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1.1 正弦定理和余弦定理练习课


1.1 正弦定理和余弦定理习 题课

知识回顾
正弦定理可以解决三角形中哪类问题:

a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C
① 已知两边和其中一边的对角,求另一边

的对角,进而可求其他的边和角.
② 已知两角和一边,求其他角和边.

余弦

定理:

a ? b ? c ? 2bc cos A
2 2 2 2 2

b ? c ? a ? 2ac cos B
2 2

c ? a ? b ? 2ab cosC
2 2

余弦定理可解决的几类 问题 :

(1)已知两边和它们的夹角解三角形 , ; (2)已知三边, 解三角形 .

典型例题解析
1.已知? ABC中, a ? 2 , b ? 3 , B ? 60?, 那么角A等于 ?
A. 135°

?

B. 90°
C. 45° D. 30°

第4页 共 103 页

2.在△ABC中,A=60°,a=4 3 ,b=4 2 ,则B等
于( C ) A.45°或135° C.45° 解析 由正弦定理得 B.135° D.以上答案都不对

a b ? , sin A sin B 4 3 4 2 4 2 2 即 ? ,? sin B ? sin 60? ? . sin 60? sin B 4 3 2

又∵a>b,A=60°,∴B=45°.

第5页 共 103 页

3.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.
若∠B=45°,b= 2 ,a=1,则∠C= 解析 . 105° ∵a<b,∠B=45°,∴∠A为锐角.

2 1 1 由 ? , 得 sin A ? ,? A ? 30?. sin 45? sin A 2

∴∠C=180°-30°-45°=105°.

第6页 共 103 页

4.在? ABC中, 角A, B, C的对边为a, b, c, 若a ? 3 , b ? 2 , B ? 45?, 则角A等于 ? A. 30?

?
C. 60? D. 60?或120?

B. 30?或105?

答案:D

第7页 共 103 页

3 5.在△ABC中,若 tan A ? , C ? 120?, BC ? 2 3, 则AB= 4 ( )

A.3
C.5 解析:因为 tan A ? 可得 答案:C

B.4
D.6

3 所以 sin A ? 5

由正弦定理

6. △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若
c= 2 ,b= 6 ,B=120°, 则a等于( D ) A. 6 解析 B.2 C. 3 D. 2

b c 由正弦定理得 ? , sin B sin C
c ? sin B 2 sin 120? 1 ? ? , b 6 2 ? C ? 30?,? A ? 180? ? 120? ? 30? ? 30?.? a ? c ? 2. ? sin C ?

第9页 共 103 页

7.在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 a=4bsinA,则cosB= .

a 解析:因为a=4bsinA?= sin A = 4b,由正弦定理知sinB

1 1 2 15 . = 4 ,cosB= 1 ? ( ) ? 4 4
答案: 15
4

8.在? ABC中, 角A?B?C所对的边分别为a?b, c.若( 3b ? c)cosA ? acosC, 则cosA ? ________ .

解析 :由正弦定理得 : ( 3sinB ? sinC)cosA ? sinA? cosC ? 3sinBcosA ? sinCcosA ? sinA? cosC ? 3sinBcosA ? sin ? A ? C ? ? sinB. 即cosA ? 3 . 3

答案 :

3 3

第11页 共 103 页

9.? ABC的边分别为a?b?c, 且a ? 1, c ? 4 2 , B ? 45?, 则 ? ABC的面积为? A. 4 3 B. 5

?
C. 2 D. 6 2

1 1 解析 : S?ABC ? acsinB ? ? 1 ? 4 2 ? sin45? ? 2. 2 2
答案:C

第12页 共 103 页

10.已知锐角△ABC的面积为 3 3 ,BC=4,CA=3,则角C
的大小为 A.75° C.45° B.60° D.30° ( )

1 解析:由题知, ? 4 ? 3 ? sin C ? 3 3,? sin C ? 3 . 2 2 ? ? 又0 ? C ? ,? C ? . 2 3
答案:B

11.已知圆的半径为4,a、b、c为该圆的内接三角形
的三边,若abc=16 2 ,则三角形的面积为( C ) A. 2 2 B. 8 2 C. 2 D. 2 2 解析 ? a ? b ? c ? 2 R ? 8, sin A sin B sin C

c ? sin C ? , 8 1 1 1 ? S ?ABC ? ab sin C ? abc ? ?16 2 ? 2. 2 16 16

第14页 共 103 页

12.在△ABC中,a=

3,b= 2 ,B=45°. 求角A、C和边c; a b 3 解 (1)由正弦定理 ? 得 sin A ? . sin A sin B 2 ∵a>b,∴A=60°或A=120°.
当A=60°时,C=180°-45°-60°=75°,
b sin C 6? 2 ? ; sin B 2

c?

