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证明不等式的基本方法


第二讲 证明不等式的基本方法

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1.比较法 (1)比差法的依据是:a-b>0?a>b.步骤是:作差→变形→判断 差的符号.变形是手段,变形的目的是判断差的符号,常用的 变形方法有:配方法?通分?因式分解等,变形到可判断符号

r />
为止.
A (2)比商法:若B>0,欲证A≥B,只需证 ≥1,其步骤是:作商→变 B

形→判断商值与1的大小.

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2.直接证明中最基本的两种证明方法是综合法和分析法 (1)综合法 ①定义:利用已知条件和某些数学定义?公理?定理等,经过一

系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立.
②框图表示:

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(2)分析法 ①定义:从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件, 直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条

件(已知条件?定理?定义?公理等)为止.
②框图表示:

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3.反证法的证明步骤 第一步 作出与所证不等式相反的假设; 第二步 从条件和假设出发,应用正确的推理方法,推出矛盾的

结论,否定假设,从而证明原不等式成立.
在证明不等式时,有时我们要把所证不等式的一边适当地放 大(或缩小)以利化简,并使它与不等式的另一边的不等关系 更为明显,从而得到欲证不等式成立,这种方法称为放缩法.

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考点陪练 1.已知a<0,-1<b<0,则( A.a>ab>ab2 C.ab>a>ab2 答案:D )

B.ab2>ab>a D.ab>ab2>a

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2.要证明 ) A.综合法 C.分析法

3 ? 7 ? 2 5, 下列证明方法中,最为合理的是(
B.归纳法 D.反证法

答案:C

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3.已知a+b+c>0,ab+bc+ac>0,abc>0,用反证法求证 a>0,b>0,c>0时的反设为( A.a<0,b<0,c<0 C.a、b、c不全是正数 ) B.a≤0,b>0,c>0 D.abc<0

答案:C

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4.设a、b ? ? 0, ?? ? , 且ab ? a ? b ? 1, 则有( ; A.a ? b≥2( 2 ? 1) C.a ? b ? 2 ? 1 B.a ? b≤ 2 ? 1

)

D.a ? b ? 2( 2 ? 1)
2

? a?b? 解析 : ? ab ? a ? b≥1,?1 ? a ? b≤ab≤ ? ? . ? 2 ? t2 令a ? b ? t ? t ? 0 ? , 则1 ? t≤ (t ? 0). 4 解得t≥2( 2 ? 1), 则a ? b≥2( 2 ? 1).
答案:A

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1 1 5.已知a, b, x, y均为正实数, 且 ? , x ? y, a b x y 则 与 的大小关系为 ________ . x?a y?b

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x y bx ? ay 解析 : ? ? . x ? a y ? b ( x ? a )( y ? b) 1 1 由 ? ? 0, 得b ? a ? 0, 又x ? y ? 0, a b bx ? ay 所以bx ? ay, 所以 ? 0, ( x ? a )( y ? b) x y 所以 ? . x?a y ?b x y 答案 : ? x?a y ?b
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类型一

用比较法证明不等式

解题准备:比较法证明不等式最常用的是差值比较法,其基本 步骤是:①作差;②变形;③判断差的符号;④下结论.其中“ 变形”是证明的关键,一般通过因式分解或配方将差变形

为几个因式的积或配成几个平方和的形式,当差是二次三
项式时,有时亦可用判别式来判断符号.

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【典例1】设a, b为实数, 0 ? n ? 1, 0 ? m ? 1, m ? n ? 1, a 2 b2 求证 : ? ≥(a ? b) 2 . m n
2 2 2 2 a 2 b2 na ? mb nm ( a ? 2 ab ? b ) 2 [证明]? ? ? (a ? b) ? ? m n mn mn na 2 (1 ? m) ? mb 2 (1 ? n) ? 2mnab n 2 a 2 ? m 2b 2 ? 2mnab ? ≥ mn mn (na ? mb) 2 ? ≥0, mn a 2 b2 2 ? 不等式 ? ≥ ? a ? b ? 成立. m n

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类型二

用综合法证明不等式

解题准备:利用综合法证明不等式时,应注意对已证不等式的 使用,常用的不等式有: (1)a2≥0;

