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广东省广州市2013届高三元月调研测试数学文试题


试卷类型:A

广州市 2013 届高三年级调研测试

数 学(文 科)

2013.1

本试卷共 4 页,21 小题, 满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、 座位号填写在答题卡上.用 2B 铅笔将试卷类型(A

)填涂在答题卡相应位置上. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域 内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅 笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答.漏涂、错涂、 多涂的,答案无效. 5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.复数 1 ? i(i 为虚数单位)的模等于 A. 2 B. 1 C.

2 2

D.

1 2

2.已知集合 A ? {0,1,2,3,4} ,集合 B ? {x | x ? 2n, n ? A} ,则 A ? B ? A. {0} B. {0,4} C. {2,4} D. {0,2,4}

3.已知函数 f

? x?

? ? 1 ?? ?log x, x ? 0 , 则 f ? f ? ? ? 的值是 ? ? x 2 ? ? 4 ?? ?3 , x ? 0
B.

A. 9

1 9

C. ?9

D. ?

1 9

4.已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 a3 ? a4 ? a5 ? 12 ,则 S7 的值为 A. 56 B. 42 C. 28 D. 14

x 5.已知 e 为自然对数的底数,函数 y ? x e 的单调递增区间是

A . ??1, ?? ?

?

B. ??, ?1? ?

?

C. ?1, ?? ?

?

D. ??,1? ?

?

6.设 m, n 是两条不同的直线, ? , ? , ? 是三个不同的平面,下列命题正确的是 A. 若m // n, m // ? , 则n // ? C. 若m // ? , n // ? , 则m // n B. 若? ? ? , ? ? ? , 则? // ? D. 若m ? ? , n // ? , 则m ? n

7.如图 1,程序结束输出 s 的值是 A. 30 8.已知函数 f B. 55 C. 91 D. 140

? x?

? ?1 ? cos 2 x ? ? cos2 x , x ?R,则 f ? x ? 是

A.最小正周期为

? 的奇函数 2 ? 的偶函数 2

B.最小正周期为 ? 的奇函数

C.最小正周期为

D.最小正周期为 ? 的偶函数

9.在区间 ?1,5? 和 ? 2, 4 ? 分别取一个数,记为 a,b , ? ? ? ? 则方程

x2 y2 3 ? 2 ? 1表示焦点在 x 轴上且离心率小于 的 2 2 a b

椭圆的概率为 A.

1 2

B.

15 32

C.

17 32

D.

31 32

10.在 R 上定义运算 ? : x ? y ? x(1 ? y). 若对任意 x ? 2 ,不等式 x ? a ? x ? a ? 2 都成立,则实数 a 的取值范围是 A. ? ?1,7 ? ? ? B.

?

?

? ??,3? ?

C.

? ??,7 ? ?

D.

? ??,?1? ? ?7,?? ? ? ?

二.填空题: 本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题) 11.已知 f

? x ? 是奇函数, g ? x ?

? f ? x ? ? 4 , g ?1? ? 2 , 则 f ? ?1? 的值是

.

12.已知向量 a , b 都是单位向量,且 a ?b ?

1 ,则 2a ? b 的值为 2

.
*

13.设 f1 ( x) ? cos x ,定义 f n?1 ( x) 为 f n (x) 的导数,即 f n?1 ( x) ? f ' n ( x) , n ?N ,若 ?ABC 的 内角 A 满足 f1( A) ? f2( A) ? ? ? f2013( A) ? 0 ,则 sin A 的值是 (二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14.(几何证明选讲选做题) 如图 2,已知 AB 是⊙ O 的一条弦,点 P 为 AB 上一点, PC ? OP , PC 交⊙ O 于 C ,若 AP ? 4 , PB ? 2 ,则 PC 的长是 . .
C A P O

B

图2

15. (坐标系与参数方程选讲选做题)

已知圆 C 的参数方程为 ?

? x ? cos ? , (? 为参数), 以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐 ? y ? sin ? ? 2,
.

标系,直线 l 的极坐标方程为 ? sin ? ? ? cos ? ? 1 , 则直线 l 截圆 C 所得的弦长是

三.解答题: 本大题共 6 小题,满分 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin ?

