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集合例题


第一章知识点 一、知识结构: 本章知识主要分为集合、简单不等式的解法(集合化简) 、简易逻辑三部

分: 二、知识回顾: (一)集合 1. 基本概念:集合、元素;有限集、无限集;空集、全集;符号的使用. 2. 集合的表示法:列举法、描述法、图形表示法. 3. 集合元素的特征:确定性、互异性、无序性. 4. 集合运算:交、并、补.
交 : A ? B

? { x | x ? A, 且 x ? B} 并 : A ? B ? { x | x ? A或 x ? B } 补 : C U A ? { x ? U , 且 x ? A}

5. 主要性质和运算律 (1) 包含关系:
A ? A, ? ? A, A ? U , C U A ? U , A ? B , B ? C ? A ? C ; A ? B ? A, A ? B ? B ; A ? B ? A, A ? B ? B .

(2) 等价关系: A ? B ? A ? B ? A ? A ? B ? B ? C U A ? B ? U (3) 集合的运算律: 交换律: A ? B ? B ? A ; A ? B ? B ? A. 结合律: ( A ? B ) ? C ? A ? ( B ? C ); ( A ? B ) ? C ? A ? ( B ? C ) 分配律:. A ? ( B ? C ) ? ( A ? B ) ? ( A ? C ); A ? ( B ? C ) ? ( A ? B ) ? ( A ? C ) 0-1 律: ? ? A ? ? , ? ? A ? A , U ? A ? A , U ? A ? U 等幂律: A ? A ? A , A ? A ? A . 求补律:A∩?A=φ U A∪?A=U ?U=φ ?φ =U ?U(?A)=A U U U U U ?(A∪B)= (?A)∩(?B) U U U

反演律:?(A∩B)= (?A)∪(?B) U U U 6. 有限集的元素个数

定义: 有限集 A 的元素的个数叫做集合 A 的基数, 记为 card( A)规定 card(φ ) =0. 基本公式:
(1) ca rd ( A ? B ) ? ca rd ( A ) ? ca rd ( B ) ? ca rd ( A ? B ) (2 ) ca rd ( A ? B ? C ) ? ca rd ( A ) ? ca rd ( B ) ? ca rd ( C ) ? ca rd ( A ? B ) ? ca rd ( B ? C ) ? ca rd ( C ? A ) ? ca rd ( A ? B ? C )

(3) card(?A)= card(U)- card(A) U (4)设有限集合 A, card(A)=n,则 (ⅰ)A 的子集个数为 2 n ; (ⅱ)A 的真子集个数为 2 n ? 1 ;

(ⅲ)A 的非空子集个数为 2 n ? 1 ; (ⅳ)A 的非空真子集个数为 2 n ? 2 . (5)设有限集合 A、B、C, card(A)=n,card(B)=m,m<n,则 (ⅰ) 若 B ? C ? A ,则 C 的个数为 2 n ? m ;

(ⅱ) 若 B ? C ? A ,则 C 的个数为 2 n ? m ? 1 ; (ⅲ) 若 B ? C ? A ,则 C 的个数为 2 n ? m ? 1 ; (ⅳ) 若 B ? C ? A ,则 C 的个数为 2 n ? m ? 2 . 例1 判定以下关系是否正确

(1 ){a} ? {a} (2){1,2,3}={3,2,1}
(5 ) ? ∈ { 0 } ? (3 ) ? ≠ {0 } (4)0∈{0} (6 ) ? = { 0 }

分析 解

空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集. 根据子集、真子集以及集合相等的概念知①②③④是正确

的,后两个都是错误的. 说明:含元素 0 的集合非空. 例2 分析 者 3 个.
解 含 有 0个 元 素 的 子 集 有 : ?;

列举集合{1,2,3}的所有子集. 子集中分别含 1,2,3 三个元素中的 0 个,1 个,2 个或

含有 1 个元素的子集有{1},{2},{3}; 含有 2 个元素的子集有{1,2},{1,3},{2,3}; 含有 3 个元素的子集有{1,2,3}.共有子集 8 个.
说 明 : 对 于 集 合 A, 我 们 把 ?和 A叫 做 它 的 平 凡 子 集 .
例 3 已 知 {a , b } ? A ? {a , b , c , d } , 则 满 足 条 件 集 合 A 的 个 数 为 ≠

________. 分析 A 中必含有元素 a,b,又 A 是{a,b,c,d}真子集,所

以满足条件的 A 有:{a,b},{a,b,c}{a,b,d}. 答 共 3 个.