(2)|a|≥0;
(3)a2+b2≥2ab;它的变形形式有

a2+b2≥2|ab|;a2+b2≥-2ab;(a+b)2≥4ab;

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1 2 a ?b ? a?b ? a ? b ≥ ?a ? b? ; ≥? ? ; 2 2 ? 2 ? a?b a b (4) ≥ ab ; 它的变形形式有 ? ≥2 ? ab ? 0 ? ; 2 b a a b ? ≤ ? 2 ? ab ? 0 ? . b a
2 2 2 2

2

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【典例2】已知a、b ? ? 0, ?? ? , 且a ? b ? 1, 求证 : 1 1 1 (1) ? ? ≥8; a b ab 1 2 2 ? 2? a ? b ≥ ; 2 1 1 (3) 2 ? 2 ≥8; a b 1? ? 1? 25 ? (4) ? a ? ? ? ? b ? ? ≤ . a? ? b? 2 ?
2 2

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[分析]以上四个不等式的左边都含有(或隐含有) 1 ab或 ,因此只要利用a ? b ? 1得出ab及 ab 1 的范围, 就能够证出以上四个不等式. ab ?a ? b [证明由 ] ? ≥ aba ? b ? 1a b ? (0, ??) , ` ? 2 1 1 1 得 ab≤ ? ab≤ ? ≥4. 2 4 ab

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1 1 1 ?1 1? 1 ?1? ? ? ? ? (a ? b) ? ? ? ? ≥2 ab ? a b ab ? a b ? ab 1 2 ? 4 ? 4 ? 4 ? 8, ab 1 当且仅当a ? b ? 时, 等号成立. 2 1 1 1 ? ? ? ≥8. a b ab 1 1 ? 2 ? ? a ? b ? ? a ? b ? ? 2ab ? 1 ? 2ab≥1 ? 2 ? ? , 4 2 1 2 2 ?a ? b ≥ . 2
2 2 2
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1 1 2 1 ? 3? ? 2 ? 2 ≥ ≥8当且仅当a ? b= 时, 等号成立. a b ab 2 1 1 ? 2 ? 2 ≥8. a b 1? ? 1? ? ? 4 ?由? 2 ? ?? 3?的结论, 知 ? a ? ? ? ? b ? ? a? ? b? ? 1 1 1 25 2 2 ? a ?b ? 4? 2 ? 2 ≥ ? 4?8 ? , a b 2 2 1 当且仅当a ? b ? 时, 等号成立. 2 1? ? 1? 25 ? ?? a ? ? ? ? b ? ? ≥ . a? ? b? 2 ?
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2

2

2

2

[反思感悟] 综合法一般是分析法的逆过程,表述简单,条理清 晰,所以在解决具体问题时,常把分析法和综合法结合起来 使用.

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类型三

用分析法证明不等式

解题准备:用分析法证“若A则B”形式的命题的模式是:为了 证明命题B为真,只需证明命题B1为真,从而有??. 只需证明命题B2为真,从而有??.

??
只需证明命题A为真,而已知A为真,故B必真.

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【典例3】已知a ? b ? c, 且a ? b ? c ? 0, 求证 : b 2 ? ac ? 3a. [证明]要证 b 2 ? ac ? 3a, 只需证b 2 ? ac ? 3a 2 , ? a ? b ? c ? 0, 只需证b 2 ? a ? a ? b ? ? 3a 2 , 只需证2a 2 ? ab ? b 2 ? 0, 只需证 ? a ? b ?? 2a ? b ? ? 0, 只需证 ? a ? b ?? a ? c ? ? 0.? a ? b ? c, ? a ? b ? 0, a ? c ? 0.? ? a ? b ?? a ? c ? ? 0, 显然成立, 故原不等式成立.

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[反思感悟] 分析法与综合法常常联合使用,实际上是以分析 法为主,借助综合法,使证明的问题明朗化,此种方法称为分 析综合法.分析综合法的实质是既充分利用已知条件,又时 刻不忘解题目标,即不仅要搞清已知什么,还要搞清干什么. 兼顾条件与结论,便于找到解题途径.