?? ? ? x ? ? sin x . ?2 ?

(1)求函数 y ? f (x) 的单调递增区间; (2)若 f(? ?

?
4

)?

? 2 ,求 f (2? ? ) 的值. 4 3

17. (本小题满分 12 分) 某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出 7 名学生参加数学竞赛,他们取得的成绩(满分 100 分) 的茎叶图如图 3,其中甲班学生的平均分是 85,乙班学生成绩的中位数是 83. (1)求 x 和 y 的值;


(2)计算甲班 7 位学生成绩的方差 s ; (3)从成绩在 90 分以上的学生中随机抽取两名学生, 求甲班至少有一名学生的概率.
2 2 2 1 参考公式:方差 s ? ? x1 ? x ? x2 ? x ? ??? ? xn ? x ? , ? ? ? n? 2

2

乙 7 8 9 6 1 1 y 1 1 6

8 5

9

x 0 6 2

?

? ?

?

?

?

x ? x2 ? ? ? xn 其中 x ? 1 . n

图3

18.(本小题满分 14 分) 已知四棱锥 P ? ABCD 的正视图是一个底边长为 4 、腰长为 3 的等腰三角形,图 4、图 5 分别是 四棱锥 P ? ABCD 的侧视图和俯视图. (1)求证: AD ? PC ; (2)求四棱锥 P ? ABCD 的侧面 PAB 的面积.
P
2 2

2

侧视

D A
正视

C B

2

图4

图5

19. (本小题满分 14 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,数列 {S n ? 1} 是公比为 2 的等比数列,a2 是 a1 和 a3 的等比中项. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)求数列 nan 的前 n 项和 Tn .

? ?

20.(本小题满分 14 分) 已知 f

? x ? 是二次函数,不等式 f ? x ? ? x ? 的解析式;

? 0 的解集是 ? 0,5 ? ,且 f ? x ? 在点 1, f ?1? 处的切线与

?

?

直线 6 x ? y ? 1 ? 0 平行. (1)求 f

* (2)是否存在 t ?N ,使得方程 f

? x ? ? 37 x

? 0 在区间 ? t ,t ? 1? 内有两个不等的实数

根?若存在,求出 t 的值;若不存在,说明理由.

21.(本小题满分 14 分) 已知椭圆 C1 :

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的右焦点与抛物线 C2 : y 2 ? 4x 的焦点 F 重合, a 2 b2
5 . 3

椭圆 C1 与抛物线 C2 在第一象限的交点为 P , PF ? (1)求椭圆 C1 的方程;

(2) 若过点 A ? ?1,0? 的直线与椭圆 C1 相交于 M 、 N 两点,求使 FM ? FN ? FR 成立的动点 R 的 轨迹方程; (3) 若点 R 满足条件(2),点 T 是圆 x ? 1

???? ??? ? ?

??? ?

?

?

2

? y 2 ? 1 上的动点,求 RT 的最大值.

广州市 2013 届高三年级调研测试 数学(文科)试题参考答案及评分标准
说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供 参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准 给以相应的分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该 题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过该部分正确解 答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.2013-1-10 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 题号 答案 1 A 2 D 3 B 4 C 5 A 6 D 7 C 8 C 9 B 10 C

二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题. 11. 2 12.

3

13. 1

14. 2 2

15.

2

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) (本小题主要考查三角函数性质、同角三角函数的基本关系、二倍角公式等知识, 数学思想方法和运算求解能力) (1) 解: f ( x) ? sin ? 考查化归与转化的

?? ? ? x ? ? sin x ?2 ?
????? 1 分

? cos x ? sin x

?

? 2 ? 2 2? sin x ? cos x ? ? 2 ? 2 ? ?

?

? ?? 2 sin ? x ? ? . 4? ?

????? 3 分

由?

?
2

? 2k ? ? x ?

?
4

?

?
2

? 2k ? ,

????? 4 分

解得 ?

3? ? ? 2k ? ? x ? ? 2k ? , k ? Z. 4 4

????? 5 分

∴ y ? f (x) 的单调递增区间是[? (2)解:由(1)可知 f ( x ) ? ∴ f(? ?

