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浙江省温州市2016年高考数学一模试卷(理科) Word版含解析


2016 年浙江省温州市高考数学一模试卷(理科)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分.共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项符合题目要求的. 1.已知集合 A={x|y=lgx},B={x|x2﹣2x﹣3<0},则 A∩B=( ) A. B. D. (﹣1,0) (0,3) C. (﹣∞,0)∪(3,+∞) (﹣1,3) 2.已知 a,b 为异面直线,下列结论不正确的是( ) A.必存在平面 α 使得 a∥α,b∥α B.必存在平面 α 使得 a,b 与 α 所成角相等 C.必存在平面 α 使得 a?α,b⊥α D.必存在平面 α 使得 a,b 与 α 的距离相等

3.已知实数 x,y 满足

,则 x﹣y 的最大值为(



A.1 B.3 C.﹣1 D.﹣3 4.已知直线 l:y=kx+b,曲线 C:x2+y2﹣2x=0,则“k+b=0”是“直线 l 与曲线 C 有公共点”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.设函数 y=f(x)是定义在 R 上的偶函数,对任意的 x∈R 都有 f(x+6)=f(x)+f(3) , 则满足上述条件的 f(x)可以是( ) A.f(x)=cos B. C.f(x)=2cos2 D.f(x)=2cos2

6.如图,已知 F1、F2 为双曲线 C: 象限,且满足 =5 = , ( )? )

(a>0,b>0)的左、右焦点,点 P 在第一

=0,线段 PF2 与双曲线 C 交于点 Q,若

,则双曲线 C 的渐近线方为(

A.y=±

B.y=±

C.y=±

D.y=±

7.已知集合 M={(x,y)|x2+y2≤1},若实数 λ,μ 满足:对任意的(x,y)∈M,都有(λx, μy)∈M,则称(λ,μ)是集合 M 的“和谐实数对”.则以下集合中,存在“和谐实数对”的是 ( ) A.{(λ,μ)|λ+μ=4} B.{(λ,μ)|λ2+μ2=4} C.{(λ,μ)|λ2﹣4μ=4} D.{(λ,μ) |λ2﹣μ2=4} 8.如图,在矩形 ABCD 中,AB=2,AD=4,点 E 在线段 AD 上且 AE=3,现分别沿 BE, CE 将△ ABE,△ DCE 翻折,使得点 D 落在线段 AE 上,则此时二面角 D﹣EC﹣B 的余弦值

为(



A.

B.

C.

D.

二、填空题:本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分. 9.已知 f(x)= 数为 . , 则角 B= AC= , ,表面积 . ,则 f(f(﹣2) )= ,函数 f(x)的零点的个

10. AB=1, BC= 已知钝角△ ABC 的面积为 ,

11.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 为 .

12. a3+S3,a4+S4 已知公比 q 不为 1 的等比数列{an}的首项 a1= ,前 n 项和为 Sn, 且 a2+S2, 成等差数列,则 q= ,S6= .

13.已知 f(x)=ln(x+ ﹣a) ,若对任意的 m∈R,均存在 x0>0 使得 f(x0)=m,则实数 a 的取值范围是 . 14.已知△ ABC 中,| |=1, + ,则 ? 的最小值等于 =2,点 P 为线段 BC 的动点,动点 Q 满足 . = +

?

15.已知斜率为 的直线 l 与抛物线 y2=2px(p>0)交于 x 轴上方的不同两点 A、B,记直 线 OA,OB 的斜率分别为 k1,k2,则 k1+k2 的取值范围是 .

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.已知 2sinαtanα=3,且 0<α<π. (I)求 α 的值; (Ⅱ)求函数 f(x)=4cosxcos(x﹣α)在[0, ]上的值域.

17.如图,在三棱锥 D﹣ABC 中,DA=DB=DC,D 在底面 ABC 上的射影为 E,AB⊥BC, DF⊥AB 于 F (Ⅰ)求证:平面 ABD⊥平面 DEF (Ⅱ)若 AD⊥DC,AC=4,∠BAC=60°,求直线 BE 与平面 DAB 所成的角的正弦值.

