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2013届高三数学寒假作业1(函数1)


2013 届高三数学寒假作业 1(函数 1)
1.0 或 3; 2. ?1 ? a ? 3 3. ? ?1,1? 4.m>n 5.

? ??,1?

6. ?

1 2

7.-1<m<2

8. (4,-2) 9. f ( x) ? lg

1 x ?1

( x ? 1) 10. (1, 2 )

11.3

12. log 2 3

13. (0, ) ? [ ,1) ? (1,? ?)
7 , 2

1 7

1 3

15.解:命题 p真:0<2a ? 6 ? 1,3 ? a ?

2 ?V=(3a) ? 4(2a 2 ? 1) ? 0 ? 3a 5 ? 命题 q真: ?3 ?a? ? 2 2 ? 2 ? ? 9 ? 9a ? 2a ? 1 ? 0 由题意得, p 和 q 一真一假

7 7 ? ? 3? a ? a ? 3或a ? ? ? 5 7 ? ? 2 2 ? a 不存在, q 真 p 假时 ? ? ? a ? 3或a ? p 真 q 假时 ? 2 2 ? a? 5 ? a?5 ? ? ? 2 ? 2

5 7 ? ? a ? 3或a ? 2 2
16.解: (1)由题意得: mx ? 2 x ? 2 ? 0 解集为 R ? ?
2

? m?0 1 ?m ? 2 ?4 ? 8m ? 0

3 在?0,1? 上单调递减 x ?1 ?1 ? ? g ( x) ? ? , 2 ? ?2 ? 1 1 1 1 f ( x) ? 2 ? mx 2 ? 2 x ? 2 ? 4 ? m ? 2( 2 ? ) ? m ? 2( 2 ? ) x x x x 1 ?1 ? 1 1 设t ? ? ? , 2 ? , 则y ? 2(t 2 ? t ) ? 2(t ? ) 2 ? x ?2 ? 2 2 ? ymax ? 12,? m ? 12
(2) Q g ( x) ? ?1 ?

17.解:解: (1) Q f ( x)为R上的奇函数

? f (0) ? 0, b ? 1. 又f (?1) ? ? f (1), 得a ? 1. 经检验a=1,b=1 符合题意.
(2)任取 x1 , x 2? R, 且x1 ? x2 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

1 ? 2 x1 1 ? 2 x2 (1 ? 2 x1 )(2 x2 ? 1) ? (1 ? 2 x2 )(2 x1 ? 1) ? ? 2 x1 ? 1 2 x2 ? 1 (2 x1 ? 1)(2 x2 ? 1)

2(2 x2 ? 2 x1 ) ? x1 (2 ? 1)(2 x2 ? 1)
Q x1 ? x2 ,? 2 x2 ? 2 x1 ? 0, 又(2 x1 ? 1)(2 x2 ? 1) ? 0

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0,? f ( x)为R上的减函数.
(3) Q t ? R ,不等式 f (t ? 2t ) ? f (2t ? k ) ? 0 恒成立,
2 2

? f (t 2 ? 2t ) ? ? f (2t 2 ? k ) Q f ( x)为奇函数, ? f (t 2 ? 2t ) ? f (k ? 2t 2 ) Q f ( x)为减函数, ? t 2 ? 2t ? k ? 2t 2
即 k ? 3t ? 2t 恒成立,而 3t ? 2t ? 3(t ? ) ?
2

2

1 3

2

1 1 ?? 3 3

1 ?k ? ? . 3

18.解: (1)在 f (m ? n) ? f (m) ? f (n) 中,令 m ? 1, n ? 0. 得:

f (1) ? f (1) ? f (0) .
因为 f (1) ? 0, 所以,f (0)=1 . (2)要判断 f ( x) 的单调性,可任取 x1 , x 2? R, 且x1 ? x2 .

在已知条件 f (m ? n) ? f (m) ? f (n) 中,若取 m ? n ? x2 , m ? x1 ,则已知条件可化

为: f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ? x1 )



由于 x2 ? x1 ? 0, 所以1 ? f ( x2 ? x1 ) ? 0. 为比较 f ( x2 )、f ( x1 ) 的大小,只需考虑 f ( x1 ) 的正负即可. 在 f (m ? n) ? f (m) ? f (n) 中,令 m ? x, n ? ? x, 则得f ( x) ? f (? x) ? 1 ,

Q x ? 0时, 0 ? f ( x) ? 1,

?当x ? 0时,f ( x) ?

1 ? 1 ? 0. f (? x)

又 f (0) ? 1 ,所以,综上,可知,对于任意 x1 ? R, 均有f ( x1 ) ? 0.

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) ? 1? ? 0
f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? f ? x1 ? ? ? f ? x2 ? x1 ? ? 1? ??0.
∴ 函数 f ( x) 在 R 上单调递减. (3)首先利用 f ( x) 的单调性,将有关函数值的不等式转化为不含 f 的式子.



f ( x 2 ) ? f ( y 2 ) ? f (1) 即x 2 +y 2 ? 1 ,

f (ax ? y ? 2) ? 1 ? f (0),即ax ? y ? 2 ? 0 .
由 A ? B ? ? ,所以,直线 ax ? y ? 2 ? 0 与圆面 x +y ? 1 无公共点.所以,
2 2

2 a2 ? 1
解得: ?1 ? a ? 1.

?1


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