3? ? ? 2k ? , ? 2k ? ],k ? Z. 4 4

???? 6 分

2 sin( x ?

?
4

),
????? 8 分

?
4

)?

2 sin ? ?

1 2 ,得 sin ? ? . 3 3

∴ f (2? ?

?

? ?? ) ? 2 sin ? 2? ? ? 4 2? ?
?
?

????? 9 分

2 cos 2?
2 1 ? 2 sin 2 ?

????? 10 分

?

?

????? 11 分

?

7 2 . 9

????? 12 分

17.(本小题满分 12 分) (本小题主要考查茎叶图、样本均值、样本方差、概率等知识, 及数据处理能力、运算求解能力和应用意识) (1)解:∵甲班学生的平均分是 85,

考查或然与必然的数学思想方法,以

92 ? 96 ? 80 ? 80 ? x ? 85 ? 79 ? 78 ? 85 . 7 ∴ x ? 5.
∴ ∵乙班学生成绩的中位数是 83, ∴ y ? 3. (2)解:甲班 7 位学生成绩的方差为

????? 1 分 ????? 2 分

????? 3 分

s2 ?

2 2 2 1? ? ?6? ? ? ?7 ? ? ? ?5? ? 02 ? 02 ? 72 ? 112 ? ? 40 . ? ? ? 7?

?? 5 分

(3)解:甲班成绩在 90 分以上的学生有两名,分别记为 A, B , 乙班成绩在 90 分以上的学生有三名,分别记为 C, D, E .

????? 6 分 ????? 7 分

从这五名学生任意抽取两名学生共有 10 种情况: ? A, B ? , ? A, C ? , ? A, D? ,

? A, E ? , ? B, C ? , ? B, D? , ? B, E ? , ?C, D? , ?C, E ? , ? D, E ? .

????? 9 分

其中甲班至少有一名学生共有 7 种情况: ? A, B ? , ? A, C ? , ? A, D? ,

? A, E ? , ? B, C ? , ? B, D? , ? B, E ? .
件 M ,则 P ? M ? ?

?????11 分

记“从成绩在 90 分以上的学生中随机抽取两名学生,甲班至少有一名学生”为事

7 . 10 7 . 10

答:从成绩在 90 分以上的学生中随机抽取两名学生,甲校至少有一名学生的概率为

?????12 分 18. (本小题满分14分) (本小题主要考查空间线面位置关系、三视图、几何体的侧面积等知识,考查数形结合、化归与转化 的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) (1)证明:依题意,可知点 P 在平面 ABCD 上的正射影是线段 CD 的中点 E ,连接 PE , 则 PE ? 平面 ABCD . ????? 2 分 ∵ AD ? 平面 ABCD , ∴ AD ? PE . ????? 3 分 PE ? 平面 PCD , ∵ AD ? CD , CD ? PE ? E,CD ? 平面 PCD , ∴ AD ? 平面 PCD . ????? 5 分 PC ? 平面 PCD , ∵ ∴ AD ? PC . ????? 6 分 (2)解:依题意,在等腰三角形 PCD 中, PC ? PD ? 3 , DE ? EC ? 2 , 在 Rt△ PED 中, PE ?

PD2 ? DE2 ?

5 ,????? 7 分

P

过 E 作 EF ? AB ,垂足为 F ,连接 PF , ∵ PE ? 平面 ABCD , AB ? 平面 ABCD , ∴ AB ? PE . ????? 8 分 EF ? 平面 PEF , PE ? 平面 PEF , EF ? PE ? E , ∵ ∴ AB ? 平面 PEF . ∵ PF ? 平面 PEF , ∴ AB ? PF . 依题意得 EF ? AD ? 2 . 在 Rt△ PEF 中, PF ? ∴△ PAB 的面积为 S ? ????? 9 分 ????? 10 分 ????? 11 分

D F

E B

C

A

PE 2 ? EF 2 ? 3 ,

????? 12 分

1 ?AB?PF ? 6 . 2
????? 14 分

∴四棱锥 P ? ABCD 的侧面 PAB 的面积为 6 . 19. (本小题满分 14 分)

(本小题主要考查数列、数列求和等知识, 考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法,以及抽象 概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识) (1)解:∵ {S n ? 1} 是公比为 2 的等比数列,