18.已知函数 f(x)=(x﹣t)|x|(t∈R) . (Ⅰ)求函数 y=f(x)的单调区间; (Ⅱ)当 t>0 时,若 f(x)在区间[﹣1,2]上的最大值为 M(t) ,最小值为 m(t) ,求 M(t) ﹣m(t)的最小值. 19.如图,已知椭圆 C: + =1(a>b>0)经过点(1, ) ,且离心率等于 .点 A, .

B 分别为椭圆 C 的左、 M, N 是椭圆 C 上非顶点的两点, 右顶点, 且△ OMN 的面积等于 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过点 A 作 AP∥OM 交椭圆 C 于点 P,求证:BP∥ON.

20.如图,已知曲线 C1:y=

(x>0)及曲线 C2:y=

(x>0) ,C1 上的点 P1 的横坐标

为 a1(0<a1< ) .从 C1 上的点 Pn(n∈N+)作直线平行于 x 轴,交曲线 C2 于点 Qn,再从 点 Qn 作直线平行于 y 轴,交曲线 C1 于点 Pn+1.点 Pn(n=1,2,3,…)的横坐标构成数列 {an}

(Ⅰ)试求 an+1 与 an 之间的关系,并证明:a2n﹣1< (Ⅱ)若 a1= ,求证:|a2﹣a1|+|a3﹣a2|+…+|an+1﹣an|< .



2016 年浙江省温州市高考数学一模试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分.共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项符合题目要求的. 1.已知集合 A={x|y=lgx},B={x|x2﹣2x﹣3<0},则 A∩B=( ) A. B. D. (﹣1,0) (0,3) C. (﹣∞,0)∪(3,+∞) (﹣1,3) 【考点】交集及其运算. 【分析】分别求出集合 A,B,从而求出其交集即可. 【解答】解:∵集合 A={x|y=lgx}={x|x>0|, B={x|x2﹣2x﹣3<0}={x|﹣1<x<3}, 则 A∩B=(0,3) , 故选:B. 2.已知 a,b 为异面直线,下列结论不正确的是( ) A.必存在平面 α 使得 a∥α,b∥α B.必存在平面 α 使得 a,b 与 α 所成角相等 C.必存在平面 α 使得 a?α,b⊥α D.必存在平面 α 使得 a,b 与 α 的距离相等 【考点】空间中直线与直线之间的位置关系. 【分析】在 C 中,当 a,b 不垂直时,不存在平面 α 使得 a?α,b⊥α.其它三种情况都成立. 【解答】解:由 a,b 为异面直线,知: 在 A 中,在空间中任取一点 O,过 O 分别作 a,b 的平行线, 则由过 O 的 a,b 的平行线确一个平面 α,使得 a∥α,b∥α,故 A 正确; 在 B 中,平移 b 至 b'与 a 相交,因而确定一个平面 α, 在 α 上作 a,b'交角的平分线,明显可以做出两条. 过角平分线且与平面 α 垂直的平面 α 使得 a,b 与 α 所成角相等. 角平分线有两条,所以有两个平面都可以.故 B 正确; 在 C 中,当 a,b 不垂直时,不存在平面 α 使得 a?α,b⊥α,故 C 错误; 在 D 中,过异面直线 a,b 的公垂线的中点作与公垂线垂直的平面 α, 则平面 α 使得 a,b 与 α 的距离相等,故 D 正确. 故选:C.

3.已知实数 x,y 满足

,则 x﹣y 的最大值为(



A.1

C.﹣1 D.﹣3 【考点】简单线性规划. 【分析】令 z=x﹣y,从而化简为 y=x﹣z,作平面区域,结合图象求解即可. 【解答】解:令 z=x﹣y,则 y=x﹣z, 由题意作平面区域如下,

B.3



结合图象可知, 当过点 A(3,0)时,x﹣y 取得最大值 3, 故选 B. 4.已知直线 l:y=kx+b,曲线 C:x2+y2﹣2x=0,则“k+b=0”是“直线 l 与曲线 C 有公共点”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】联立方程组,得到(1+k2)x2+(2kb﹣2)x+b2=0,根据△ =(2kb﹣2)2﹣4(1+k2) b2≥0,得到 b(k+b)﹣1≤0,结合充分必要条件判断即可. 【解答】解:由直线 l:y=kx+b,曲线 C:x2+y2﹣2x=0, 得: ,