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类型四

用放缩法证明不等式

解题准备:放缩法证明不等式时,常见的放缩依据或技巧是不 等式的传递性.缩小分母?扩大分子,分式值增大;缩小分子? 扩大分母,分式值减小;全量不少于部分;每一次缩小其和变

小,但需大于所求;每一次扩大其和变大,但需小于所求,即
不能放缩不够或放缩过头,同时放缩有时需便于求和.

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3 1 1 1 1 1 【典例4】求证 : ? ? 1? 2 ? 2 ??? 2 ? 2 ? 2 n ?1 2 3 n n ? n ? 2, n ? N? ? .
[分析] 欲证的式子中间是一个和的形式,但我们还不能利用 求和公式或其他办法求,可以将分母适当放大或缩小成可以 求和的形式,进而求和.

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[证明]? k ? k ? 1? ? k 2 ? k ? k ? 1? , k≥2, 1 1 1 ? ? 2? . k (k ? 1) k k (k ? 1) 1 1 1 1 1 即 ? ? 2? ? , k k ?1 k k ?1 k 1 1 1 1 分别令k ? 2,3, ?, n得 ? ? 2 ? 1 ? ; 2 3 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? 2 ? ? ;? ? ? 2? ? ; 3 4 3 2 3 n n ?1 n n ?1 n

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1 1 1 1 将上述不等式相加得 : ? ? ? ? ? 2 3 3 4 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? 2 ? 2 ? ?? 2 ? 1? ? ? ? ? n n ?1 2 3 n 2 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ,即 ? ? 2 ? 2 ?? ? 2 ? 1? , n ?1 n 2 n ?1 2 3 n n 3 1 1 1 1 1 ? ? ? 1? 2 ? 2 ??? 2 ? 2 ? . 2 n ?1 2 3 n n

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[反思感悟] 利用放缩法证明不等式,就是舍掉式中一些正项 或负项,或者在分式中放大或缩小分子?分母,还可把和式中 各项或某项换以较大或较小的数,从而达到证明不等式的 目的.

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错源一

重要不等式使用不当致误

【典例1】已知a, b,c ? R ? , 且a ? b ? c ? 1, 求 3a ? 1 ? 3b ? 1 ? 3c ? 1的最大值.

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[剖析] 解本题时既可以通过对所求式平方后使用均值不等 式,也可以直接使用柯西不等式.在使用均值不等式时可能 错误地使用三个正数的均值不等式,对已知式进行立方;在 使用柯西不等式时,用错柯西不等式或是构造柯西不等式 使用形式时出现错误,如把柯西不等式其中一端的平方漏 掉等.

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[正解]解法一 : 用均值不等式( 3a ? 1 ? 3b ? 1 ? 3c ? 1) 2 ? (3a ? 1) ? ? 3b ? 1? ? (3c ? 1) ? 2 3a ? 1? 3b ? 1 ? 2 3b ? 1? 3c ? 1 ? 2 3a ? 1? 3c ? 1 ? (3a ? 1) ? ? 3b ? 1? ? (3c ? 1) ? [(3a ? 1) ? ? 3b ? 1? ??? ? 3b ? 1? ? (3c ? 1) ??? (3a ? 1) ? (3c ? 1)] ? 3[(3a ? 1) ? ? 3b ? 1? ? (3c ? 1)] ? 18 ? 3a ? 1 ? 3b ? 1 ? 3c ? 1≤3 2, 所以( 3a ? 1 ? 3b ? 1 ? 3c ? 1) max ? 3 2.

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解法二 : 用柯西不等式( 3a ? 1 ? 3b ? 1 ? 3c ? 1) 2 ? (1? 3a ? 1 ? 1? 3b ? 1 ? 1? 3c ? 1) 2 ≤?12 ? 12 ? 12 ? [( 3a ? 1) 2 ? ( 3b ? 1) 2 ? ( 3c ? 1) 2 ] ?3? ?

?

? ?

??

? ?又 ? ? ?

所以( 3a ? 1 ? 3b ? 1 ? 3c ? 1) 2 ≤18, 所以 3a ? 1 ? 3b ? 1 ? 3c ? 1≤3 2, 即所求的最大值为3 2.

