)对于函数 f(x)=

,给出下列结论:

①等式 f(﹣x)+f(x)=0 在 x∈R 时恒成立; ②函数 f(x)的值域为(﹣1,1) ③函数 g(x)=f(x)﹣x 在 R 上有三个零点; ④若 x1≠x2,则 >0

⑤若 x1<x2,则 其中所有正确结论的序号为.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 2 16. (12 分) 在△ ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, ( f x) =sin2xcosB﹣2cos xsinB+sinB, x∈R,函数 f(x)的图象关于直线 (Ⅰ)当 (Ⅱ)若 b=3 且 对称.

时,求函数 f(x)的最大值并求相应的 x 的值; ,求△ ABC 的面积.

17. (12 分)PM2.5 是指空气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物(也称可入肺颗粒物) .为了 探究车流量与 PM2.5 的浓度是否相关, 现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与 PM2.5 的数据如下表: 时间 周一 周二 周三 周四 周五 车流量 x(万辆) 50 51 54 57 58 PM2.5 的浓度 y(微克/立方米) 69 70 74 78 79 (Ⅰ)根据上表数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 ;

(Ⅱ) 若周六同一时间段车流量是 25 万辆, 试根据 (Ⅰ) 求出的线性回归方程预测, 此时 PM2.5 的浓度为多少(保留整数)?

(参考公式:

,参考数据:



18. (12 分)已知数列{an}和{bn}对任意的 n∈N 满足 数列,且 a1=1,b2=b1+2. (Ⅰ)求数列{an}和{bn}的通项公式; (Ⅱ)设 cn= ,求数列{cn}的前 n 项和 Sn.

*

,若数列{an}是等比

19. (13 分)如图,在多面体 ABC﹣A1B1C1 中,四边形 ABB1A1 是正方形,△ A1CB 是等边 三角形,AC=AB=1,B1C1∥BC,BC=2B1C1 (Ⅰ)求证:AB1∥平面 A1C1C (Ⅱ)求多面体 ABC﹣A1B1C1 的体积.

20. (13 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知对于任意实数 k,直线 恒过定点 F.设椭圆 C 的中心在原点,一个焦 点为 F,且椭圆 C 上的点到 F 的最大距离为 . (1)求椭圆 C 的方程; 2 2 2 (2)设(m,n)是椭圆 C 上的任意一点,圆 O:x +y =r (r>0)与椭圆 C 有 4 个相异公共 点,试分别判断圆 O 与直线 l1:mx+ny=1 和 l2:mx+ny=4 的位置关系. 21. (13 分)设函数 f(x)=lnx, (Ⅰ)当 a=1 时,求函数 g(x)的单调区间; (Ⅱ)若对任意 恒成立,求实数 a 的最小值. .

安徽省安庆一中 2015 届高考数学三模试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分)设 i 是虚数单位,则复数 1﹣2i+3i ﹣4i 等于() A.﹣2﹣6i B.﹣2+2i C.4+2i 考点: 虚数单位 i 及其性质. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 直接利用复数单位的幂运算,化简求解即可. 解答: 解:复数 1﹣2i+3i ﹣4i =复数 1﹣2i﹣3+4i=﹣2+2i. 故选:B. 点评: 本题考查复数的幂运算,复数的基本概念的应用,基本知识的考查. 2. (5 分)已知集合 A={x|x ﹣4>0},B={x|x﹣2<0},则(?RA)∩B 等于() A. (﹣∞,2) B. C. (﹣2,2) D. , ∴(?UA)∩B= 故选:D. 点评: 此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键. 3. (5 分)“m=3”是“函数 f(x)=x 为实数集 R 上的奇函数”的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分又不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 3 解答: 解:当 m=3 时,函数 f(x)=x 为奇函数,满足条件. 当 m=1 时,函数 f(x)=x 为奇函数,但 m=3 不成立, m 故“m=3”是“函数 f(x)=x 为实数集 R 上的奇函数”的充分不必要条件, 故选:A 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据函数奇偶性的定义进行判断是解决 本题的关键. 4. (5 分)在区间上随机取一个实数 x,使得 sinx∈的概率为() A. B. C. D.
m 2 2 3 2 3

D.4﹣6i

考点: 几何概型. 专题: 概率与统计.