∴(1+k2)x2+(2kb﹣2)x+b2=0, 若直线和曲线有公共点, 则△ =(2kb﹣2)2﹣4(1+k2)b2≥0, ∴b(k+b)﹣1≤0, 则“k+b=0”是“直线 l 与曲线 C 有公共点”的充分不必要条件, 故选:A. 5.设函数 y=f(x)是定义在 R 上的偶函数,对任意的 x∈R 都有 f(x+6)=f(x)+f(3) , 则满足上述条件的 f(x)可以是( ) A.f(x)=cos B. C.f(x)=2cos2 D.f(x)=2cos2

【考点】抽象函数及其应用.

=0, 【分析】 根据抽象函数关系结合函数奇偶性的性质求出 f (3) 从而得到函数的周期是 6, 结合三角函数的周期性进行判断即可. 【解答】解:∵f(x+6)=f(x)+f(3) , ∴f(﹣3+6)=f(﹣3)+f(3) , ∴f(﹣3)=0,函数 f(x)是偶函数, ∴f(3)=0. ∴f(x+6)=f(x)+0=f(x) , ∴f(x)是以 6 为周期的函数, A.函数的周期 T= =6,f(3)=cosπ=﹣1,不满足条件 f(3)=0.

B. C.f(x)=2cos2 足条件. D.f(x)=2cos2 故选:C.

是奇函数,不满足条件.

=1+cos

,则函数的周期是 T=

=6,f(3)=1+cosπ=1﹣1=0,满

=1+cos

,则函数的周期是 T=

=12,不满足条件.

6.如图,已知 F1、F2 为双曲线 C: = , (

(a>0,b>0)的左、右焦点,点 P 在第一

象限,且满足 =5

)? )

=0,线段 PF2 与双曲线 C 交于点 Q,若

,则双曲线 C 的渐近线方为(

A.y=±

B.y=±

C.y=±

D.y=±

【考点】双曲线的标准方程.

|PF1|=|F1F2|2c, |QF1|= 【分析】 由题意,

a, |QF2|= a, 由余弦定理可得

=

,确定 a,b 的关系,即可求出双曲线 C 的渐近线方程.

【解答】解:由题意, (

)?

=0,∴|PF1|=|F1F2|=2c,|QF1|=

a,|QF2|= a,

∴由余弦定理可得

=



∴c=

a,

∴b= a, ∴双曲线 C 的渐近线方程为 y= 故选:B. 7.已知集合 M={(x,y)|x2+y2≤1},若实数 λ,μ 满足:对任意的(x,y)∈M,都有(λx, μy)∈M,则称(λ,μ)是集合 M 的“和谐实数对”.则以下集合中,存在“和谐实数对”的是 ( ) A.{(λ,μ)|λ+μ=4} B.{(λ,μ)|λ2+μ2=4} C.{(λ,μ)|λ2﹣4μ=4} D.{(λ,μ) |λ2﹣μ2=4} 【考点】曲线与方程. 【分析】由题意,λ2x2+μ2y2≤λ2+μ2≤1,问题转化为 λ2+μ2≤1 与选项有交点,代入验证,可得 结论. 【解答】解:由题意,λ2x2+μ2y2≤λ2+μ2≤1, 问题转化为 λ2+μ2≤1 与选项有交点,代入验证,可得 C 符合. 故选:C. 8.如图,在矩形 ABCD 中,AB=2,AD=4,点 E 在线段 AD 上且 AE=3,现分别沿 BE, CE 将△ ABE,△ DCE 翻折,使得点 D 落在线段 AE 上,则此时二面角 D﹣EC﹣B 的余弦值 x.

为(



A.

B.

C.

D.

【考点】二面角的平面角及求法.

