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2011届数学高考复习名师精品教案:第14课时:第二章 函数-二次函数


第 14 课时:第二章
一.课题:二次函数

函数——二次函数

二.教学目标:掌握二次函数的概念、图象及性质;能利用二次函数研究一元二 次方程的实根分布条件;能求二次函数的区间最值. 三.教学重点:二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的灵活转化. 四.教学过程: (一)主要知识: 1.二次函数的解析式的三种形式:一般式,顶

点式,两根式. 2.二次函数的图象及性质; 3.二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系. (二)主要方法: 1.讨论二次函数的区间最值问题:①注意对称轴与区间的相对位置;②函数在 此区间上的单调性; 2.讨论二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑:①判别式;②区间 端点的函数值的符号;③对称轴与区间的相对位置. (三)例题分析: 例 1.函数 y ? x2 ? bx ? c ( x ?[0, ??)) 是单调函数的充要条件是
( A) b ? 0 (B) b ? 0 (C ) b ? 0

( A )
( D) b ? 0

b 分析:对称轴 x ? ? ,∵函数 y ? x2 ? bx ? c( x ?[0, ??) 是单调函数, 2 b ∴对称轴 x ? ? 在区间 2 b [0, ??) 的左边,即 ? ? 0 ,得 b ? 0 . 2

例 2.已知二次函数的对称轴为 x ? ? 2 ,截 x 轴上的弦长为 4 ,且过点 (0, ?1) , 求函数的解析式. 解:∵二次函数的对称轴为 x ? ? 2 ,设所求函数为 f ( x) ? a( x ? 2)2 ? b ,又∵
f ( x) 截 x 轴上的弦长为 4 ,∴ f ( x) 过点 (? 2 ? 2,0) , f ( x) 又过点 (0, ?1) ,

1 ? ? 4a ? b ? 0 ?a ? ∴? , ? 2 , ?2a ? b ? ?1 ? ?b ? ?2

1 ∴ f ( x) ? ( x ? 2) 2 ? 2 . 2
a 1 ? 的最大值为 2 ,求 a 的值 . 4 2 分析:令 t ? sin x ,问题就转二次函数的区间最值问题.

例 3.已知函数 y ? ? sin 2 x ? a sin x ?

解:令 t ? sin x , t ? [?1,1] ,
a 1 a ∴ y ? ?(t ? ) 2 ? ( a 2 ? a ? 2) ,对称轴为 t ? , 2 4 2 a 1 2 (1) 当 ?1 ? ? 1 , 即 ?2 ? a ? 2 时,ymax ? (a ? a ? 2) ? 2 , 得 a ? ?2 或 a ? 3(舍 2 4 去). a a 1 (2)当 ? 1 ,即 a ? 2 时,函数 y ? ?(t ? ) 2 ? ( a 2 ? a ? 2) 在 [?1,1] 单调递增, 2 4 2 1 1 10 由 ymax ? ?1 ? a ? a ? ? 2 ,得 a ? . 4 2 3 a a 1 (3)当 ? ?1 ,即 a ? ?2 时,函数 y ? ?(t ? ) 2 ? ( a 2 ? a ? 2) 在 [?1,1] 单调递减, 2 2 4 1 1 由 ymax ? ?1 ? a ? a ? ? 2 ,得 a ? ?2 (舍去). 4 2 10 综上可得: a 的值为 a ? ?2 或 a ? . 3

例 4. 已知函数 f ( x) ? x2 ? (2a ?1) x ? a2 ? 2 与非负 x 轴至少有一个交点,求 a 的 取值范围. 解法一: 由题知关于 x 的方程 x2 ? (2a ?1) x ? a2 ? 2 ? 0 至少有一个非负实根, 设根 为 x1 , x2
?? ? 0 9 ? 则 x1 x2 ? 0 或 ? x1 x2 ? 0 ,得 ? 2 ? a ? . 4 ?x ? x ? 0 ? 1 2

? f (0) ? 0 ? ?(2a ? 1) 9 ? 解法二:由题知 f (0) ? 0 或 ?? ? 0 ,得 ? 2 ? a ? . 4 2 ? ? ?? ? 0
例 5.对于函数 f ( x) ,若存在 x0 ? R ,使 f ( x0 ) ? x0 ,则称 x0 是 f ( x) 的一个不动 点,已知函数

f ( x) ? ax2 ? (b ? 1) x ? (b ?1)(a ? 0) ,
(1)当 a ? 1, b ? ?2 时,求函数 f ( x) 的不动点; (2)对任意实数 b ,函数 f ( x) 恒有两个相异的不动点,求 a 的取值范围; (3) 在 (2) 的条件下, 若 y ? f ( x) 的图象上 A, B 两点的横坐标是 f ( x) 的不动点, 且 A, B 两点关于直线 y ? kx ?
1 2a 2 ? 1

对称,求 b 的最小值.
2

解: (1)f ( x) ? x2 ? x ? 3 , 则 f ( x) ? x0 ? x0 ? 3 ? x0 , 得 x0 ? ?1 x0 是 f ( x) 的不动点, 或 x0 ? 3 ,函数 f ( x) 的不动点为 ?1 和 3 . (2)∵函数 f ( x) 恒有两个相异的不动点,∴ f ( x) ? x ? ax2 ? bx ? (b ?1) ? 0 恒有 两个不等的实根, ? ? b2 ? 4a(b ?1) ? b2 ? 4ab ? 4a ? 0 对 b ? R 恒成立, ∴ (4a)2 ?16a ? 0 ,得 a 的取值范围为 (0,1) .
x1 ? x2 b 1 ?? ,由题知 k ? ?1 , y ? ? x ? 2 , 2 2a 2a ? 1 b b 1 b b 1 ? ? 2 设 A, B 中点为 E ,则 E 的横坐标为 (? , ? 2 ) ,∴ ? , 2a 2a 2a ? 1 2a 2a 2a ? 1

(3)由 ax2 ? bx ? (b ?1) ? 0 得

∴b ? ?

a 2a ? 1
2

??

1 2a ? 1 a

??

1 2 2 ,当且仅当 2a ? (0 ? a ? 1) ,即 a ? 时等号 a 4 2

成立, ∴ b 的最小值为 ? (四)巩固练习: 1.若函数 y ? x2 ? (a ? 2) x ? 3( x ?[a, b] 的图象关于 x ? 1 对称则 b ? 6 .
2 . 4

2. 二次函数 f ( x) 的二次项系数为负值, 且 f ( x ? 2) ? f (2 ? x)( x ? R) , 问 f1 (2 ? )x2 与 f (1 ? 2 x ? x2 ) 满足什么关系时,有 ?2 ? x ? 0 .

3. m 取何值时,方程 7 x2 ? (m ? 13) x ? m2 ? m ? 2 ? 0 的一根大于 1 ,一根小于 1 .


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