分析: 由题意,本题属于几何概型的运用,已知区间的长度为 π,满足 sinx∈的 ,求出区间长度,由几何概型公式解答. 解答: 解:在区间上,当 时, ,由几何概型

知,符合条件的概率为



故选 C. 点评: 本题考查解三角函数与几何概型等知识,属于基础题.

5. (5 分)将函数 对称,则 φ 的最小正值为() A. B.

的图象向右平移 φ 个单位,得到的图象关于原点

C.

D.

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由条件根据函数 y=Asin (ωx+φ) 的图象变换规律, 可得平移后函数的解析式为 y=sin (2x+ ﹣2φ) ,再根据正弦函数的图象的对称性,可得 ﹣2φ=kπ,k∈z,由此求得 φ 的最

小正值. 解答: 解:将函数 函数解析式为 y=sin=sin(2x+ ﹣2φ) , ﹣2φ=kπ,k∈z,即 φ= ﹣ ,则 φ 的最小 的图象向右平移 φ 个单位,得到的图象对应的

再根据所得函数的图象关于原点对称,可得 正值为 ,

故选:A. 点评: 本题 主要考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,正弦函数的图象的对称性,属 于基础题 6. (5 分)已知某几何体的三视图,则该几何体的体积是()

A.12

B.24

C.36

D.48

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 利用三视图判断几何体的形状,通过三视图是数据,求出几何体的体积即可. 解答: 解:三视图复原的几何体是底面为边长 4、3 的矩形,高为 3 的棱锥,高所在棱垂直 底面矩形的一个得到, 所以棱锥的体积为: 故选:A. =12.

点评: 本题主要考查关于“几何体的三视图”与“几何体的直观图”的相互转化的掌握情况,同 时考查空间想象能力.

7. (5 分)直线 x+my+1=0 与不等式组

表示的平面区域有公共点,则实数 m 的

取值范围是() A.

B.

C.

D.

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式组对应的平面区域,利用线性规划的知识即可得到结论. 解答: 解:即直线 x+my+1=0 过定点 D(﹣1,0) 作出不等式组对应的平面区域如图: 当 m=0 时,直线为 x=﹣1,此时直线和平面区域没有公共点, 故 m≠0,x+my+1=0 的斜截式方程为 y= 斜率 k= , x ,

要使直线和平面区域有公共点,则直线 x+my+1=0 的斜率 k>0, 即 k= >0,即 m<0,满足 kCD≤k<kAB,

此时 AB 的斜率 kAB=2, 由 解得 ,即 C(2,1) ,

CD 的斜率 kCD=

= ,



,解得

,即 A(2,4) ,

AD 的斜率 kAD= 即 ≤k≤ , 则 ≤ ≤ ,

= ,

解得﹣3≤m≤﹣ , 故选:D.

点评: 本题主要考查线性规划以及斜率的应用,利用数形结合是解决本题的关键.

8. (5 分) (理)已知圆心为 O,半径为 1 的圆上有不同的三个点 A、B、C,其中 存在实数 λ,μ 满足 A.λ +μ =1
2 2



,则实数 λ,μ 的关系为() B. C.λμ=1 D.λ+μ=1

考点: 平面向量数量积的运算;平面向量的基本定理及其意义. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由题意可得| |=| |=| |=| |=1, 且 |=| |=1,且 ﹣μ , 再把 .
2 2

=﹣λ

﹣μ

, 平方可得结论.