∴ S n ? 1 ? (S1 ? 1) ? 2n?1 ? (a1 ? 1) ? 2n?1 . ∴ S n ? (a1 ? 1) ? 2 n?1 ? 1. 从而 a2 ? S 2 ? S1 ? a1 ? 1 , a3 ? S3 ? S 2 ? 2a1 ? 2 . ∵ a2 是 a1 和 a3 的等比中项 ∴ (a1 ? 1) 2 ? a1 ? (2a1 ? 2) ,解得 a1 ? 1 或 a1 ? ?1 . 当 a1 ? ?1 时, S1 ? 1 ? 0 , {S n ? 1} 不是等比数列, ∴ a1 ? 1 . ∴ Sn ? 2n ? 1 . 当 n ? 2 时, an ? S n ? S n?1 ? 2 n?1 . ∵ a1 ? 1 符合 an ? 2 n?1 , ∴ an ? 2 n?1 . (2)解:∵ nan ? n? n ?1 , 2 ∴ Tn ? 1 ? 1 ? 2 ? 21 ? 3 ? 22 ? ? ? n? n ?1 . 2 ①

????? 1 分

????? 3 分

????? 4 分 ????? 5 分

????? 6 分 ????? 7 分

????? 8 分

????? 9 分 ????? 10 分 ????? 11 分

2 Tn ? 1 ? 21 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? n? n .② 2
① ? ②得 ?Tn ? 1 ? 2 ? 22 ? ? ? 2n ?1 ? n? n 2

?

1 ? 2n ? n?2n 1? 2

????? 12 分

? ?1 ? n ??2n ? 1 .
∴ Tn ?

????? 13 分 ????? 14 分

? n ? 1??2

n

? 1.

20.(本小题满分 14 分) (本小题主要考查二次函数、函数的性质、方程的根等知识, 考查函数与方程、分类与整合的数学思 想方法,以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识) (1)解法 1:∵ f

? x ? 是二次函数,不等式 f ? x ?

? 0 的解集是 ? 0,5 ? ,

∴可设 f

? x?

? ax ? x ? 5 ? , a ? 0 .

????? 1 分 ????? 2 分

∴ f /(x) ? 2ax ? 5a . ∵函数 f

? x ? 在点 ?1, f ?1?? 处的切线与直线 6x ?

y ? 1 ? 0 平行,
????? 3 分 ????? 4 分 ????? 5 分

/ ∴ f 1 ? ?6 .

??

∴ 2a ? 5a ? ?6 ,解得 a ? 2 . ∴f

? x?

? 2 x ? x ? 5 ? ? 2 x 2 ? 10 x .

解法 2:设 f

? x?

? ax 2 ? bx ? c ,
? 0 的解集是 ? 0,5 ? ,

∵不等式 f
2

? x?

∴方程 ax ? bx ? c ? 0 的两根为 0,5 . ∴ c ? 0,25a ? 5b ? 0 . ∵ f /(x) ? 2ax ? b . 又函数 f ① ????? 2 分

? x ? 在点 ?1, f ?1?? 处的切线与直线 6x ?


y ? 1 ? 0 平行,

/ ∴ f 1 ? ?6 .

??

∴ 2 a ? b ? ?6 . 由①②,解得 a ? 2 , b ? ?10 . ∴f

????? 3 分 ????? 4 分 ????? 5 分

? x?

? 2 x 2 ? 10 x .

(2)解:由(1)知,方程 f

? x ? ? 37 x

? 0 等价于方程 2 x3 ? 10 x2 ? 37 ? 0 .
????? 6 分

设h x 则h
/

? ?

? 2 x3 ? 10 x2 ? 37 ,
? 6 x 2 ? 20 x ? 2 x ? 3x ? 10 ? .
????? 7 分

? x?
? ?

当 x ? ? 0,

? 10 ? 10 ? / ? 时, h ? x ? ? 0 ,函数 h ? x ? 在 ? 0, ? 上单调递减; ??? 8 分 3? ? 3?

当x ? ?

