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2013年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷(附详细答案)


2013 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷
一、填空题(本题共 10 小题,满分 70 分,每小题 7 分.要求直接将答案写在横线上. ) 1.设方程 x ? 2mx ? m ? 1 ? 0 的根大于 ?2 ,且小于 4 ,则实数 m 的范围是
2 2



2.从 6 双不同号码的鞋中取出 4 只,至少配成一双的概率为



3.设实数 x , y 满足 x2 ? 4x ? y ? 3 ? 0 ,则 x 2 ? y 2 的最大值与最小值之差是



4.若存在正实数 a , b 满足 (a ? bi)n ? (a ? bi)n ( i 是虚数单位, n ? N ) ,则 n 的最小值是
*



5.若三角形 ABC 的三边 AB , BC , AC 成等差数列,则 ? A 的取值范围是



6.若数列 ?an ? 满足 a4 ? 9 , (an?1 ? an ?1)(an?1 ? 3an ) ? 0 ( n ? N ) ,则满足条件的 a1 的所有可能值之
*

积是



7.已知 f ( x) ? x ? 94 x ? 2013 ,则
2

n ?30

? ? f (n) ?

60

f (n) ? ?



8.设 x , y ??0, 2? ? ,且满足 2sin x cos y ? sin x ? cos y ? ?

1 ,则 x ? y 的最大值为 2



9.已知正四面体 ABCD 的棱长为 9,点 P 是面 ABC 上的一个动点,满足 P 到面 DAB 、 DBC 、 DCA 的 距离成等差数列,则 P 到面 DCA 距离的最大值是 .

10.将小王和小孙现在的年龄按从左到右的顺序排列得到一个四位数,这个四位数为完全平方数,再过 31 年,将他们俩的年龄以同样方式排列又得到一个四位数,这个数仍为完全平方数,小王现在的年龄 是 .

二、解答题(本大题共 4 小题,每小题 20 分,共 80 分)

( x ? k )2 x2 2 ? y ? 1 与椭圆 E2 : ? y 2 ? 1 交于点 A 和 C , E1 的左顶 11.设 k 为实数,0 ? k ? 6 ,椭圆 E1 : 9 9 点为 B , E2 的右顶点为 D (如图) ,若四边形 ABCD 是正方形,求实数 k .

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12.如图,梯形 ABCD 中, B 、 D 关于对角线 AC 对称的点分别是 B ' 、 D ' , A 、 C 关于对角线 BD 对 称的点分别是 A ' 、 C ' .证明:四边形 A ' B ' C ' D ' 是梯形.

13.设实数 a , b 满足 0≤a≤

1 ≤b≤1,证明: 2(b ? a) ≤ cos ? a ? cos ? b . 2

14.正 100 边形的每个顶点染红、黄、蓝三色之一.证明:必存在四个同色点,恰为某等腰梯形的顶点.

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