解答: 解:由题意可得| ∵ ,即

=﹣λ

,平方可得 1=λ +μ ,

故选:A. 点评: 本题主要考查圆的定义及向量的模及其数量积运算, 还考查了向量与实数的转化. 在 向量的加, 减, 数乘和数量积运算中, 数量积的结果是实数, 所以考查应用较多, 属于基础题.

9. (5 分)已知抛物线 y =8x 的准线与双曲线

2



=1(a>0,b>0)相交于 A、B 两点,

双曲线的一条渐近线方程是 y= 双曲线的标准方程是() A. ﹣ =1 B. ﹣

x,点 F 是抛物线的焦点,且△ FAB 是等边三角形,则该

=1

C.



=1

D.



=1

考点: 双曲线的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由题意已知抛物线 y =8x 的准线与双曲线
2



=1 相交于 A, B 两点, 点 F 是抛物

线的焦点,且△ FAB 是等边三角形,由圆锥曲线的对称性和等边三角形的性质可求得 A,B 的坐标分别为(﹣2,± ) ,将此点代入双曲线方程,得 a,b 的一个方程,再由渐近线方

程,又得 a,b 的一个方程,联立即可求得 a,b 的值,即可得到双曲线的标准方程. 2 解答: 解:由题意可得抛物线 y =8x 的准线为 x=﹣2,焦点坐标是(2,0) , 又抛物线 y =8x 的准线与双曲线
2



=1 相交于 A,B 两点,又△ FAB 是等边三角形,

则有 A,B 两点关于 x 轴对称,横坐标是﹣2,纵坐标是 4tan30°与﹣4tan30°, 将坐标(﹣2,± )代入双曲线方程得 ﹣ =1,①

又双曲线的一条渐近线方程是 y= 由①②解得 a= ,b=4. ﹣ =1.

x,得 =

,②

所以双曲线的方程是

故选 D. 点评: 本题考查圆锥曲线的综合,解题的关键是根据两个圆锥曲线本身的对称性及抛物线 y =8x 的性质求出 A,B 的坐标,得到关于参数 a,b 的方程,做题时一定要注意从图形上挖 掘出有价值的线索来. 10. (5 分)对于函数 f(x)=ae ﹣x,若存在实数 m、n,使得 f(x)≤0 的解集为(m<n) , 则实数 a 的取值范围是() A.(﹣∞,0)∪(0, ) D.(0, ] B.(﹣∞,0)∪(0, ] C. (0, )
x 2

考点: 其他不等式的解法. 专题: 计算题;函数的性质及应用;导数的综合应用;不等式的解法及应用. x 分析: 转化 ae ≤x,为 a 的不等式,求出表达式的最大值,以及单调区间,即可得到 a 的取 值范围. 解答: 解:ae ≤x(e 是自然对数的底数) ,转化为 a≤ 令 y= ,
x



则 y′=

,令 y′=0,可得 x=1,

当 x>1 时,y′<0,函数 y 递减;当 x<1 时,y′>0,函数 y 递增. 则当 x=1 时函数 y 取得最大值 , 由于存在实数 m、n,使得 f(x)≤0 的解集为, 则由右边函数 y= 故选 C. 的图象可得 a 的取值范围为(0, ) .

点评: 本题考查函数的导数的最值的应用,考查转化思想与计算能力. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在题中横线上. 11. (5 分)为了解某校教师使用多媒体辅助教学的情况,采用简单随机抽样的方法,从该校 200 名授课教师中抽取 20 名教师,调查了解他们上学期使用多媒体辅助教学的次数,结果用 茎叶图表示(如图) ,据此可估计该校上学期 200 名教师中,使用多媒体辅助教学不少于 30 次的教师人数为 90.

考点: 茎叶图. 专题: 概率与统计. 分析: 根据样本中使用多媒体辅助教学不少于 30 次的频率, 估计该校上学期 200 名教师中, 使用多媒体辅助教学不少于 30 次的教师人数. 解答: 解:根据题意,得;

样本容量为 20 时,使用多媒体辅助教学不少于 30 次的教师人数为 9,∴频率为



由此估计该校上学期 200 名教师中,使用多媒体辅助教学不少于 30 次的教师人数为 200× =90.