? 10 ? ? 10 ? , ?? ? 时, h / ? x ? ? 0 ,函数 h ? x ? 在 ? , ?? ? 上单调递增. ? 9 分 ?3 ? ? 3 ? ? 10 ? 1 ? 0,h ? 4 ? ? 5 ? 0 , ? ? ? 27 ?3?
????? 12 分

∵ h 3 ? 1 ? 0,h ?

??

∴方程 h x

? ?

? 10 ? ? 10 ? ? 0 在区间 ? 3, ? , ? ,4 ? 内分别有唯一实数根,在区间 ? 0,3 ? , ? 3? ? 3 ?
????? 13 分

? 4,?? ? 内没有实数根.
∴存在唯一的自然数 t ? 3 ,使得方程 f 等的实数根. 21.(本小题满分 14 分)

? x ? ? 37 x

? 0 在区间 ? t ,t ? 1? 内有且只有两个不
????? 14 分

(本小题主要考查求曲线的轨迹方程、直线、椭圆、抛物线等知识, 考查数形结合、化归与转化、函 数与方程的数学思想方法,以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识) (1)解法 1:抛物线 C2 : y 2 ? 4 x 的焦点 F 的坐标为 ?1,0 ? ,准线为 x ? ?1 , 设点 P 的坐标为 ? x0 , y0 ? ,依据抛物线的定义,由 PF ?

5 5 2 ,得 1 ? x0 ? , 解得 x0 ? . 3 3 3
????? 1 分

∵ 点 P 在抛物线 C2 上,且在第一象限, ∴ y0 ? 4 x0 ? 4 ?
2

2 2 6 ,解得 y0 ? . 3 3
????? 2 分

∴点 P 的坐标为 ?

?2 2 6? ? 3, 3 ?. ? ? ?

∵点 P 在椭圆 C1 :
2

x2 y 2 ? ? 1 上, a 2 b2
2 2 2



4 8 ? 2 ?1. 2 9a 3b

????? 3 分

又 c ? 1 ,且 a ? b ? c ? b ? 1 , 解得 a ? 4, b ? 3 .
2 2

????? 4 分

∴椭圆 C1 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

????? 5 分

解法 2: 抛物线 C2 : y 2 ? 4 x 的焦点 F 的坐标为 ?1,0 ? , 设点 P 的坐标为 x0 , y0 , x0 ? 0, y0 ? 0 . ∵ PF ?

?

?

5 , 3

∴ x0 ? 1

?

?

2

2 ? y0 ?

25 . 9



????? 1 分

∵点 P 在抛物线 C2 : y 2 ? 4 x 上,
2 ∴ y0 ? 4x0 .



解①②得 x0 ?

2 2 6 , y0 ? . 3 3

∴点 P 的坐标为 ? ?

?2 2 6? , ?. 3 3 ? ? ?

????? 2 分

∵点 P 在椭圆 C1 :
2

x2 y 2 ? ? 1 上, a 2 b2
2 2 2



4 8 ? 2 ?1. 2 9a 3b

????? 3 分

又 c ? 1 ,且 a ? b ? c ? b ? 1 , 解得 a ? 4, b ? 3 .
2 2

????? 4 分

x2 y 2 ? ? 1. ∴椭圆 C1 的方程为 4 3
(2)解法 1:设点 M

????? 5 分

? x1 , y1 ? 、 N ? x2 , y2 ? 、 R ? x, y ? ,
???? ??? ?

则 FM ? ? x1 ? 1, y1 ? , FN ? ? x2 ? 1, y2 ? , FR ? ? x ? 1, y ? . ∴ FM ? FN ? ? x1 ? x2 ? 2, y1 ? y2 ? . ∵ FM ? FN ? FR , ∴ x1 ? x2 ? 2 ? x ? 1, y1 ? y2 ? y . ① ????? 6 分

???? ?

???? ???? ?

???? ??? ? ?

??? ?

∵ M 、 N 在椭圆 C1 上, ∴

x12 y12 x2 y 2 ? ? 1, 2 ? 2 ? 1. 4 3 4 3

上面两式相减得

? x1 ? x2 ?? x1 ? x2 ? ? y1 ? y2 ?? y1 ? y2 ?
4 ? 3

? 0 .②

把①式代入②式得

? x ? 1?? x1 ? x2 ? ? y ? y1 ? y2 ? ? 0 .
4 3
③ ????? 7 分

当 x1 ? x2 时,得

3 ? x ? 1? y1 ? y2 . ?? x1 ? x2 4y
? x ?1 y ? , ?. ? 2 2?

