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三角函数公式汇总一


三角函数知识点汇总
-------Sing 同角三角函数基本关系
平方关系: sin ? ? cos ? ? 1 ; tan 2 ? 1 ?
2 2

导公式的左边为

k? ? ? ?k ? Z ?的正弦(切)或余弦函数,当 k 为奇数时,右边的函数 2

sin ? ? cos ? 商数

关系: tan ? ? ( ? ? ? k? , k ? Z ), cot ? ? ( ? ? k? , k ? Z ) cos ? 2 sin ? (知一求二,注意开根号后的正负) sin? ? cos? , sin ? ? cos? , sin ? cos? 三者间的转化:

1 , cot 2? ? 1 ? 1 (知一求二) 2 cos ? sin 2 ?

名称正余互变;当 k 为偶数时,右边的函数名称不改变,这就是“奇变偶不变”的含 义,再就是将 ? “看成”锐角(可能并不是锐角,也可能大于锐角也可能小于锐角还有 可能是任意形式的角如 ?? ? ? ?, , 然后分析 ?? - ? ?, ? ? 等)

?? ? ?3?

k? ? ? ?k ? Z ?为第几象限 2

角,再判断公式左边这个三角函数在此象限是正还是负,也就是公式右边的符号。 常见题型: 一、求值: 例1. 例2. 已知 tan(? ? ? ) ? 3 , 求

(sin? ? cos? ) ? 1 ? 2 sin ? cos? ; (sin? ? cos? ) 2 ? 1 ? 2 sin ? cos? (sin? ? cos? ) 2 ? (sin? ? cos? ) 2 ? 2 注意整体代换思想 诱导公式:诱导公式可概括为: “奇变偶不变,符号看象限”( k ? Z )
2

诱导公式一: sin(? ? 2k? ) ? sin ? , cos(? ? 2k? ) ? cos ? , tan(? ? 2k? ) ? tan? ;

2 cos(? ? a) ? 3 sin(? ? a) 和 sin ? cos ? 的值. 4 cos(?a) ? sin(2? ? a)

三个三角函数值&正余弦的和差积关系知一求二,注意象限和开根号时的正负

? ? ? ) ? ? tan? ; 诱导公式二: sin(? ? ? ) ? sin ? , cos(? ? ? ) ? ? cos ? , tan(
诱导公式三: sin(? ? ? ) ? ? sin ? , cos(? ? ? ) ? ? cos? , tan(? ? ? ) ? tan? ;

二、化简:
例1. sin2α +sin2β -sin2α sin2β +cos2α cos2β 例2.

sin(? ? n? ) ? sin(? ? n? ) (n ? Z ) sin(? ? n? ) cos(? ? n? )
1 cos ? 1 ? tan ?
2

sin(?? ) ? ? sin ? (奇),cos(?? ) ? cos ?(偶) 诱导公式四: ,tan(?? ) ? ? tan?(奇) ;
诱导公式五: sin(2? ? ? ) ? ? sin ? , cos(2? ? ? ) ? cos ? , tan(2? ? ? ) ? ? tan? ; 诱导公式六: sin ( 诱导公式七: sin(

例3.

?

1 ? sin ? 1 ? sin ? ? 1 ? sin ? 1 ? sin ?

三、三角恒等式的证明:
例1. 已知:cosθ -sinθ = 2 sinθ ,求证:tanθ =

?
2

? ? ) ? cos ? , cos( ? ? ) ? cos ? , cos(

?

?

?

2

? ? ) ? sin ? , tan (

?
2

? ? ) ? cot ? ;

cos ? ? sin ? cos ? ? sin ?

2 2 2 3? 3? 3? - ? ) ? - cos ? , cos( - ? ) ? ? sin ? , tan ( ? ? ) ? cot ? ; 诱导公式八: sin( 2 2 2 3? 3? 3? ? ? ) ? - cos ? , cos( ? ? ) ? sin ? , tan ( ? ? ) ? ? cot ? 诱导公式九: sin( 2 2 2

? ? ) ? ? sin ? , tan (

?

? ? ) ? ? cot ? ;

?tan? ? sin ? ? m 例2. 已知 ? 求证:(m2-n2)2=16mn. ?tan? ? sin ? ? n

三角函数的图像和性质
(一) 三角函数的图像

y=sinx
小结:由“奇变偶不变,符号看象限”一步法化简比直接采用诱导公式化简要简捷得
多,但在使用“奇变偶不变,符号看象限”时要对其真正的含义有透彻的理解,即诱 1.
-4? -7? -3? 2 -5? 2 -2? -3? -? 2 -

y
? 2

1 o -1
? 2 ?

3? 2 2? 5? 2 3?

7? 2 4?

x

点。 (三) 正弦函数的图像变换 正弦函数的定义域是______,最大值是______, 最小值是______, 周期是________, 对称轴是_________ __,对称中心是_________; 递增区间是_________ ____________, 递减区间是__________________________. 由 y ? sin x 的图像变换出 y ? sin(?x ? ? ) 的图像一般有两个途径。只有区别开这 两个途径,才能灵活进行图像变换 途径一:先平移变换再周期变换(伸缩变换)
王新敞
奎屯 新疆

y=cosx
2.
-4? -7? 2 -3? -5? 2 -? -2? -3? 2 -

y
? 2

1 o -1
? 2

?

3? 2 2? 5? 2

3?

7? 2

先将 y ? sin x 的图像向左( ? >0)或向右( ? <0)平移| ? |个单位,再将图像上
4?

x
各点的横坐标变为原来的

1

?

倍( ? ? 0 ),便得 y ? sin(?x ? ? ) 的图像

王新敞
奎屯

新疆

途径二:先周期变换(伸缩变换)再平移变换 余弦函数的定义域是______,最大值是______, 最小值是______, 周期是________, 对称轴是____ _____,对称中心是 ; 递增区间是 , 递减区间的 先将 y ? sin x 的图像上各点的横坐标变为原来的 ( ? >0)或向右( ? <0=平移

1

|? |

?

倍 ( ? ? 0 ), 再沿 x 轴向左

?

个单位,便得 y ? sin(?x ? ? ) 的图像

王新敞
奎屯

新疆

y

y=tanx

3. 由图像观察,正切函数的定义域 是 ;值域是 ; 对称中心是 单调递增区间是
? 2

利用图像的变换作图像时,提倡先平移后伸缩,但先伸缩后平移也经常出现。无 论哪种变形,请切记每一个变换总是对字母 x 而言,即图像变换要看“变量”起多大 变化,而不是“角变化”多少。

-

3? 2

-?

-

o

? 2

?

3? 2

x
(二) 函 数

y ? A sin(?x ? ? ) ? B
(? ? 0)
最大值是 B ? A ,最小值是 B ? A ,周期是 T ?

2?

?

,频率是 f ?

?x ? ? ,初相是 ? ;其图像的对称轴是直线 ?x ? ? ? k? ?

?
2

? ,相位是 2?

(k ? Z ) ,凡是该图像

与直线 y ? B 的交点都是该图像的对称中心。当 B=0 时,对称中心即图像与 x 轴的交


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