说明:必须考虑 A 中元素受到的所有约束.
? 例 4 设 U为 全 集 , 集 合 M 、 N ≠ U, 且 N ? M , 则

[

]

分析

作出 4 图形.答

选 C.

说明:考虑集合之间的关系,用图形解决比较方便.

点击思维

例5

设集合 A={x|x=5-4a+a2,a∈R},B={y|y=4b2+4b

+2,b∈R},则下列关系式中正确的是 [
A. A= B ? C. A ≠ B B. A ? B ? D. A ≠ B

]

分析

问题转化为求两个二次函数的值域问题,事实上

x=5-4a+a2=(2-a)2+1≥1,

y=4b2+4b+2=(2b+1)2+1≥1, 所以它们的值域是相同的, 因 此 A=B. 答 选 A.

说明:要注意集合中谁是元素.

M 与 P 的关系是 [ A.M= UP
C. M ?


]

B.M=P
D. M ? P

P

分析

可以有多种方法来思考, 一是利用逐个验证(排除)的方法;

二是利用补集的性质:M= UN= U( UP)=P;三是利用画图的方 法.



选 B.

说明:一题多解可以锻炼发散思维. 例7 下列命题中正确的是 [ A. U( UA)={A}
B. 若 A∩ B= B, 则 A ? B C . 若 A = {1 , ? , {2 }} , 则 {2 } ? A ≠

]

D . 若 A = {1 , 2 , 3 } , B = {x| x ? A } , 则 A ∈ B

分析 选择支.

D 选择项中 A∈B 似乎不合常规,而这恰恰是惟一正确的

∵ D 选 择 支 中 , B 中 的 元 素 , x ? A , 即 x是 集 合 A 的 子 集 , 而 A 的 子
集 有 ? , {1} , {2} , {3} , {1 , 2} , {1 , 3} , {2 , 3} , {1 , 2 , 3} , 而 B

是由这所有子集组成的集合,集合 A 是其中的一个元素.∴A∈B. 答 选 D.

说明: 选择题中的选项有时具有某种误导性, 做题时应加以注意. 例 8 已知集合 A={2,4,6,8,9},B={1,2,3,5,8},

又知非空集合 C 是这样一个集合:其各元素都加 2 后,就变为 A 的 一个子集;若各元素都减 2 后,则变为 B 的一个子集,求集合 C. 分析 逆向操作:A 中元素减 2 得 0,2,4,6,7,则 C 中元素

必在其中;B 中元素加 2 得 3,4,5,7,10,则 C 中元素必在其中; 所以 C 中元素只能是 4 或 7. 答 C={4}或{7}或{4,7}.

说明:逆向思维能力在解题中起重要作用. 例9 设 S={1, 3, 且 M={x∈S|x2-5x+p=0}, 2, 4}, 若 SM

={1,4},则 p=________. 分析 4},
? 且 M ≠ S,

本题渗透了方程的根与系数关系理论,由于 SM={1,

∴M={2,3}则由韦达定理可解. 答 p=2×3=6.

说明:集合问题常常与方程问题相结合. 例 10 已知集合 S={2,3,a2+2a-3},A={|a+1|,2}, SA

={a+3},求 a 的值.

S 这个集合是集合 A 与集合 SA 的元素合在一起“补成”的, 此外,对这类字母的集合问题,需要注意元素的互异性及分类讨论思 想方法的应用. 解 由补集概念及集合中元素互异性知 a 应满足
① ② ③ ④ ① ② ③ ④

?a+ 3= 3 ? 2 ?| a + 1 | = a + 2 a - 3 ( 1) ? 2 ?a + 2a- 3≠ 2 ?a 2 + 2a- 3≠ 3 ?