当A=120°时,C=180°-45°-120°=15°.
c? b sin C 6? 2 ? . sin B 2

6? 2 ? A ? 60?, C ? 75?, c ? . 2 6? 2 或A ? 120?, C ? 15?, c ? . 2
第15页 共 103 页

13. 在△ABC中,内角A,B,C对边的边长分别是a,b,c, 已知c=2,若 △ ABC的面积等于 求a,b;

【解】

由余弦定理及已知条件,得a2+b2-ab=4, 1 又因为△ABC的面积等于 所以 ab sin C ? 3, 2 得ab=4. 联立方程组

定时检测
一、选择题

1.△ABC的三边分别为a,b,c且满足b2=ac,
2b=a+c,则此三角形是 A.等腰三角形 C.等腰直角三角形 解析 B.直角三角形 D.等边三角形 ( D)

∵2b=a+c,∴4b2=(a+c)2,

又∵b2=ac,∴(a-c)2=0.∴a=c. ∴2b=a+c=2a.∴b=a,即a=b=c.

2.△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,且 cos 2B+3cos(A+C)+2=0,b= A.3∶1 C. ,则c∶sin C等于 3 ( D)

2 ∶1

B. 3 ∶1 D.2∶1

cos 2B+3cos(A+C)+2=2cos2B1 3cos B+1=0,∴cos B= 或cos B=1(舍). 2 解析

?B ? ?

?

3

.

c b 3 ? ? ? 2. 3 sin C sin B 2

3.△ABC中,AB=
积等于 A. 3 2 解析

,AC=1,∠B=30°,则△ABC的面 3
( D)

B. 3 4

C. 3 或 3 2

D. 3 或 3 2 4

1 3 3 ? ,? sin C ? . ? 0? ? C ? 180?, sin 30? sin C 2

∴C=60°或120°. (1)当C=60°时,A=90°,∴BC=2,此时, 3 S ?ABC ? ; 2 (2)当C=120°时,A=30°,
1 3 S ?ABC ? ? 3 ?1? sin 30? ? . 2 4

4.△ABC的三内角A、B、C的对边边长分别为a、b、c. 若 a ? 5 b, A=2B,则cos B等于(B ) 2 A. 5 B. 5 C. 5 D. 5 4 5 3 6
解析 由正弦定理得

a sin A ? , b sin B
5 sin A 5 ?a ? b可化为 ? . 2 sin B 2 又A ? 2 B,? sin 2 B 5 5 ? ,? cos B ? . sin B 2 4

5.(2008·福建理,10)在△ABC中,角A、B、C
的对边分别为a、b、c,若(a2+c2-b2)tan B = 3 ac,则角B的值为( D ) A. ? B. ? 6 3 C. ? 或 5? D. ? 或 2? 6 6 3 3 解析 ∵(a2+c2-b2)tan B= 3 ac,
a2 ? c2 ? b2 3 ? ? tan B ? , 2ac 2 3 即 cos B ? tan B ? sin B ? . 2

? 2? ? 0 ? B ? ? ,? 角B的值为 或 . 3 3

6.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别是a,b,c,若 a b2+c2-bc=a2,且 ? 3 ,则角C的值为 ( C) b A.45° B.60° C.90° D.120°
解析 由b2+c2-bc=a2,得b2+c2-a2=bc,

b2 ? c2 ? a2 1 ? cos A ? ? ,? A ? 60?. 2bc 2 a sin A 又 ? 3,? ? 3, b sin B 3 3 3 1 ? sin B ? sin A ? ? ? , ? A ? B且 A ? 60?, 3 3 2 2 ? B ? 30?,? C ? 180? ? A ? B ? 90?.

二、填空题
7.在△ABC中,若AB=3,∠ABC=75°,∠ACB=60°,则 BC=

6 . 解析 根据三角形内角和定理知
∠BAC=180°-75°-60°=45°.
BC AB 根据正弦定理得 ? , sin ?BAC sin ?ACB

2 3? BC 3 3 sin 45? 2 ? 6. 即 ? ,? BC ? ? 3 sin 45? sin 60? sin 60? 2

8. 在△ABC中,AB=2,AC= 6 ,BC=1+ 3 ,AD为边 BC上的高,则AD的长是 3 .

a 2 ? b2 ? c2 2 2 解析 cos C ? ? ,? sin C ? . 2ab 2 2
? S ?ABC 1 1 ? ab sin C ? a ? AD.? AD ? 3. 2 2

9.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,
1 c,若其面积 S ? (b2+c2-a2),则∠A= 4 解析 S ? 1 (b 2 ? c 2 ? a 2 ) ? 1 (2bc cos A) 4 4

?

4

.

1 1 ? bc cos A, 又S ?ABC ? bc sin A,? sin A ? cos A, 2 2 即 tan A ? 1.又A为?ABC 的内角,? A ? . 4

?


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