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2013理数全国I


2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 (全国新课标卷 I)
第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2013 课标全国Ⅰ,理 1)已知集合 A={x|x -2x>0},B={x|- 5 <x< 5 },则( A.A∩B= B.A∪B=R C.B ? A D.A ? B 2

.(2013 课标全国Ⅰ,理 2)若复数 z 满足(3-4i)z=|4+3i|,则 z 的虚部为( ).
2

9.(2013 课标全国Ⅰ,理 9)设 m 为正整数,(x+y) 展开式的二项式系数的最大值为 a,(x+y) 系数的最大值为 b.若 13a=7b,则 m=( ). A.5 B.6 C.7 D.8 10.(2013 课标全国Ⅰ,理 10)已知椭圆 E:
2 2 2 2

2m

2m+1

展开式的二项式

).

x2 y2 ? =1 (a>b>0)的右焦点为 F(3,0),过点 F 的直线交 E 于 A,B a 2 b2
).
2

两点.若 AB 的中点坐标为(1,-1),则 E 的方程为(

A.-4 C.4 3. (2013 课标全国Ⅰ, 理 3)为了解某地区的中小学生的视力情况, 拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查, 事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.在下面 的抽样方法中,最合理的抽样方法是( ). A.简单随机抽样 B.按性别分层抽样 C.按学段分层抽样 D.系统抽样

4 B. 5 ?

4 D. 5

x y ? =1 A. 45 36

x y ? =1 B. 36 27

x y2 ? =1 C. 27 18

x2 y2 ? =1 D. 18 9
若|f(x)|≥ax,则 a 的取值范围是( ).

11.(2013 课标全国Ⅰ,理 11)已知函数 f(x)= ?

?? x 2 ? 2 x,x ? 0, ?ln( x ? 1),x ? 0.

A.(-∞,0] B.(-∞,1] C.[-2,1] D.[-2,0] 12.(2013 课标全国Ⅰ,理 12)设△AnBnCn 的三边长分别为 an,bn,cn,△AnBnCn 的面积为 Sn,n=1,2,3,….若 b1>c1,

x2 y2 5 4. (2013 课标全国Ⅰ, 理 4)已知双曲线 C: 2 ? 2 =1 (a>0, b>0)的离心率为 , a b 2
渐近线方程为( ).

b1+c1=2a1,an+1=an,bn+1=

则C的

cn ? a n b ? an ,cn+1= n ,则( 2 2

).

A.{Sn}为递减数列 C.{S2n-1}为递增数列,{S2n}为递减数列

B.{Sn}为递增数列 D.{S2n-1}为递减数列,{S2n}为递增数列

1 ? x A.y= 4

1 ? x B.y= 3

1 x C.y= 2 ?

第Ⅱ卷
D.y=±x 的s属 本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须做答.第(22)题~第(24)题 为选考题,考生根据要求做答.

5.(2013 课标全国Ⅰ,理 5)执行下面的程序框图,如果输入的 t∈[-1,3],则输出 于( ).

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.
13.(2013 课标全国Ⅰ,理 13)已知两个单位向量 a,b 的夹角为 60°,c=ta+(1-t)b.若 b?c=0,则 t= __________. 14.(2013 课标全国Ⅰ,理 14)若数列{an}的前 n 项和 15.(2013 课标全国Ⅰ,理 15)设当 x=θ 时,函数 f(x)=sin x-2cos x 取得最大值,则 cos θ =__________. 16.(2013 课标全国Ⅰ,理 16)若函数 f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图像关于直线 x=-2 对称,则 f(x)的最大 值为__________.

A.[-3,4] B.[-5,2] C.[-4,3] D.[-2,5] 6.(2013 课标全国Ⅰ,理 6)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高 8 cm,将一个球放在容器口, 再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm,如果不计容器的厚度,则球的体积 为( ).

Sn ?

2 1 an ? 3 3 ,则{an}的通项公式是 an=_______.

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(2013 课标全国Ⅰ,理 17)(本小题满分 12 分)如图,在△ABC 中,∠ABC=90°,AB= 3 ,BC=1,P 为△ABC 内一点,∠BPC=90°. (1)若 PB=

500π A. 3 cm3 1372 π C. 3 cm3

866π B. 3 cm3 2048 π D. 3 cm3
). 几何体的

1 ,求 PA; 2

(2)若∠APB=150°,求 tan∠PBA.

7.(2013 课标全国Ⅰ,理 7)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则 m=( A.3 B.4 C.5 D.6 8.(2013 课标全国Ⅰ,理 8)某几何体的三视图如图所示,则该 体积为( ). A.16+8π B.8+8π C.16+16π D.8+16π

2013

全国新课标卷 1 理科数学

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18.(2013 课标全国Ⅰ,理 18)(本小题满分 12 分)如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°. (1)证明:AB⊥A1C; (2)若平面 ABC⊥平面 AA1B1B,AB=CB,求直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值.

23.(2013 课标全国Ⅰ,理 23)(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 4 ? 5cos t , (t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲 ? y ? 5 ? 5sin t

线 C2 的极坐标方程为 ρ =2sin θ . (1)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (2)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ ≥0,0≤θ <2π ).

19.(2013 课标全国Ⅰ,理 19)(本小题满分 12 分)一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取 4 件作检验,这 4 件产品中优质品的件数记为 n.如果 n=3,再从这批产品中任取 4 件作检验,若都为优质品,则这 批产品通过检验;如果 n=4,再从这批产品中任取 1 件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下, 这批产品都不能通过检验. 假设这批产品的优质品率为 50%,即取出的每件产品是优质品的概率都为

24. (2013 课标全国Ⅰ, 理 24)(本小题满分 10 分)选修 4—5: 不等式选讲: 已知函数 f(x)=|2x-1|+|2x+a|, g(x) =x+3. (1)当 a=-2 时,求不等式 f(x)<g(x)的解集; (2)设 a>-1,且当 x∈ ? ?

1 ,且各件产品是否为优质品相互独立. 2

? a 1? , ? 时,f(x)≤g(x),求 a 的取值范围. ? 2 2?

(1)求这批产品通过检验的概率; (2)已知每件产品的检验费用为 100 元, 且抽取的每件产品都需要检验, 对这批产品作质量检验所需的费用记为 X(单 位:元),求 X 的分布列及数学期望. 20.(2013 课标全国Ⅰ,理 20)(本小题满分 12 分)已知圆 M:(x+1) +y =1,圆 N:(x-1) +y =9,动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切,圆心 P 的轨迹为曲线 C. (1)求 C 的方程; (2)l 是与圆 P,圆 M 都相切的一条直线,l 与曲线 C 交于 A,B 两点,当圆 P 的半径最长时,求|AB|. 21.(2013 课标全国Ⅰ,理 21)(本小题满分 12 分)设函数 f(x)=x +ax+b,g(x)=e (cx+d).若曲线 y=f(x)和曲 线 y=g(x)都过点 P(0,2),且在点 P 处有相同的切线 y=4x+2. (1)求 a,b,c,d 的值; (2)若 x≥-2 时,f(x)≤kg(x),求 k 的取值范围. 请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题 目计分,做答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22.(2013 课标全国Ⅰ,理 22)(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,直线 AB 为圆的切线,切点为 B,点 C 在圆上,∠ABC 的角平分线 BE 交圆于点 E,DB 垂直 BE 交圆于点 D. (1)证明:DB=DC; (2)设圆的半径为 1,BC= 3 ,延长 CE 交 AB 于点 F,求△BCF 外接圆的半径.
2 2 2 2 2

x

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全国新课标卷 1 理科数学

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