?a+ 3= a 2 + 2a- 3 ? ?| a + 1 | = 3 或 (2 ) ? 2 ?a + 2a- 3≠ 2 ?a 2 + 2a- 3≠ 3 ?

在(1)中,由①得 a=0 依次代入②③④检验,不合②,故舍去. 在(2)中,由①得 a=-3,a=2,分别代入②③④检验,a=-3 不合②,故舍去,a=2 能满足②③④.故 a=2 符合题意. 说明:分类要做到不重不漏.
例 1 1 (1 9 9 3 年 北 京 高 考 题 ) 集 合 M = {x| x = kπ 2 + π 4 , k∈ Z}, N = {

x| x =

kπ 4



π 2

, k∈ Z}则

[ A.M=N
? B. M ≠ N ? C. M ≠ N

]

D.M 与 N 没有相同元素 分析 分别令 k=?,-1,0,1,2,3,?得
π 4 , π 2 , π 4 , 3π 4 , 3π 4 ,π , , 5π 4 5π 4 , 7π 4 , ? },

M = {? , - N = {? , π 4

,?}

? 易 见 , M ≠ N.



选 C.

说明: 判断两个集合的包含或者相等关系要注意集合元素的无序 性 例1 已知 M={y|y=x2+1,x∈R},N={y|y=-x2+1,x∈

R}则 M∩N 是 [ A.{0,1} B.{(0,1)} C.{1} D.以上均不对 分析 先考虑相关函数的值域. ]



∵M={y|y≥1},N={y|y≤1},

∴在数轴上易得 M∩N={1}.选 C.
例 2 已 知 集 合 A = {x| x +
2

m x + 1= 0 } , 如 果 A ∩ R = ? , 则 实 数 m 的

取值范围是 [ A.m<4 C.0<m<4
分 析 ∵ A∩ R= ?, ∴ A= ?. 所以x +
2

]

B.m>4 D.0≤m<4

M x + 1= 0 无 实 数 根 , 由

? m≥ 0, ? ? 2 ?Δ = ( m ) - 4< 0, ?

可得 0≤m<4. 答 例3 选 D. 设集合 A={x|-5≤x<1},B={x|x≤2},则 A∪B= [ A.{x|-5≤x<1} C.{x|x<1} 分析 画数轴表示 B.{x|-5≤x≤2} D.{x|x≤2} ]

? 得 A ∪ B = {x| x ≤ 2 } , A ∪ B = B . ( 注 意 A ≠ B , 也 可 以 得 到 A ∪ B =

B). 答 选 D.

说明:集合运算借助数轴是常用技巧. 例4 集合 A={(x,y)|x+y=0},B={(x,y)|x-y=2},则 A∩

B=________. 分析 A∩B 即为两条直线 x+y=0 与 x-y=2 的交点集合.

? x+ y= 0 , ? x = 1, 解 由? 得 ? ? x- y= 2 ? y = - 1.

所以 A∩B={(1,-1)}. 说明:做题之前要搞清楚集合的元素是什么.
例 5 下 列 四 个 推 理 : ① a ∈ (A ∪ B ) ? a ∈ A ; ② a ∈ (A ∩ B ) ? a ∈ (A

∪B);
③ A ? B ? A∪ B= B; ④ A∪ B= A ? A∩ B= B, 其 中 正 确 的 个 数

为 [ A.1 分析 答 例6 B.2 C.3 D.4 ]

根据交集、并集的定义,①是错误的推理. 选 C. 已知全集 U=R,A={x|-4≤x<2},B={x|-1<x

=________.

号的值.



观察数轴得,A∩B={x|-1<x<2},A∩B∩( UP)={x|0

<x<2}. 例7 设 A={x∈R|f(x)=0}, B={x∈R|g(x)=0},
C = {x ∈ R | f(x) g(x) = 0}, 全 集 U= R, 那 么

[ A.C=A∪( UR) C.C=A∪B 分析 B.C=A∩( UB) D.C=( UA)∩B

]

依据分式的意义及交集、补集的概念逐步化归
f(x) g(x) = 0}

C = {x ∈ R |

={x∈R|f(x)=0 且 g(x)≠0} ={x∈R|f(x)=0}∩{x∈R|g(x)≠0}=A∩( UB). 答 选 B.