∴∠BOD 【分析】 在折叠前的矩形中连接 BD 交 EC 于 O, 得到 BD⊥CE, 从而得到折起后, 是二面角 D﹣EC﹣B 的平面角,利用余弦定理进行求解即可. 【解答】解:在折叠前的矩形中连接 BD 交 EC 于 O, ∵BC=4,CD=2,CD=2,DE=1, ∴ ,即△ BCD∽△CDE,

∴∠DBC=∠ECD, ∴∠DBC=∠ECD, ∴∠ECD+∠ODC=90°,即 BD⊥CE, 折起后, ∵BD⊥CE,DO⊥CE, ∴∠BOD 是二面角 D﹣EC﹣B 的平面角, 在△ BOD 中,OD= BD= =2 ,OB=BD﹣OD=2 , ﹣ = ,

由余弦定理得 cos∠BDO= 故选:D.

= ,

二、填空题:本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分. 9. = 已知 f (x) = 14 , , 则f (f (﹣2) ) 函数 f (x) 的零点的个数为 1 .

【考点】函数零点的判定定理;函数的值. 【分析】根据 x<0 与 x≥0 时 f(x)的解析式,确定出 f(f(﹣2) )的值即可;令 f(x)=0, 确定出 x 的值,即可对函数 f(x)的零点的个数作出判断. 【解答】解:根据题意得:f(﹣2)=(﹣2)2=4, 则 f(f(﹣2) )=f(4)=24﹣2=16﹣2=14; 令 f(x)=0,得到 2x﹣2=0,

解得:x=1, 则函数 f(x)的零点个数为 1, 故答案为:14;1.

10.已知钝角△ ABC 的面积为 ,AB=1,BC= 【考点】正弦定理.

,则角 B=

,AC=



【分析】利用已知及三角形面积公式可求 sinB,可求 B=



,分类讨论:当 B=

时,

由余弦定理可得 AC=1,可得 AB2+AC2=BC2,为直角三角形,舍去,从而利用余弦定理可 得 AC 的值. 【解答】解:∵钝角△ ABC 的面积为 ,AB=1,BC= ∴ = ∴B= 1× 或 ×sinB,解得:sinB= , 时,由余弦定理可得 AC= =1, ,为直角三角形,矛盾,舍去. = , ,

∵当 B= =

此时,AB2+AC2=BC2,可得 A= ∴B= = , ; . ,由余弦定理可得 AC=

故答案为:

11.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 12 ,表面积为 36



【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】根据三视图作出棱锥的直观图,根据三视图数据计算体积和表面积. 【解答】解:由三视图可知几何体为四棱锥,作出直观图如图所示:

其中底面 ABCD 是边长为 3 正方形,EA⊥底面 ABCD,EA=4. ∴棱锥的体积 V= .

棱锥的四个侧面均为直角三角形,EB=ED=5, ∴棱锥的表面积 S=32+ 故答案为 12;36. + =36.

12. a3+S3,a4+S4 已知公比 q 不为 1 的等比数列{an}的首项 a1= ,前 n 项和为 Sn, 且 a2+S2, 成等差数列,则 q= ,S6= .

【考点】等比数列的前 n 项和;等比数列的通项公式. a3+S3, a4+S4 成等差数列, =a4+S4+a2+S2, 3a3=2a4+a2, 【分析】 由 a2+S2, 可得 2 (a3+S3) 化为: 利用等比数列的通项公式解得 q.再利用等比数列的前 n 项和公式即可得出. 【解答】解:∵a2+S2,a3+S3,a4+S4 成等差数列,∴2(a3+S3)=a4+S4+a2+S2, ∴2(2a3+a2+a1)=2a4+a3+3a2+2a1,化为:3a3=2a4+a2,∴ 3q+1=0,q≠1,解得 q= . ,化为 2q2﹣

S6=

=

=



故答案分别为: ;



13.已知 f(x)=ln(x+ ﹣a) ,若对任意的 m∈R,均存在 x0>0 使得 f(x0)=m,则实数 a 的取值范围是 [4,+∞) . 【考点】对数函数的图象与性质. 【分析】令 t=x+ ﹣a,求出 t 的范围,于是函数 y=lnt,根据对数函数的性质,求出 a 的范 围即可.

