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2.4.2 抛物线的简单几何性质 课件1


第二章 圆锥曲线与方程

2.4.2 抛物线的简单几何性质

高中数学选修2-1

引入课题
类比椭圆、双曲线的几何性质,你认为可以研究 抛物线的哪些几何性质?研究的方法又是什么? 范围 方 程

对称性
顶点

离心率

知识点一:范围及对称性
以标准方程y2=2px(p>0)研究几何性质 1.范围
y

由y2≥0,可得x≥0.
(2)对称性
O l F x

方程中以(-y)代y,方程不变
抛物线关于x轴对称.

抛物线的轴

知识点二:顶点及离心率
3.顶点
当y=0时,x=0,
y

原点为抛物线的顶点.
4.离心率
O l F x

抛物线上的点到焦点的距离与到
准线距离的比为抛物线的离心率

显然e=1.

知识点三:抛物线的几何性质
方程 图 y2 = 2px y2 = -2px (p>0) y l
x
F O x

x2 = 2py (p>0) y
F O l x

x2 = -2py (p>0) y
O F l x

(p>0) y
l O F


范围

x≥0,y∈R x≤0,y∈R x∈R,y≥0 x∈R,y≤0

对称性 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称 关于y轴对称
顶点 离心率

(0,0) e=1

典例分析

【解析】

抛物线的定义

典例分析

跟踪训练
抛物线的顶点在原点,对称轴重合于椭圆9x2+4y2=36 短轴所在的直线,抛物线焦点到顶点的距离为3, 求抛物线的方程及抛物线的准线方程.

焦点在x轴上
答案:抛物线的标准方程为y2=12x或y2=-12x,

其准线方程分别为x=-3和x=3.

典例分析
过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于点A、B,若 |AB|=7,求AB的中点M到抛物线准线l的距离.
焦点弦长,联想定义 A1

【解析】

y

A

N
l B1 O

M F B x

跟踪训练
若直线l过抛物线y2=4x的焦点,与抛物线交于A,B 两点,且线段AB中点的横坐标为2,求线段AB的长. 解:由已知,抛物线的准线方程为x=-1 则AB的中点到准线的距离为3 由抛物线定义可知,|AB|=2×3=6.

典例分析
已知A,B是抛物线y2=2px(p>0)上两点,O为坐标原点, 若|OA|=|OB|,且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点F, 求直线AB的方程.

【解析】

OF⊥AB? A,B关于x轴对称

跟踪训练
若把“垂心”改为“重心”, AB的方程如何?

归纳小结
1.根据抛物线的几何性质求抛物线的方程, 需要确定对称轴和开口方向以及一个待定系数p, 即先定型,再定量,必要时结合图形. 2.抛物线的定义体现了抛物线上的点到焦点的距离 与到准线距离的相互转化,在涉及焦点弦问题时 要特别注意定义及几何法的应用.

当堂训练

A

D

再见


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