说明:本题把分式的意义与集合相结合. 例8 集合 A 含有 10 个元素,集合 B 含有 8 个元素,集合 A∩

B 含有 3 个元素,则集合 A∪B 有________个元素. 分析 一种方法,由集合 A∩B 含有 3 个元素知,A,B 仅有 3

个元素相同,根据集合元素的互异性,集合 A∪B 的元素个数为 10

+8-3=15. 另一种方法,画图 1-10 观察可得.

答 例9

填 15. 已知全集 U={x|x 取不大于 30 的质数},A,B 是 U 的两

个子集,且 A∩( UB)={5,13,23},( UA)∩B={11,19,29}, ( UA)∩( UB)={3,7}求 A,B. 分析 由于涉及的集合个数,信息较多,所以可以通过画图 1-

11 直观地求解.



∵U={2,3,5,7,11,13,17,19,23,29}

用图形表示出 A∩( UB),( UA)∩B 及( UA)∩( UB)得 U(A∪B)={3,7},A∩B={2,17},所以 A={2,5,13,17,23}, B={2,11,17,19,29}. 说明:对于比较复杂的集合运算,可借助图形. 例 10 设集合 A={x2,2x-1,-4},B={x-5,1-x,9},

若 A∩B={9},求 A∪B. 分析 欲求 A∪B,需根据 A∩B={9}列出关于 x 的方程,求出

x,从而确定 A、B,但若将 A、B 中元素为 9 的情况一起考虑,头绪 太多了,因此,宜先考虑集合 A,再将所得值代入检验. 解 由 9∈A 可得 x2=9 或 2x-1=9,解得 x=±3 或 5.

当 x=3 时,A={9,5,-4},B={-2,-2,9},B 中元素违 反互异性,故 x=3 应舍去; 当 x=-3 时,A={9,-7,-4},B={-8,4,9},A∩B={9} 满足题意,此时 A∪B={-7,-4,-8,4,9} 当 x=5 时,A={25,9,-4},B={0,-4,9},此时 A∩B= {-4,9},这与 A∩B={9}矛盾. 故 x=5 应舍去. 从而可得 x=-3,且 A∪B={-8,-4,4,-7,9}. 说明:本题解法中体现了分类讨论思想,这在高中数学中是非常 重要的. 例 11 设 A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0},

若 A∩B=B,求 a 的值.
分 析 由 A ∩ B = B , B ? A , 而 A = {x| x + 4x = 0} = {0 , - 4} , 所 以
2

需要对 A 的子集进行分类讨论.
解 假 如 B≠ ?, 则 B含 有 A的 元 素 .

设 0∈B, a2-1=0, 则 a=±1, a=-1 时, 当 B={0}符合题意;

当 a=1 时,B={0,-4}也符合题意. 设-4∈B,则 a=1 或 a=7,当 a=7 时,B={-4,-12}不符 合题意.
假 如 B = ? , 则 x + 2(a + 1)x + a - 1 = 0 无 实 数 根 , 此 时 Δ < 0 得 a
2 2

<-1. 综上所述,a 的取值范围是 a≤-1 或 a=1.
说 明 : B= ?这 种 情 形 容 易 被 忽 视 .

例 12 (1998 年全国高考题)设集合 M={x|-1≤x<2},N={x|x
- k ≤ 0} , 若 M ∩ N ≠ ? , 则 k 的 取 值 范 围 是

[ A.(-∞,2] C.(-1,+∞) 分析
N≠ ?.

]

B.[-1,+∞) D.[-1,2]

分别将集合 M、N 用数轴表示,可知:k≥-1 时,M∩



选 B.

例 13(2000 年全国高考题)如图 1-12:U 为全集,M、P、S 是 U 的 3 个子集,则下图中的阴影部分为________.

分析

利用交集、并集、补集的意义分析.



阴影部分为:(M∩P)∩( US).

说明:你能否指出 M∩(P∪S)是图形上的哪一区域?


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