【解答】解:令 t=x+ ﹣a,易知 t∈[4﹣a,+∞) 于是函数 y=lnt,t≥4﹣a, 显然当 4﹣a≤0 时便有 t≥0 恒成立, 即 a≥4, 故答案为:[4,+∞) . 14.已知△ ABC 中,| + ,则 ? |=1, ? =2,点 P 为线段 BC 的动点,动点 Q 满足 . = +

的最小值等于 ﹣

【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】建立平面直角坐标系,根据| (0,b) ,使用坐标求出

|=1,

?

=2 得出 B,C 坐标,设 P(a,0) ,A

的表达式,根据 a 的范围求出最小值.

【解答】解:以 BC 所在直线为 x 轴,以 BC 边的高为 y 轴建立平面直角坐标系,如图. ∵ ,∴B(﹣2,0) ,C(﹣1,0) , 设 P(a,0) ,A(0,b) ,则﹣2≤a≤﹣1. ∴ =(﹣a,b) , =(﹣2﹣a,0) , =(﹣1﹣a,0) . ∴ =(﹣3﹣3a,b) , ∴ =(﹣2﹣a) (﹣3﹣3a)=3a2+9a+6=3(a+ )2﹣ . 取得最小值﹣ . .

∴当 a=﹣ 时, 故答案为:

15.已知斜率为 的直线 l 与抛物线 y2=2px(p>0)交于 x 轴上方的不同两点 A、B,记直 线 OA,OB 的斜率分别为 k1,k2,则 k1+k2 的取值范围是 (2,+∞) . 【考点】抛物线的简单性质. 【分析】直线方程为 y= x+b,即 x=2y﹣2b,代入抛物线 y2=2px,可得 y2﹣4py+4pb=0,利 用韦达定理,结合斜率公式,即可求出 k1+k2 的取值范围. 【解答】解:设直线方程为 y= x+b,即 x=2y﹣2b,

代入抛物线 y2=2px,可得 y2﹣4py+4pb=0, △ =16p2﹣16pb>0,∴p>b 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,得 y1+y2=4p,y1y2=4pb, k1+k2= = + = = =

>2.

故答案为: (2,+∞) . 三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.已知 2sinαtanα=3,且 0<α<π. (I)求 α 的值; (Ⅱ)求函数 f(x)=4cosxcos(x﹣α)在[0, ]上的值域.

【考点】两角和与差的余弦函数. 【分析】 (Ⅰ)由已知推导出 2cos2α+3cosα﹣2=0,由此能求出 α. f =4cosxcos =2sin (Ⅱ) (x) (x﹣α) (2x+ +1, ) 由 ]上的值域. , 得 2x+ ∈[ ],

由此能求出函数 f(x)=4cosxcos(x﹣α)在[0, 【解答】解: (Ⅰ)∵2sinαtanα=3,且 0<α<π. 2 ∴2sin α=3cosα, ∴2﹣2cos2α=3cosα, ∴2cos2α+3cosα﹣2=0, 解得 或 cosα=﹣2(舍) , .

∵0<α<π,∴α= (Ⅱ)∵α= ,

∴f(x)=4cosxcos(x﹣α) =4cosx(cosxcos +sinxsin )

=2cos2x+2 sinxcosx = +cos2x+1 =2sin(2x+ ∵ ∴2≤2sin(2x+ )+1, ,∴2x+ )+1≤3, ]上的值域为[2,3]. ∈[ ],

∴函数 f(x)=4cosxcos(x﹣α)在[0,

17.如图,在三棱锥 D﹣ABC 中,DA=DB=DC,D 在底面 ABC 上的射影为 E,AB⊥BC, DF⊥AB 于 F (Ⅰ)求证:平面 ABD⊥平面 DEF (Ⅱ)若 AD⊥DC,AC=4,∠BAC=60°,求直线 BE 与平面 DAB 所成的角的正弦值.

