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函数单调性


函数单调性 基础盘查一 函数的单调性 1.判断正误 (1)所有的函数在其定义域上都具有单调性( ) (2)函数 f(x)为 R 上的减函数,则 f(-3)>f(3)( ) (3)在增函数与减函数的定义中,可以把“任意两个自变量”改为“存在两个自 变量”( ) (4)函数 y= 的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞)(
1

)

(5)函数 y=f(x)在[1, +∞)上是增函数, 则函数的单调递增区间是[1, +∞)( ) 2.(人教 A 版教材习题改编)函数 y= 2 -2x(x∈[2,4])的增区间为________. 3.若函数 y=(2k+1)x+b 在(-∞,+∞)上是减函数,则 k 的取值范围是 ________.
基础盘查二 函数的最值 4.判断正误 (1)所有的单调函数都有最值( ) (2)函数 y= 在[1,3]上的最小值为3( ) 5.(人教 A 版教材例题改编)已知函数 f(x)=2 x-1(x∈[2,6]),则函数的最大值为________. 【答案】1.(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)×;2.[2,4];3. (-∞,-1) 2. 4.(1)× (2)√;5.2 考点一:函数单调性的判断 [必备知识 1]:单调性的定义 设函数 f(x)的定义域为 I,区间 D?I,如果对于任意1 ,2 ∈D,且1 <2 ,则有: (1)f(x)在区间 D 上是增函数?f(1 )<f(2 ); (2)f(x)在区间 D 上是减函数?f(1 )>f(2 ). 设1 ,2 ∈[a,b],如果[f(1 )-f(2 )](1 -2 )>0 或者 则 f(x)在[a,b]上是单调递增函数, 如果[f(1 )-f(2 )](1 -2 )<0 或者
f ( 1 )-f ( 2 ) 1 - 2 f ( 1 )-f ( 2 ) 1 - 2 1 1

> 0;

<0;则 f(x)在[a,b]上是单调

递减函数. [必备知识 2]:确定单调性的方法 (1) 利用已知函数的单调性,即转化为已知函数的和、差或复合函数,求单调区间. (2)定义法:先求定义域,再取值—作差—变形—确定符号—下结论. (3)图象法:如果 f(x)是以图象形式给出的,或者 f(x)的图象易作出,可由图象的直观性写出 它的单调区间. 典型例题: 【例 1】下列四个函数中,在(0,+∞)上为增函数的是( ) A.f(x)=3-x B.f(x)= 2 -3x C.f(x)=-
1 ?1

+1

D.f(x)=-|x|

【例 2】判断函数 g(x)=

?2 ?1

在(1,+∞)上的单调性.

考点二:求函数的单调区间 [必备知识 2]:求函数的单调区间与确定单调性的方法一致 典题例析 【例 3】 求下列函数的单调区间. (1) f(x)=3|x|; (2)f(x)=| 2 +2x-3|; (3)y=- 2 +2|x|+1 【例 4】求函数 y= 2 + x ? 6的单调区间. 考点三:函数单调性的应用 [必备知识 3]复合函数单调性的判断 利用函数单调性求最值的常用结论:如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间 [b,c]上单调递减,则函数 y=f(x),x∈[a,c]在 x=b 处有最大值 f(b);如果函数 y=f(x) 在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增,则函数 y=f(x),x∈[a,c]在 x=b 处有最小值 f(b). 多角探明】函数单调性的应用,归纳起来常见的命题角度有: (1)求函数的值域或最值; (2)比较两个函数值或两个自变量的大小; (3)解函数不等式; (4)利用单调性求参数的取值范围或值. 角度一:求函数的值域或最值 角度二:比较函数值或自变量的大小 角度三:解函数不等式 角度四:利用单调性求参数的取值范围或值 [类题通法 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 (1)比较大小.比较函数值的大小,应将自变量转化到同一个单调区间内,然后利用 函数的单调性解决. (2)解不等式.在求解与抽象函数有关的不等式时,往往是利用函数 的单调性将“f”符号脱掉,使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义 域. (3)利用单调性求参数. ①视参数为已知数,依据函数的图象或单调性定义,确定函数单调区间,与已知单 调区间比较求参数; ②需注意若函数在区间[a,b]上是单调的,则该函数在此区间的任 意子集上也是单调的. (4)利用单调性求最值.应先确定函数的单调性,然后再由单调性求出最值.


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