故答案为:90. 点评: 本题考查了根据样本的频率估计总体的频率以及求对应的频数的应用问题,是基础 题目. 12. (5 分)执行如图所示的程序,则输出的结果为 24.

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 Z 的值, 模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案. 解答: 解:第一次执行循环体后,z=2, 满足继续循环的条件,x=2,y=4; 再次执行循环体后,z=6,满足继续循环的条件,x=5,y=7; 再次执行循环体后,z=12,满足继续循环的条件,x=8,y=10; 再次执行循环体后,z=18,满足继续循环的条件,x=11,y=13; 再次执行循环体后,z=24,不满足继续循环的条件, 故输出的结果为:24, 故答案为:24. 点评: 本题考查的知识点是程序框图,当循环的次数不多,或有规律时,常采用模拟循环 的方法解答. 13. (5 分)等差数列{an}中,a4=6,则 2a1﹣a5+a11=12. 考点: 等差数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 利用等差数列的定义计算即可. 解答: 解:等差数列{an}中,a4=6, ∴a1+3d=6, 则 2a1﹣a5+a11=2a1﹣(a1+4d)+a1+10d=2(a1+3d)=12.

故填 12. 点评: 本题主要考查等差数列的定义与基本计算能力.
2 2

14. (5 分)已知 a,b 为正实数,直线 x+y+a=0 与圆(x﹣b) +(y﹣1) =2 相切,则 值范围是(0,+∞) .

的取

考点: 圆的切线方程. 专题: 函数的性质及应用;导数的综合应用;直线与圆. 2 2 分析: 利用直线 x+y+a=0 与圆(x﹣b) +(y﹣1) =2 相切可得|a+b+1|=2,即 b=1﹣a,从 而可得 0<a<1,0<b<1, = ,构造函数 f(a)= , (0<a<1) ,借助导数即可

求出 f(a) 的范围,即

的取值范围.
2 2

解答: 解:∵直线 x+y+a=0 与圆(x﹣b) +(y﹣1) =2 相切, ∴圆心到直线的距离 d= 即|a+b+1|=2, ∴a+b=1,或 a+b=﹣3 ∵a,b 为正实数 ∴a+b=﹣3(舍去) , 即 b=1﹣a, ∴0<a<1,0<b<1, = , = ,

构造函数 f(a)=

, (0<a<1) ,

则 f′(a)=
2

=



∵当 0<a<1 时,2a﹣a >0,即 f′(a)>0, ∴f(a)在(0,1)上是增函数, ∴0<f(a)<1, 则 的取值范围是(0,+∞) .

故答案为: (0,+∞) . 点评: 本题考查直线与圆的位置关系、不等式的性质和导数在研究函数中的应用等知识, 属于中档题.

15. (5 分)对于函数 f(x)=

,给出下列结论:

①等式 f(﹣x)+f(x)=0 在 x∈R 时恒成立;

②函数 f(x)的值域为(﹣1,1) ③函数 g(x)=f(x)﹣x 在 R 上有三个零点; ④若 x1≠x2,则 >0

⑤若 x1<x2,则 其中所有正确结论的序号为①②④. 考点: 根的存在性及根的个数判断;函数奇偶性的判断. 专题: 计算题;作图题;函数的性质及应用. 分析: f(x)= ,f(﹣x)= ;从而可得 f(﹣x)+f(x)=0 在 x∈R 时恒成立;

f(x)=

=

,从而可求得﹣1<f(x)<1;g(x)=f(x)﹣

x=

,从而 可知函数 g(x)=f(x)﹣x 在 R 上有一个零点;化简 f(x)

=

=

,从而可判断 f(x)在 R 上是增函数,故若 x1≠x2,则

>0;作函数 f(x)=

=

的图象,由图象判断

即可. 解答: 解:f(x)= ,f(﹣x)= ;