【考点】直线与平面所成的角;平面与平面垂直的判定. 【分析】 (I)由 DE⊥平面得出 DE⊥AB,又 DF⊥AB,故而 AB⊥平面 DEF,从而得出平 面 ABD⊥平面 DEF; (II) 以 E 为坐标原点建立空间直角坐标系, 求出 和平面 DAB 的法向量 , 则|cos<

>|即为所求. 【解答】证明: (Ⅰ)∵DE⊥平面 ABC,AB?平面 ABC, ∴AB⊥DE,又 AB⊥DF,DE,DF?平面 DEF,DE∩DF=D, ∴AB⊥平面 DEF, 又∵AB?平面 ABD, ∴平面 ABD⊥平面 DEF. (Ⅱ)∵DA=DC,DE⊥AC,AC=4,AD⊥CD,∴E 为 AC 的中点,DE= ∵AB⊥BC,AC=4,∠BAC=60°,∴AB= . =2.

以 E 为原点建立如图所示的空间直角坐标系, 则 E(0,0,0) ,A(0,﹣2,0) ,D(0,0,2) ,B( ,﹣1,0) . ∴ =(0,﹣2,﹣2) , =( ,﹣1,﹣2) , =( ,﹣1,0) . 设平面 DAB 的法向量为 =(x,y,z) . 则 ,∴ ,令 z=1,得 =( ,﹣1,1) .



=2,| |=

,|

|=2,

∴cos<

>=

=



∴BE 与平面 DAB 所成的角的正弦值为



18.已知函数 f(x)=(x﹣t)|x|(t∈R) . (Ⅰ)求函数 y=f(x)的单调区间; (Ⅱ)当 t>0 时,若 f(x)在区间[﹣1,2]上的最大值为 M(t) ,最小值为 m(t) ,求 M(t) ﹣m(t)的最小值. 【考点】函数的最值及其几何意义;函数的单调性及单调区间. 【分析】 (Ⅰ)根据分段函数的表达式,结合一元二次函数的性质即可求函数 y=f(x)的单 调区间; (Ⅱ)讨论 t 的范围,结合一元二次函数的性质求出函数的最值进行求解即可. 【解答】 (Ⅰ)解: (1) ,…

当 t>0 时,f(x)的单调增区间为 当 t=0 时,f(x)的单调增区间为(﹣∞,+∞)… 当 t<0 时,f(x)的单调增区间为[0,+∞) , 0) (Ⅱ) 由 (Ⅰ) 知 t>0 时 f (x) 在 (﹣∞, 上递增, 在 上递增 从而 当 即 t≥4 时,M(t)=f(0)=0,…,

,单调减区间为[0, ]…

,单调减区间为 上递减, 在



m(t)=min{f(﹣1) ,f(2)}=min{﹣1﹣t,4﹣2t}… 4 t 5 m ≤ ≤ 所以,当 时, (t)=﹣1﹣t, 故 M(t)﹣m(t)=1+t≥5… 当 t>5 时,m(t)=4﹣2t,故 M(t)﹣m(t)=2t﹣4>6… 当 <2≤t,即 2≤t<4 时,M(t)=f(0)=0,m(t)=min{f(﹣1) ,f( )}=min{﹣1﹣t, ﹣ }=﹣1﹣t,…

所以,M(t)﹣m(t)=t+1≥3… 当 0<t<2 时,M(t)=f(2)=4﹣2t… m(t)=min{f(﹣1) ,f( )}=min{﹣1﹣t,﹣ }=﹣1﹣t,…

所以,M(t)﹣m(t)=5﹣t>3… 综上所述,当 t=2 时,M(t)﹣m(t)取得最小值为 3.…

19.如图,已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)经过点(1,

) ,且离心率等于

.点 A, .

B 分别为椭圆 C 的左、 M, N 是椭圆 C 上非顶点的两点, 右顶点, 且△ OMN 的面积等于 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过点 A 作 AP∥OM 交椭圆 C 于点 P,求证:BP∥ON.

