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3.2简单的三角恒等变换2


3.2简单的三角恒等变换
第二课时

1、例题讲解
值 例3 求函数y ? sin x ? 3 cos x的周期,最大值和最小

分析:利用三角恒等变换,先把函数式化简,再求相 应的值.

解 y ? sin x ? 3 cos x

?1 ? 3 ? ? 2? sin x ? cos x ?2 ? 2 ? ? ? ?? ? ? 2? sin x cos ? cos x sin ? 3 3? ? ?? ? ? 2 sin ? x ? ? 3? ?

所以,所求的周期为2??,最大值为2,最小值为-2.

3 例4求函数 y ? sin x ? cos x ? 3 cos x ? 2
2

的最大值和最小值。

3 y ? sin x ? cos x ? 3 cos x ? 2 1 3 3 ? sin 2 x ? (1 ? cos 2 x) ? 2 2 2 ?
2

? sin(2 x ?

3

)

2、辅助角公式

a sin x ? b cos x a b sin x ? cos x ) 2 2 ( ? a ?b a 2 ? b2 a 2 ? b2 2 2 (cos? sinx ? sin ? cos x ) ? a ?b
? a 2 ? b2 sin(x ? ? ) . b 其中? 由 sin ? ? , cos? ? 2 2
a ?b
说明:

这个公式 有什么作 用?

a a ?b
2 2

确定.

利用辅助角公式可以将形如 y =a sin ? +b cos ? 的函 数,转化为一个角的一种三角函数形式。便于后面求三 角函数的最小正周期、最大(小)值、单调区间等。

sin 3? ? 3sin ? ? 4sin ?
3

3、补充公式

sin 3? ? sin(2? ? ? ) ? sin 2? cos ? ? cos 2? sin ? ? 2sin ? cos 2 ? ? (1 ? 2sin 2 ? )sin ? ? 2sin ? (1 ? sin ? ) ? (1 ? 2sin ? )sin ?
2 2

? 3sin ? ? 4sin 3 ? cos3? ? 4cos3 ? ? 3cos ? cos 3? ? cos(2? ? ? ) ? cos 2? cos ? ? sin 2? sin ? ? (2 cos ? ? 1) cos ? ? 2sin ? cos ?
2 2

? (2 cos 2 ? ? 1) cos ? ? 2(1 ? cos 2 ? ) cos ? ? 4 cos ? ? 3cos ?
3

sin( 2? ? ? ) sin ? 例2:求证 ? 2 cos( ? ? ? ) ? sin ? sin ?

证明:左边

?
?

sin( 2? ? ? ) ? 2 cos( ? ? ? ) sin ? sin ?
sin[( ? ? ? ) ? ? ] ? 2 cos( ? ? ? ) sin ? sin ?

sin(? ? ? ) cos ? ? cos( ? ? ? ) sin ? ? sin ? sin ? ? sin ? ? 右边
? sin( 2? ? ? ) sin ? ? 2 cos( ? ? ? ) ? sin ? sin ?


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