故等式 f(﹣x)+f(x)=0 在 x∈R 时恒成立,故①成立;

f(x)=

=



故﹣1<f(x)<1, 故函数 f(x)的值域为(﹣1,1) ,故②成立;

g(x)=f(x)﹣x=



故函数 g(x)=f(x)﹣x 在 R 上有一个零点,故③不成立;

∵f(x)=

=



故可判断 f(x)在 R 上是增函数, 故若 x1≠x2,则 故④成立; >0,

作函数 f(x)=

=

的图象如下,

若 0<x1<x2,则



若 x1<x2<0,则

>f(

) .

故⑤不成立. 故答案为:①②④. 点评: 本题考查了分段函数的应用及数形结合的思想的应用,属于中档题. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 2 16. (12 分) 在△ ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, ( f x) =sin2xcosB﹣2cos xsinB+sinB, x∈R,函数 f(x)的图象关于直线 (Ⅰ)当 对称.

时,求函数 f(x)的最大值并求相应的 x 的值;

(Ⅱ)若 b=3 且

,求△ ABC 的面积.

考点: 三角函数中的恒等变换应用;正弦定理;余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 首先利用二倍角公式及两角差的正弦化简. (Ⅰ)把 合 代入,得 ,解得 B,再由角 B 的范围求出具体角 B,结

求得函数 f(x)的最大值并求相应的 x 的值;

(Ⅱ)由正弦定理及和比定理结合已知求得 a+c,结合余弦定理求得 ac= ,代入三角形面积 公式求△ ABC 的面积. 2 解答: 解:f(x)=sin2xcosB﹣2cos xsinB+sinB=sin2xcosB﹣(1+cos2x)sinB+sinB=sin(2x ﹣B) . (Ⅰ)由函数 f (x)的图象关于直线 (k∈Z) , 又 B∈(0,π) ,∴当 k=0 时,B= 当 于 是当 时, ,即 x= ; , 时,函数 f(x)的最大值为 1; = , 对称,知 ,解得 B=﹣kπ

(Ⅱ)由正弦定理得


2 2

,得
2 2 2


2

由余弦定理得 b =a +c ﹣2accosB= a +c ﹣ac=(a+c) ﹣3ac, 解得 ac= , 于是△ ABC 的面积为 .

点评: 本题考查三角函数中的恒等变换应用,考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的 应用,是中档题. 17. (12 分)PM2.5 是指空气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物(也称可入肺颗粒物) .为了 探究车流量与 PM2.5 的浓度是否相关, 现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与 PM2.5 的数据如下表: 时间 周一 周二 周三 周四 周五 车流量 x(万辆) 50 51 54 57 58 P M2.5 的浓度 y(微克/立方米) 69 70 74 78 79

(Ⅰ)根据上表数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程



(Ⅱ) 若周六同一时间段车流量是 25 万辆, 试根据 (Ⅰ) 求出的线性回归方程预测, 此时 PM2.5 的浓度为多少(保留整数)?

(参考公式:

,参考数据:



考点: 线性回归方程. 专题: 应用题;概率与统计. 分析: (Ⅰ)根据公式求出 b,a,可写出线性回归方程; (Ⅱ)根据(Ⅰ)的性回归方程,代入 x=25 求出 PM2.5 的浓度. 解答: 解: (Ⅰ)由条件可知 = (50+51+54+57+58)=54, = (69+70+74+78+79)=74

=4×5+3×4+3×4+4×5=64,

=50,

∴b=

=1.28,a=74﹣1.28×54=4.88,

故 y 关于 x 的线性回归方程是:y=1.28x+4.88; (Ⅱ)当 x=25 时,y=1.28×25+4.88=36.88≈37, ∴可以预测此时 PM2.5 的浓度约为 37. 点评: 本题主要考查了线性回归分析的方法,包括用最小二乘法求参数,以及用回归方程 进行预测等知识,考查了考生数据处理和运算能力.
*

18. (12 分)已知数列{an}和{bn}对任意的 n∈N 满足 数列,且 a1=1,b2=b1+2. (Ⅰ)求数列{an}和{bn}的通项公式; (Ⅱ)设 cn= ,求数列{cn}的前 n 项和 Sn.