【考点】椭圆的简单性质. 【分析】 (Ⅰ)运用椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程,以及 a,b,c 的关系,解得 a,b, 即可得到椭圆方程; (Ⅱ)解法一、设直线 OM,ON 的方程为 y=kOMx,y=kONx,代入椭圆方程,求得 M,N 的坐标,求出△ OMN 的面积,由条件可得 .设 P(xP,yP) ,则 ,

又已知 kAP=kOM,即证 kBP=kON 即可; 解法二、设直线 AP 的方程为 y=kOM(x+2) ,代入 x2+2y2=4,求出 P 的坐标和 BP 的斜率, 所以只需证 ,即 ,即可得到证明. ,a2﹣b2=c2,

【解答】解: (Ⅰ)由题意得,e= = 代入点(1, 解得,a=2,b= ) ,可得 , + =1; + =1,

故椭圆 C 的方程为

(Ⅱ)解法一:如图所示,设直线 OM,ON 的方程为 y=kOMx,y=kONx, 联立方程组 ,解得 ,

同理可得 作 MM'⊥x 轴,NN'⊥x 轴,M',N'是垂足, S△ OMN=S 梯形 MM'N'N﹣S△ OMM'﹣S△ ONN'=



=

=

=



已知 S△ OMN=

,化简可得 ,



设 P(xP,yP) ,则

又已知 kAP=kOM,所以要证 kBP=kON, 只要证明 ,





所以可得 BP∥ON. (M,N 在 y 轴同侧同理可得) . 解法二:设直线 AP 的方程为 y=kOM(x+2) ,代入 x2+2y2=4, 得 ,它的两个根为﹣2 和 xP,

可得





从而



所以只需证

,即

, ,

设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,若直线 MN 的斜率不存在,易得 从而可得 ,

若直线 MN 的斜率存在,设直线 MN 的方程为 y=kx+m, 代入 得(2k2+1)x2+4kmx+2m2﹣4=0,





,△ =8(4k2+2﹣m2)>0,

, 化得 m4﹣(4k2+2)m2+(2k2+1)2=0,得 m2=2k2+1, . 故 BP∥ON.

20.如图,已知曲线 C1:y=

(x>0)及曲线 C2:y=

(x>0) ,C1 上的点 P1 的横坐标

为 a1(0<a1< ) .从 C1 上的点 Pn(n∈N+)作直线平行于 x 轴,交曲线 C2 于点 Qn,再从 点 Qn 作直线平行于 y 轴,交曲线 C1 于点 Pn+1.点 Pn(n=1,2,3,…)的横坐标构成数列 {an} (Ⅰ)试求 an+1 与 an 之间的关系,并证明:a2n﹣1< (Ⅱ)若 a1= ,求证:|a2﹣a1|+|a3﹣a2|+…+|an+1﹣an|< . ;

【考点】等比关系的确定;数列的求和. 【分析】 (Ⅰ)由已知,Pn ,从而有 ,由 Qn 在 y=

上,代入可得

,由 a1>0,及

,知 an>0,下证:

解法一:由

=

,可得 an+1



异号,即可证明.

解法二:由

,可得

=



=

,可



,利用等比数列的通项公式可得 an,进而证明.

(Ⅱ) 由 a2n+1=

=

=

, 可得 a2n+1﹣a2n﹣1=

﹣a2n﹣1=

,由

,可得 a2n+1>a2n﹣1,可得

>a2n﹣1>a2n﹣3>…>a1. 可知 an≥a1, 因此|an+2﹣an+1|=

=

=

,利用递推关系及其等比数列的前 n 项和公式即可证明.

【解答】解: (Ⅰ)由已知,Pn

,从而有



因为 Qn 在 y=

上,所以有

=



解得

,…

由 a1>0,及 下证:

,知 an>0,

解法一:因为

=

,所以 an+1 <0, >0,



异号,

注意到 即

<0,知 …

解法二:由

,可得

=



=



所以有

,即

是以

为公比的等比数列;



,则

解得

,…

从而有



可得



所以





所以

.…

(Ⅱ)证明:因为 a2n+1=

=

=



所以 a2n+1﹣a2n﹣1= 因为 所以有 从而可知 an≥a1

﹣a2n﹣1= ,所以 a2n+1>a2n﹣1,



>a2n﹣1>a2n﹣3>…>a1. …

故|an+2﹣an+1|= = 所以

=

=



… 所以|a2﹣a1|+|a3﹣a2|+|a4﹣a3|+…+|an+1﹣an|

=

=



2016 年 6 月 20 日


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