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[评析]重要不等式.均值不等式 :

a1 ? a2 ? ? ? an n



n

a1a2 ?an (a1>0,a2>0,…,an>0),当且仅当a1=a2=…=an时
2 1 2 2 ? a2 ??? an ? (b12 ? b22 ??? bn2 ) (aibi∈R,i=1,2,…,n),当

?a

等号成立;柯西不等式:(a1b1+a2b2+…+anbn)2≤

且仅当a1=a2=…=an=0或bi=kai时(k为常数,i=1,2,…,n)等 号成立.这两个不等式是证明其他不等式和求多元函数值 的有力工具,使用时要注意等号成立的条件.使用柯西不等

式的重要技巧就是通过常数构造使用柯西不等式成立的条
件.

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错源二

忽视柯西不等式中等号成立的条件

【典例2】 已知x≤0,且满足3x+4y=13,求x2+4y2的最小值. [错解] 由柯西不等式可知: (32+22)[x2+(2y)2]≥(3x+4y)2=169. ∴13(x2+4y)2≥169. ∴x2+4y2≥13.

∴x2+4y2的最小值为13.

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[剖析] 本题错误的原因在于应用柯西不等式解题时忽视了 公式中等号成立的条件.事实上等号成立需满足三点:① x≤0;②3x+4y=13;③3×2y=2x,即x=3y.解②③得x=3,显然 不满足x≤0.

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13 ? 3 x [正解]? 3x ? 4y ? 13,? 2y ? , 2 ? 13 ? 3 x ? ? x ? 4y ? x ? ? 2y ? ? x ? ? ? 2 ? ? 13 2 13 ? 13 2 ? ? ? x ? 6x ? 13? ? x ? 3? ? 4 ? ? ? 4 4 4?
2 2 2 2 2 2

? x ? 3?

2

? 13.又 ? x ? 0,
2 2

13 169 2 ?当x ? 0时, ? x ? 4y ? ? ? ? 0 ? 3? ? 13 ? . min 4 4 169 2 2 ? x ? 4y 的最小值为 . 4
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技法 均值不等式法

【典例】已知a, b, c均为正数, ?1 1 1? 证明 : a ? b ? c ? ? ? ? ? ≥6 3 , ?a b c? 并确定a, b, c为何值时, 等号成立.
2 2 2 2

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[解]解法一 : 因为a, b, c均为正数,由均值不等式得 a 2 ? b 2 ? c2≥3 ? abc ? ,
1 ? 1 1 1 ? ? ≥3(abc) 3 , 所以 a b c 2 3



? 1 1 1? ? ? ? ? ≥9(abc) ?a b c?
2 2 2

2

?

2 3


2 2 3 ? 2 3

?1 1 1? 故a ? b ? c ? ? ? ? ? ≥3(abc) ? 9(abc) ?a b c?

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又3(abc) ? 9(abc) ≥2 27 ? 6 3 , ③所以原不等式成立当且仅当 . a ? b ? c时, ①式和②式等号成立当且仅当 . 3(abc) ? 9(abc) 时, ③式等号成立即当且仅当 . a ? b ? c ? 3 时, 原式等号成立.
1 4 2 3 ? 2 3

2 3

?

2 3

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解法二:因为a,b,c均为正数,由基本不等式得 a2+b2≥2ab, b2+c2≥2bc, c2+a2≥2ac. 所以a2+b2+c2≥ab+bc+ac①

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1 1 1 1 1 1 同理 2 ? 2 ? 2 ≥ ? ? ② a b c ab bc ac ?1 1 1? 故a ? b ? c ? ? ? ? ? ?a b c? 1 1 1 ? ab ? bc ? ac ? 3 ? 3 ? 3 ≥6 3.③ bc ab ac 所以原不等式成立当且仅当 . a ? b ? c时,
2 2 2 2

①式和②式等号成立, 当且仅当a ? b ? c,

? ab ?

2

? ? bc ? ? ? ac ? ? 3时,
2 2 1 4

③式等号成立即当且仅当 . a ? b ? c ? 3 时, 原式等号成立.
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