设 FR 的中点为 Q ,则 Q 的坐标为 ? ∵ M 、 N 、 Q 、 A 四点共线,

∴ kMN

y y ?y y 2 . ? ? kAQ , 即 1 2 ? x ?1 x1 ? x2 x?3 ?1 2



????? 8 分

把④式代入③式,得

3 ? x ? 1? y , ?? x?3 4y

2 2 化简得 4 y ? 3 x ? 4 x ? 3 ? 0 .

?

?

????? 9 分

当 x1 ? x2 时,可得点 R 的坐标为 ? ?3,0? ,
2 2 经检验,点 R ? ?3,0? 在曲线 4 y ? 3 x ? 4 x ? 3 ? 0 上. 2 2 ∴动点 R 的轨迹方程为 4 y ? 3 x ? 4 x ? 3 ? 0 .

?

?

?

?

????? 10 分

解法 2:当直线 MN 的斜率存在时,设直线 MN 的方程为 y ? k x ? 1 ,

?

?

? y ? k ? x ? 1? , ? 2 2 2 2 由 ? x2 消去 y ,得 3 ? 4k x ? 8k x ? 4k ? 12 ? 0 . y2 ? ? 1, ? 3 ?4

?

?

设点 M

? x1 , y1 ? 、 N ? x2 , y2 ? 、 R ? x, y ? ,

8k 2 则 x1 ? x2 ? ? , 3 ? 4k 2
y1 ? y2 ? k ? x1 ? 1? ? k ? x2 ? 1? ? k ? x1 ? x2 ? 2 ? ? 6k .?6 分 3 ? 4k 2

∵ FM ? ? x1 ? 1, y1 ? , FN ? ? x2 ? 1, y2 ? , FR ? ? x ? 1, y ? . ∴ FM ? FN ? ? x1 ? x2 ? 2, y1 ? y2 ? . ∵ FM ? FN ? FR , ∴ x1 ? x2 ? 2 ? x ? 1, y1 ? y2 ? y . ∴ x ? 1 ? x1 ? x2 ? ?

???? ?

????

??? ?

???? ???? ?

???? ??? ? ?

??? ?

8k 2 , 3 ? 4k 2



y ?

6k . 3 ? 4k 2



????? 7 分

① ? ②得 k ? ?

3 ? x ? 1? 4y





????? 8 分

2 2 把③代入②化简得 4 y ? 3 x ? 4 x ? 3 ? 0 . (*)

?

?

????? 9 分

当直线 MN 的斜率不存在时,设直线 MN 的方程为 x ? ?1 , 依题意, 可得点 R 的坐标为 ? ?3,0? ,
2 2 经检验,点 R ? ?3,0? 在曲线 4 y ? 3 x ? 4 x ? 3 ? 0 上. 2 2 ∴动点 R 的轨迹方程为 4 y ? 3 x ? 4 x ? 3 ? 0 . 2 2 (3)解: 由(2)知点 R x, y 的坐标满足 4 y ? 3 x ? 4 x ? 3 ? 0 , 2 2 即 4 y ? ?3 x ? 4 x ? 3 , 2 由 y 2 ? 0 ,得 ?3 x ? 4 x ? 3 ? 0 ,解得 ?3 ? x ? ?1 .

?

?

?

?

????? 10 分

?

?

?

?

?

?

?

?

????? 11 分

∵圆 x ? 1 ∴ RF ?

?

?

2

? y 2 ? 1 的圆心为 F ?1,0 ? ,半径 r ? 1 ,
2

? x ? 1?
1 2

? y2 ?
2

? x ? 1?

2

?

3 2 x ? 4x ? 3 4

?

?
????? 12 分

?

? x ? 10?
max

? 105 .
? 4,

∴当 x ? ?3 时, RF

????? 13 分

此时, RT

max

? 4 ? 1 ? 5.

????? 14 分


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