,若数列{an}是等比

考点: 数列的求和;数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)由条件可知 a2, =1,解得 b1=1,可得 b2=3.由 a1a2= =3,解得

又数列{an}是等比数列,则公比为 即可得出 bn. (Ⅱ)由题意得 cn= ﹣ =

,即可得出 an ,又

=3

0+1+2+…+(n﹣1)





=

﹣2

,利用等比数列的

前 n 项和公式、“裂项求和”即可得出. 解答: 解: (Ⅰ)由条件可知 ∴b2=b1+2=3. ∴a1a2= =3,解得 a2=3, =3, =1,解得 b1=1,

又数列{an}是等比数列,则公比为 于是 an=3 又∴ ∴bn﹣n= 解得 bn= , . ﹣ =
n﹣1

, =3
0+1+2+…+(n﹣1)

=



(Ⅱ)由题意得 cn=



=

﹣2



∴Sn=

﹣2

+…+

= = ﹣

﹣2 ﹣ .

点评: 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式、“裂项求和”、指数运 算性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 19. (13 分)如图,在多面体 ABC﹣A1B1C1 中,四边形 ABB1A1 是正方形,△ A1CB 是等边 三角形,AC=AB=1,B1C1∥BC,BC=2B1C1 (Ⅰ)求证:AB1∥平面 A1C1C (Ⅱ)求多面体 ABC﹣A1B1C1 的体积.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定. 专题: 综合题;空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ)取 BC 的中点 E,证明四边形 CEB1C1 为平行四边形,可得 B1E∥C1C,从而 可得 B1E∥面 A1C1C, 再证明 AE∥面 A1C1C, 利用面面平行的判定, 可得面 B1AE∥面 A1C1C, 从而可得 AB1∥面 A1C1C; (Ⅱ)先证明 CD⊥平面 ADC1A1,于是多面体 ABC﹣A1B1C1 是由直三棱柱 ABD﹣A1B1C1 和四棱锥 C﹣ADC1A1 组成的,即可得出结论. 解答: (Ⅰ)证明:取 BC 的中点 E,连接 AE,C1E,B1E ∵B1C1∥BC,B1C1= BC,∴B1C1∥EC,B1C1=EC ∴四边形 CEB1C1 为平行四边形,∴B1E∥C1C ∵C1C?面 A1C1C,B1E?面 A1C1C,∴B1E∥面 A1C1C…(8 分) ∵B1C1∥BC,B1C1= BC,∴B1C1∥BE,B1C1=BE ∴四边形 BB1C1E 为平行四边形,∴B1B∥C1E,且 B1B=C1E 又∵ABB1A1 是正方形,∴A1A∥C1E,且 A1A=C1E ∴AEC1A1 为平行四边形,∴AE∥A1C1, ∵A1C1?面 A1C1C,AE?面 A1C1C,∴AE∥面 A1C1C…(10 分) ∵AE∩B1E=E,∴面 B1AE∥面 A1C1C ∵AB1?面 B1AE,∴AB1∥面 A1C1C; (Ⅱ)在正方形 ABB1A1 中,AB1= ,又△ A1BC 是等边三角形, ∴A1C=BC= , 2 2 2 2 2 2 ∴AC +AA1 =A1C ,AB +AC =BC , 于是 AA1⊥AC,AC⊥AB, 又 AA1⊥AB,∴AA1⊥平面 ABC, ∴AA1⊥CD, 又 CD⊥AD,AD∩AA1=A, ∴CD⊥平面 ADC1A1, 于是多面体 ABC﹣A1B1C1 是由直三棱柱 ABD﹣A1B1C1 和四棱锥 C﹣ADC1A1 组成的. 又直三棱柱 ABD﹣A1B1C1 的体积为 四棱锥 C﹣ADC1A1 的体积为 = , ,

故多面体 ABC﹣A1B1C1 的体积为

.…(13 分)

点评: 本题考查线面垂直,考查线面平行,考查多面体 ABC﹣A1B1C1 的体积,解题的关键 是掌握线面垂直的判定方法,正确运用面面平行判断线面平行,属于中档题. 20. (13 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知对于任意实数 k,直线 点为 F,且椭圆 C 上的点到 F 的最大距离为 (1)求椭圆 C 的方程; 2 2 2 (2)设(m,n)是椭圆 C 上的任意一点,圆 O:x +y =r (r>0)与椭圆 C 有 4 个相异公共 点,试分别判断圆 O 与直线 l1:mx+ny=1 和 l2:mx+ny=4 的位置关系 . 考点: 椭圆的标准方程;直线和圆的方程的应用. 专题: 综合题. 分析: (1)先将 转化为 进而可求得 F 的坐标得到 c 的值 ,再由 a+c= 可求出 a 的值,进而可得 b 的值,确定椭圆方程. 2 2 2 (2)先根据 x +y =r (r>0)与椭圆 C 有 4 个相异公共点确定 r 的范围,再由(m,n)在椭 圆 C 上可得到 和 m 的范围, 圆心 O 到直线 l1 的距离和圆心 O 到直线 l2 的距离可判 恒过定点 F.设椭圆 C 的中心在原点,一个焦 .

断直线 l1 与 l2 与圆 O 的关系. 解答: 解: (1) , 解 得 .

设椭圆 C 的长轴长、短轴长、焦距分别为 2a,2b,2c, 则由题设,知 于是 a=2,b =1.
2

所以椭圆 C 的方程为
2 2 2



(2)因为圆 O:x +y =r (r>0)与椭圆 C 有 4 个相异公共点, 所以 b<r<a,即 1<r<2.

因为点(m,n)是椭圆 所以 所以

上的点, . .

于是圆心 O 到直线 l1 的距离



圆心 O 到直线 l2 的距离



故直线 l1 与圆 O 相交,直线 l2 与圆 O 相离. 点评: 本题主要考查椭圆的基本性质和直线与圆的位置关系. 21. (13 分)设函数 f(x)=lnx, (Ⅰ)当 a=1 时,求函数 g(x)的单调区间; (Ⅱ)若对任意 恒成立,求实数 a 的最小值. .

考点: 利用导数研究函数的单调性;函数恒成立问题. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)先求导,根据导数和函数单调性的关系即可得出; (2)对于恒成立的问题,分离参数,构造函数,求出函数的最值即可. 解答: 解: (1)g(x)的定义域为(0,+∞) , 当 a=1 时,g(x)=x﹣1﹣2lnx, ∴g′(x)=1﹣ = ,

当 x∈(0,2)时,g′(x)<0,g(x)单调递减, 当 x∈(2,+∞)时,g'(x)>0,g(x)单调递增, 综上,g(x)的单调递增区间为(2,+∞) ,单调递减区间为(0,2) , (2)由题意知: (2﹣a) (x﹣1)﹣2lnx>0,在 即(a﹣2) (1﹣x)>2lnx 在区间 又 1﹣x>0, ∴ 设 在区间 , 上恒成立, , 上恒成立, 上恒成立,



又令





当 ∴ 即 h'(x)>0 在 所以 h(x)在

时,m'(x)<0,m(x)单调递减, , 恒成立, 单调递增,





故 a≥2﹣4l n2, 所以实数 a 的最小值为 2﹣4ln2. 点评: 本题主要考查了函数导数与单调性,主要是利用导数研究函数的单调性等基础知识, 考查计算能力和分析问题的能力,以及分类讨论思想,属于中档题.


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